Formulat e nxjerrjes për derivatet e funksioneve elementare. Derivat i një funksioni

Vendosni detyrat fizike ose shembuj në matematikë është krejtësisht i pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati është një nga konceptet më të rëndësishme analiza matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është fizik i tij dhe kuptimi gjeometrik Si të llogarisim derivatin e një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik derivat: derivati i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati i produktit të funksioneve

Derivati i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

NË në këtë rast argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e kundërt. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

Gjeni derivatin e funksionit.
Cili është derivati i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - ndonjë numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

në një pikë;
në një pikë;
në një pikë;
në pikën.

Zgjidhjet:

(derivati është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë do të përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt rend i kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Karakteristikë e rëndësishme funksionet komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë rendi do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati i shumës:

Derivati i produktit:

Derivati i herësit:

Derivati i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Ne paraqesim një tabelë përmbledhëse për lehtësi dhe qartësi gjatë studimit të temës.

Konstantey = C

Funksioni i fuqisë y = x p

(x p) " = p x p - 1

Funksioni eksponencialy = a x

(a x) " = a x ln a

Në veçanti, kura = ene kemi y = e x

(e x) " = e x

Funksioni logaritmik

(log a x) " = 1 x ln a

Në veçanti, kura = ene kemi y = logx

(ln x) " = 1 x

Funksionet trigonometrike

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 mëkat 2 x

Funksionet trigonometrike të anasjellta

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Funksionet hiperbolike

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Le të analizojmë se si janë marrë formulat e tabelës së specifikuar ose, me fjalë të tjera, do të vërtetojmë derivimin e formulave të derivateve për çdo lloj funksioni.

Derivat i një konstante

Dëshmia 1

Për të nxjerrë këtë formulë, marrim si bazë përkufizimin e derivatit të një funksioni në një pikë. Ne përdorim x 0 = x, ku x merr vlerën e çdo numri real, ose, me fjalë të tjera, xështë çdo numër nga fusha e funksionit f (x) = C. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit si ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Ju lutemi vini re se shprehja 0 ∆ x bie nën shenjën e kufirit. Nuk është pasiguria "zero pjesëtuar me zero", pasi numëruesi nuk përmban një vlerë pafundësisht të vogël, por saktësisht zero. Me fjalë të tjera, rritja e një funksioni konstant është gjithmonë zero.

Pra, derivati i funksionit konstant f (x) = C është i barabartë me zero në të gjithë fushën e përkufizimit.

Shembulli 1

Janë dhënë funksionet konstante:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Zgjidhje

Le të përshkruajmë kushtet e dhëna. Në funksionin e parë shohim derivatin e numrit natyror 3. Në shembullin e mëposhtëm, ju duhet të merrni derivatin e A, Ku A- çdo numër real. Shembulli i tretë na jep derivatin e numrit irracional 4. 13 7 22, i katërti është derivati i zeros (zero është një numër i plotë). Së fundi, në rastin e pestë kemi derivatin e thyesës racionale - 8 7.

Përgjigje: derivatet e funksioneve të dhëna janë zero për çdo real x(në të gjithë zonën e përkufizimit)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0, f 5" (x) = - 8 7" = 0

Derivat i një funksioni fuqie

Le të kalojmë te funksioni i fuqisë dhe formula për derivatin e tij, e cila ka formën: (x p) " = p x p - 1, ku eksponenti fqështë çdo numër real.

Dëshmia 2

Këtu është vërtetimi i formulës kur eksponenti është një numër natyror: p = 1, 2, 3, …

Ne përsëri mbështetemi në përkufizimin e një derivati. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni fuqie me rritjen e argumentit:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Për të thjeshtuar shprehjen në numërues, ne përdorim formulën binomiale të Njutonit:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Kështu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + .

Kështu, ne kemi vërtetuar formulën për derivatin e një funksioni fuqie kur eksponenti është një numër natyror.

Dëshmia 3

Të sigurojë prova për rastin kur p-çdo numër real përveç zeros, ne përdorim derivatin logaritmik (këtu duhet të kuptojmë ndryshimin nga derivati i një funksioni logaritmik). Për të pasur një kuptim më të plotë, këshillohet të studiohet derivati i një funksioni logaritmik dhe gjithashtu të kuptohet derivati i një funksioni të nënkuptuar dhe derivati i një funksioni kompleks.

Le të shqyrtojmë dy raste: kur x pozitive dhe kur x negativ.

Pra x > 0. Pastaj: x p > 0 . Le të logaritmojmë barazinë y = x p në bazën e dhe të zbatojmë vetinë e logaritmit:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Aktiv në këtë fazë mori një funksion të specifikuar në mënyrë implicite. Le të përcaktojmë derivatin e tij:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Tani shqyrtojmë rastin kur x - një numër negativ.

Nëse treguesi fq ka numër çift, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Pastaj x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Nëse fqështë një numër tek, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Tranzicioni i fundit është i mundur për faktin se nëse fq atëherë është një numër tek p - 1 ose një numër çift ose zero (për p = 1), pra, për negativ x barazia (- x) p - 1 = x p - 1 është e vërtetë.

Pra, ne kemi vërtetuar formulën për derivatin e një funksioni fuqie për çdo p real.

Shembulli 2

Funksionet e dhëna:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Përcaktoni derivatet e tyre.

Zgjidhje

Ne transformojmë disa nga funksionet e dhëna në formën tabelare y = x p, bazuar në vetitë e shkallës, dhe më pas përdorim formulën:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat i një funksioni eksponencial

Prova 4

Le të nxjerrim formulën e derivatit duke përdorur përkufizimin si bazë:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Kemi pasiguri. Për ta zgjeruar atë, le të shkruajmë një ndryshore të re z = a ∆ x - 1 (z → 0 si ∆ x → 0). Në këtë rast, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Për tranzicionin e fundit, u përdor formula për kalimin në një bazë të re logaritmi.

Le të zëvendësojmë në kufirin origjinal:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Le të kujtojmë kufirin e dytë të shquar dhe më pas marrim formulën për derivatin e funksionit eksponencial:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Shembulli 3

Janë dhënë funksionet eksponenciale:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Është e nevojshme të gjenden derivatet e tyre.

Zgjidhje

Ne përdorim formulën për derivatin e funksionit eksponencial dhe vetitë e logaritmit:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat i një funksioni logaritmik

Dëshmia 5

Le të japim një vërtetim të formulës për derivatin e një funksioni logaritmik për cilindo x në fushën e përkufizimit dhe çdo vlerë të lejuar të bazës a të logaritmit. Bazuar në përkufizimin e derivatit, marrim:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Nga zinxhiri i treguar i barazive është e qartë se shndërrimet janë bazuar në vetinë e logaritmit. Kufiri i barazisë ∆ x → 0 1 + ∆ x x ∆ x = e është i vërtetë në përputhje me kufirin e dytë të shquar.

Shembulli 4

Janë dhënë funksionet logaritmike:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Është e nevojshme të llogariten derivatet e tyre.

Zgjidhje

Le të zbatojmë formulën e nxjerrë:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Pra, derivati i logaritmit natyror është një pjesëtuar me x.

Derivatet e funksioneve trigonometrike

Prova 6

Le të përdorim disa formula trigonometrike dhe kufirin e parë të mrekullueshëm për të nxjerrë formulën për derivatin e një funksioni trigonometrik.

Sipas përkufizimit të derivatit të funksionit sinus, marrim:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula për diferencën e sinuseve do të na lejojë të kryejmë veprimet e mëposhtme:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Më në fund, ne përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Pra, derivati i funksionit mëkat x do cos x.

Do të vërtetojmë gjithashtu formulën për derivatin e kosinusit:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - mëkat x

Ato. derivati i funksionit cos x do të jetë – mëkat x.

Ne nxjerrim formulat për derivatet e tangjentes dhe kotangjentes bazuar në rregullat e diferencimit:

t g " x = mëkat x cos x " = mëkat " x · cos x - mëkat x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - mëkat x · (- mëkat x) cos 2 x = mëkat 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - mëkat x · mëkat x - cos x · cos x mëkat 2 x = - mëkat 2 x + cos 2 x mëkat 2 x = - 1 mëkat 2 x

Derivatet e funksioneve trigonometrike të anasjellta

Seksioni derivativ funksionet e anasjellta jep informacion gjithëpërfshirës mbi vërtetimin e formulave për derivatet e arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit, kështu që ne nuk do ta dublikojmë materialin këtu.

Derivatet e funksioneve hiperbolike

Dëshmia 7

Ne mund të nxjerrim formulat për derivatet e sinusit hiperbolik, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit duke përdorur rregullën e diferencimit dhe formulën për derivatin e funksionit eksponencial:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s - h 2 x 2 x h =

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Kur nxjerrim formulën e parë të tabelës, do të vazhdojmë nga përkufizimi i funksionit derivat në një pikë. Le të marrim ku x- çdo numër real, domethënë, x– çdo numër nga fusha e përcaktimit të funksionit. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit në:

Duhet të theksohet se nën shenjën e kufirit fitohet shprehja, e cila nuk është pasiguria e zeros pjesëtuar me zero, pasi numëruesi nuk përmban një vlerë pafundësisht të vogël, por saktësisht zero. Me fjalë të tjera, rritja e një funksioni konstant është gjithmonë zero.

Kështu, derivat i një funksioni konstantështë e barabartë me zero në të gjithë fushën e përkufizimit.

Derivat i një funksioni fuqie.

Formula për derivatin e një funksioni fuqie ka formën , ku eksponenti fq- çdo numër real.

Le të provojmë së pari formulën për eksponentin natyror, domethënë për p = 1, 2, 3, …

Ne do të përdorim përkufizimin e derivatit. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni fuqie me rritjen e argumentit:

Për të thjeshtuar shprehjen në numërues, i drejtohemi formulës binomiale të Njutonit:

Prandaj,

Kjo vërteton formulën për derivatin e një funksioni fuqie për një eksponent natyror.

Derivat i një funksioni eksponencial.

Ne paraqesim derivimin e formulës së derivatit bazuar në përkufizimin:

Kemi arritur në pasiguri. Për ta zgjeruar atë, ne prezantojmë një ndryshore të re, dhe në . Pastaj . Në tranzicionin e fundit, ne përdorëm formulën për kalimin në një bazë të re logaritmike.

Le të zëvendësojmë në kufirin origjinal:

Nëse kujtojmë kufirin e dytë të shquar, arrijmë në formulën për derivatin e funksionit eksponencial:

Derivat i një funksioni logaritmik.

Le të vërtetojmë formulën për derivatin e një funksioni logaritmik për të gjithë x nga fusha e përkufizimit dhe të gjitha vlerat e vlefshme të bazës a logaritmi Nga përkufizimi i derivatit kemi:

Siç e keni vënë re, gjatë vërtetimit transformimet janë kryer duke përdorur vetitë e logaritmit. Barazia është e vërtetë për shkak të kufirit të dytë të shquar.

Derivatet e funksioneve trigonometrike.

Për të nxjerrë formulat për derivatet e funksioneve trigonometrike, do të duhet të kujtojmë disa formula trigonometrike, si dhe kufirin e parë të shquar.

Me përcaktimin e derivatit për funksionin sinus kemi .

Le të përdorim formulën e diferencës së sinuseve:

Mbetet të kthehemi në kufirin e parë të shquar:

Kështu, derivati i funksionit mëkat x ka cos x.

Formula për derivatin e kosinusit vërtetohet saktësisht në të njëjtën mënyrë.

Prandaj, derivati i funksionit cos x ka – mëkat x.

Ne do të nxjerrim formula për tabelën e derivateve për tangjenten dhe kotangjenten duke përdorur rregullat e vërtetuara të diferencimit (derivati i një thyese).

Derivatet e funksioneve hiperbolike.

Rregullat e diferencimit dhe formula për derivatin e funksionit eksponencial nga tabela e derivateve na lejojnë të nxjerrim formula për derivatet e sinusit hiperbolik, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit.

Derivat i funksionit të anasjelltë.

Për të shmangur konfuzionin gjatë prezantimit, le të shënojmë në subscript argumentin e funksionit me të cilin kryhet diferencimi, domethënë është derivat i funksionit. f(x) Nga x.

Tani le të formulojmë rregull për gjetjen e derivatit të një funksioni të anasjelltë.

Lërini funksionet y = f(x) Dhe x = g(y) reciprokisht anasjelltas, të përcaktuara në intervale dhe përkatësisht. Nëse në një pikë ka një derivat të fundëm jozero të funksionit f(x), atëherë në pikë ka një derivat të fundëm të funksionit të anasjelltë g(y), dhe . Në një postim tjetër .

Ky rregull mund të riformulohet për cilindo x nga intervali , atëherë marrim .

Le të kontrollojmë vlefshmërinë e këtyre formulave.

Le të gjejmë funksionin e anasjelltë për logaritmin natyror (Këtu yështë një funksion, dhe x- argument). Duke zgjidhur këtë ekuacion për x, marrim (këtu xështë një funksion, dhe y– argumenti i saj). Kjo eshte, dhe funksionet reciproke të anasjellta.

Nga tabela e derivateve shohim se Dhe .

Le të sigurohemi që formulat për gjetjen e derivateve të funksionit të anasjelltë na çojnë në të njëjtat rezultate:

Siç mund ta shihni, ne morëm të njëjtat rezultate si në tabelën e derivateve.

Tani kemi njohuri për të vërtetuar formulat për derivatet e funksioneve trigonometrike të anasjellta.

Le të fillojmë me derivatin e arksinës.

. Pastaj, duke përdorur formulën për derivatin e funksionit të anasjelltë, marrim

Ajo që mbetet është të kryhen transformimet.

Meqenëse diapazoni i arksinës është intervali , Kjo (shih seksionin mbi funksionet elementare bazë, vetitë dhe grafikët e tyre). Prandaj, ne nuk po e konsiderojmë atë.