Vijë e drejtë në aeroplan dhe në hapësirë.

Studimi i vetive të figurave gjeometrike duke përdorur algjebër quhet gjeometria analitike , dhe ne do të përdorim të ashtuquajturat metodë koordinative .

Një vijë në një rrafsh zakonisht përkufizohet si një grup pikash që kanë veti unike për to. Fakti që koordinatat (numrat) x dhe y të një pike që shtrihet në këtë drejtëz shkruhen në mënyrë analitike në formën e një ekuacioni.

Def.1 Ekuacioni i një vije (ekuacioni i një lakore) në rrafshin Oxy quhet ekuacion (*), i cili plotësohet nga koordinatat x dhe y të secilës pikë në një drejtëz të caktuar dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike tjetër që nuk shtrihet në këtë drejtëzë.

Nga përkufizimi 1 rrjedh se çdo vijë në plan korrespondon me një ekuacion midis koordinatave aktuale ( x, y ) pikat e kësaj drejtëze dhe anasjelltas, çdo ekuacion korrespondon, në përgjithësi, me një vijë të caktuar.

Kjo krijon dy probleme kryesore të gjeometrisë analitike në aeroplan.

1. Një vijë është dhënë në formën e një grupi pikash. Ne duhet të krijojmë një ekuacion për këtë linjë.

2. Është dhënë ekuacioni i drejtëzës. Është e nevojshme të studiohen vetitë e tij gjeometrike (forma dhe vendndodhja).

Shembull. A gënjejnë pikat A(-2;1) Dhe NË (1;1) në rreshtin 2 X +në +3=0?

Problemi i gjetjes së pikave të kryqëzimit të dy drejtëzave të dhëna nga ekuacionet dhe zbret në gjetjen e koordinatave që plotësojnë ekuacionin e të dy drejtëzave, d.m.th. për zgjidhjen e një sistemi me dy ekuacione me dy të panjohura.

Nëse ky sistem nuk ka zgjidhje reale, atëherë linjat nuk kryqëzohen.

Koncepti i një linje është futur në UCS në një mënyrë të ngjashme.

Një vijë në një aeroplan mund të përcaktohet nga dy ekuacione

Ku X Dhe në – koordinata pikash arbitrare M(x;y), shtrirë në këtë linjë, dhe t - një ndryshore e quajtur parametri , parametri përcakton pozicionin e pikës në plan.

Për shembull, nëse , atëherë vlera e parametrit t=2 korrespondon me pikën (3;4) në rrafsh.

Nëse parametri ndryshon, pika në aeroplan lëviz, duke përshkruar këtë linjë. Kjo metodë e përcaktimit të një linje quhet parametrik, dhe ekuacioni (5.1) është një ekuacion parametrik i drejtëzës.

Për të kaluar nga ekuacionet parametrike në një ekuacion të përgjithshëm (*), duhet të eliminohet disi parametri nga dy ekuacionet. Sidoqoftë, vërejmë se një tranzicion i tillë nuk është gjithmonë i këshillueshëm dhe jo gjithmonë i mundur.

Mund të specifikohet një vijë në një aeroplan ekuacioni vektorial , ku t është një parametër variabël skalar. Çdo vlerë parametri korrespondon me një vektor specifik të planit. Kur ndryshoni parametrin, fundi i vektorit do të përshkruajë një vijë të caktuar.

Ekuacioni vektorial në DSC korrespondojnë dy ekuacione skalare

(5.1), d.m.th. ekuacioni i projeksioneve në boshtet koordinative të ekuacionit vektorial të një drejtëze është i tij

ekuacioni parametrik.

Ekuacioni vektorial dhe ekuacionet parametrike të drejtëzës kanë kuptim mekanik. Nëse një pikë lëviz në një rrafsh, atëherë thirren ekuacionet e treguara ekuacionet e lëvizjes , dhe vija është trajektorja e pikës, parametri t është koha.

Përfundim: çdo rresht në rrafsh korrespondon me një ekuacion të formës.

Në rastin e përgjithshëm, ÇDO EKUACION I PAMJESË i korrespondon një vijë të caktuar, vetitë e së cilës përcaktohen nga ekuacioni i dhënë (me përjashtim që asnjë imazh gjeometrik nuk i përgjigjet një ekuacioni në një rrafsh).

Le të zgjidhet një sistem koordinativ në aeroplan.

Def. 5.1. Ekuacioni i linjës ky lloj ekuacioni quhetF(x;y) =0, e cila plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë vijë, dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në të.

Ekuacioni i formësF(x;y )=0 – thirret ekuacioni i përgjithshëm vijë ose ekuacion në formë implicite.

Kështu, vija Г është vendndodhja e pikave që plotësojnë këtë ekuacion Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linja quhet gjithashtu i shtrembër.

Nëse specifikohet një rregull sipas të cilit një numër i caktuar u lidhet me secilën pikë M të rrafshit (ose një pjesë të planit), atëherë ata thonë se në rrafsh (ose në një pjesë të rrafshit) "një funksion i pikës është dhënë”; specifikimi i funksionit shprehet simbolikisht me një barazi të formës u=f(M). Numri u i lidhur me pikën M quhet vlera e këtij funksioni në pikën M. Për shembull, nëse A është një pikë fikse në plan, M është një pikë arbitrare, atëherë distanca nga A në M është funksion i pikës M. B në këtë rast f(m)=AM.

Le të jepet një funksion u=f(M) dhe në të njëjtën kohë të futet një sistem koordinativ. Pastaj një pikë arbitrare M përcaktohet nga koordinatat x, y. Prandaj, vlera e këtij funksioni në pikën M përcaktohet nga koordinatat x, y, ose, siç thonë ata gjithashtu, u=f(M) është funksioni i dy ndryshoreve x dhe y. Një funksion i dy ndryshoreve x dhe y shënohet me simbolin f(x; y): nëse f(M)=f(x;y), atëherë formula u=f(x; y) quhet shprehja e kësaj funksionin në sistemin e zgjedhur të koordinatave. Pra, në shembullin e mëparshëm f(M)=AM; nëse prezantojmë një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian me origjinë në pikën A, marrim shprehjen për këtë funksion:

u=sqrt(x^2 + y^2)

PROBLEM 3688 Jepet një funksion f (x, y)=x^2–y^2–16.

Jepet funksioni f (x, y)=x^2–y^2–16. Përcaktoni shprehjen e këtij funksioni në sistemin e ri të koordinatave nëse boshtet e koordinatave rrotullohen me një kënd prej –45 gradë.

Ekuacionet e vijave parametrike

Le t'i shënojmë koordinatat e një pike të caktuar M me shkronjat x dhe y; Le të shqyrtojmë dy funksione të argumentit t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Kur t ndryshon, vlerat x dhe y, në përgjithësi, do të ndryshojnë, prandaj pika M do të lëvizë. Barazimet (1) quhen ekuacionet e vijave parametrike, e cila është trajektorja e pikës M; argumenti t quhet parametër. Nëse parametri t mund të përjashtohet nga barazitë (1), atëherë marrim ekuacionin e trajektores së pikës M në formën

Një vijë në një rrafsh është një koleksion pikash në këtë rrafsh që kanë veti të caktuara, ndërsa pikat që nuk shtrihen në një vijë të caktuar nuk i kanë këto veti. Ekuacioni i një drejtëze përcakton një marrëdhënie të shprehur në mënyrë analitike midis koordinatave të pikave që shtrihen në këtë vijë. Le të jepet kjo marrëdhënie nga ekuacioni

F( x, y)=0. (2.1)

Një çift numrash që kënaqin (2.1) nuk është arbitrar: nëse X dhënë, atëherë në nuk mund të jetë asgjë, do të thotë në lidhur me X. Kur ndryshon X ndryshimet në, dhe një pikë me koordinata ( x, y) përshkruan këtë linjë. Nëse koordinatat e pikës M 0 ( X 0 ,në 0) plotësoni ekuacionin (2.1), d.m.th. F( X 0 ,në 0)=0 është një barazi e vërtetë, atëherë pika M 0 shtrihet në këtë vijë. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Përkufizimi. Një ekuacion i një drejtëze në një rrafsh është një ekuacion që plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë drejtëz dhe nuk plotësohet nga koordinatat e pikave që nuk shtrihen në këtë drejtëz..

Nëse dihet ekuacioni i një linje të caktuar, atëherë studimi i vetive gjeometrike të kësaj linje mund të reduktohet në studimin e ekuacionit të saj - kjo është një nga idetë kryesore të gjeometrisë analitike. Ka metoda të zhvilluara mirë për studimin e ekuacioneve analiza matematikore, të cilat thjeshtojnë studimin e vetive të linjave.

Kur merren parasysh rreshtat, përdoret termi pika aktuale linja – pika e ndryshueshme M( x, y), duke lëvizur përgjatë kësaj linje. Koordinatat X Dhe në quhen pika aktuale koordinatat aktuale pikat e vijës.

Nëse nga ekuacioni (2.1) mund të shprehemi në mënyrë eksplicite në
përmes X d.m.th., shkruani ekuacionin (2.1) në formën , atëherë kurba e përcaktuar nga një ekuacion i tillë quhet orarin funksione f(x).

1. Është dhënë barazimi: , ose . Nëse X merr vlera arbitrare, atëherë në merr vlera të barabarta me X. Rrjedhimisht, vija e përcaktuar nga ky ekuacion përbëhet nga pika të barabarta nga boshtet koordinative Ox dhe Oy - kjo është përgjysmuesja e këndeve të koordinatave I–III (drejtëza në Fig. 2.1).

Ekuacioni, ose, përcakton përgjysmuesin e këndeve të koordinatave II–IV (drejtëza në Fig. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

oriz. 2.1 fig. 2.2 fig. 2.3

2. Ekuacioni është dhënë: , ku C është disa konstante. Ky ekuacion mund të shkruhet ndryshe: . Ky ekuacion plotësohet nga ato dhe vetëm ato pika, ordinata në të cilat janë të barabarta me C për çdo vlerë abshise X. Këto pika shtrihen në një vijë të drejtë paralele me boshtin Ox (Fig. 2.2). Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni përcakton një vijë të drejtë, paralel me boshtin Oy (Fig. 2.3).

Jo çdo ekuacion i formës F( x, y)=0 përcakton një vijë në rrafsh: ekuacioni plotësohet nga një pikë e vetme – O(0,0), dhe ekuacioni nuk plotësohet nga asnjë pikë në rrafsh.

Në shembujt e dhënë, ne përdorëm një ekuacion të caktuar për të ndërtuar një vijë të përcaktuar nga ky ekuacion. Le të shqyrtojmë problemin e anasjelltë: ndërtoni ekuacionin e tij duke përdorur një vijë të caktuar.

3. Krijo një ekuacion për një rreth me qendër në pikën P( a, b) Dhe
rrezja R .

○ Një rreth me qendër në pikën P dhe rreze R është një grup pikash të vendosura në një distancë R nga pika P. Kjo do të thotë se për çdo pikë M që shtrihet në rreth, MP = R, por nëse pika M nuk shtrihet në rrethi, pastaj MP ≠ R.. ●

Një barazi e formës F(x, y) = 0 quhet ekuacion me dy ndryshore x, y nëse nuk është i vërtetë për të gjitha çiftet e numrave x, y. Ata thonë se dy numra x = x 0, y = y 0 plotësojnë disa ekuacione të formës F(x, y) = 0 nëse, kur zëvendësohen këta numra në vend të ndryshoreve x dhe y në ekuacion, ana e majtë e tij bëhet zero. .

Ekuacioni i një drejtëze të caktuar (në një sistem koordinativ të caktuar) është një ekuacion me dy ndryshore që plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë drejtëz dhe nuk plotësohet nga koordinatat e çdo pike që nuk shtrihet në të.

Në vijim, në vend të shprehjes "duke pasur parasysh ekuacionin e drejtëzës F(x, y) = 0", shpesh do të themi më shkurt: duke pasur parasysh drejtëzën F(x, y) = 0.

Nëse janë dhënë ekuacionet e dy drejtëzave: F(x, y) = 0 dhe Ф(x, y) = 0, atëherë zgjidhja e përbashkët e sistemit

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

jep të gjitha pikat e tyre të kryqëzimit. Më saktësisht, çdo çift numrash që është zgjidhje e përbashkët e këtij sistemi përcakton një nga pikat e kryqëzimit,

157. Janë dhënë pikë *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Përcaktoni se cilat nga pikat e dhëna shtrihen në drejtëzën e përcaktuar me ekuacionin x + y = 0 dhe cilat nuk shtrihen në të. Cila drejtëz përcaktohet nga ky ekuacion? (Vizatoni atë në vizatim.)

158. Në vijën e përcaktuar me barazimin x 2 + y 2 = 25, gjeni pikat, abshisat e të cilave janë të barabarta me numrat e mëposhtëm: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; në të njëjtën drejtëz gjeni pika, ordinatat e të cilave janë të barabarta me numrat e mëposhtëm: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Cila drejtëz përcaktohet nga ky ekuacion? (Vizatoni atë në vizatim.)

159. Përcaktoni cilat drejtëza përcaktohen nga barazimet e mëposhtme (ndërtoni ato në vizatim): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + nga + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Drejtëza të dhëna: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Përcaktoni se cila prej tyre kalon nga origjina.

161. Vijat e dhëna: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Gjeni pikat e tyre të prerjes: a) me boshtin Ox; b) me boshtin Oy.

162. Gjeni pikat e kryqëzimit të dy drejtëzave:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Në sistemin e koordinatave polar pikat M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) dhe M. 5 (1; 2/3π). Përcaktoni se cila nga këto pika shtrihet në vijën e përcaktuar në koordinatat polare me ekuacionin p = 2cosΘ, dhe cilat nuk shtrihen në të. Cila drejtëz përcaktohet nga ky ekuacion? (Vizatoni atë në vizatim.)

164. Në drejtëzën e përcaktuar me barazimin p = 3/cosΘ gjeni pikat këndet polare të të cilave janë të barabartë me numrat e mëposhtëm: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Cila drejtëz përcaktohet nga ky ekuacion? (Ndërtojeni atë në vizatim.)

165. Në drejtëzën e përcaktuar me barazimin p = 1/sinΘ gjeni pikat, rrezet polare të të cilave janë të barabarta me numrat e mëposhtëm: a) 1 6) 2, c) √2. Cila drejtëz përcaktohet nga ky ekuacion? (Ndërtojeni atë në vizatim.)

166. Përcaktoni se cilat drejtëza përcaktohen në koordinatat polare nga ekuacionet e mëposhtme (ndërtoni ato në vizatim): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Ndërtoni në vizatim këto spiralet e Arkimedit: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Ndërtoni në vizatim këto spirale hiperbolike: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) p= - π/Θ

169. Ndërtoni në vizatim këto spirale logaritmike: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Përcaktoni gjatësitë e segmenteve në të cilat spiralja e Arkimedit p = 3Θ pritet nga një rreze që del nga poli dhe e anuar nga boshti polar në një kënd Θ = π/6. Bëni një vizatim.

171. Në spiralen e Arkimedit p = 5/πΘ merret pika C, rrezja polare e së cilës është 47. Përcaktoni sa pjesë e pret kjo spirale rrezen polare të pikës C. Bëni një vizatim.

172. Në një spirale hiperbolike P = 6/Θ, gjeni një pikë P, rrezja polare e së cilës është 12. Bëni një vizatim.

173. Në një spirale logaritmike p = 3 Θ, gjeni një pikë P, rrezja polare e së cilës është 81. Bëni një vizatim.

Le të rishikojmë * Cili ekuacion quhet kuadratik? * Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? * Cili ekuacioni kuadratik quhet reduktuar? * Si quhet rrënja e ekuacionit kuadratik? * Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion kuadratik? Cili ekuacion quhet kuadratik? Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? Cili ekuacion kuadratik quhet i reduktuar? Cila është rrënja e një ekuacioni kuadratik? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion kuadratik? Cili ekuacion quhet kuadratik? Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? Cili ekuacion kuadratik quhet i reduktuar? Cila është rrënja e një ekuacioni kuadratik? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion kuadratik?

Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik: 1. Përcaktoni mënyrën më racionale për të zgjidhur një ekuacion kuadratik 2. Zgjidhni mënyrën më racionale për të zgjidhur një ekuacion kuadratik 3. Përcaktimi i numrit të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik 4. Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik Për më mirë memorizimi, plotëso tabelën... Për memorizimin më të mirë, plotëso tabelën... Për memorizimin më të mirë, plotëso tabelën...

Kushti shtesë Rrënjët e ekuacionit Shembuj 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), ku c/a 0. b) nëse c/a 0, atëherë nuk ka zgjidhje 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, ku D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – numër çift(в = 2k), а 0, в 0, с 0 ах 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, ku k = 6. Teorema e anasjelltë e Teorema e Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Metoda të veçanta 7. Metoda e izolimit të katrorit të një binomi. Qëllimi: Reduktoni një ekuacion të përgjithshëm në një ekuacion kuadratik jo të plotë. Shënim: metoda është e zbatueshme për çdo ekuacion kuadratik, por nuk është gjithmonë e përshtatshme për t'u përdorur. Përdoret për të vërtetuar formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Shembull: zgjidhni ekuacionin x 2 -6 x+8=0 8. Mënyra e “transferimit” të koeficientit më të lartë. Rrënjët e ekuacioneve kuadratike ax 2 + bx + c = 0 dhe y 2 +nga+ac=0 lidhen me relacionet: dhe Shënim: metoda është e mirë për ekuacionet kuadratike me koeficientë "të përshtatshëm". Në disa raste, ju lejon të zgjidhni një ekuacion kuadratik me gojë. Shembull: zgjidhni ekuacionin 2 x 2 -9 x-5=0 Bazuar në teorema: Shembull: zgjidhni ekuacionin 157 x x-177=0 9. Nëse në një ekuacion kuadratik a+b+c=0, atëherë një nga rrënjët janë 1, dhe e dyta, sipas teoremës së Vietës, është e barabartë me c / a 10. Nëse në një ekuacion kuadratik a + c = b, atëherë njëra nga rrënjët është e barabartë me -1 dhe e dyta, sipas Vietës teorema, është e barabartë me -c / a Shembull: zgjidhni ekuacionin 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve 11. Metoda e faktorizimit. Qëllimi: Zvogëloni një ekuacion të përgjithshëm kuadratik në formën A(x)·B(x)=0, ku A(x) dhe B(x) janë polinome në lidhje me x. Metodat: Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave; Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit; Metoda e grupimit. Shembull: zgjidhni ekuacionin 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re. Zgjedhja e mirë e një ndryshoreje të re e bën strukturën e ekuacionit më transparent Shembull: zgjidhni ekuacionin (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8