Gjeometria e tërheqësve të çuditshëm dhe dimensionet e tyre. Le të shohim imazhin e tërheqësit të çuditshëm të sistemit Rössler, konfigurimi i tij gjeometrik mund të shihet qartë

Materiali nga Wikipedia - enciklopedia e lirë

Rössler tërheqës- tërheqës kaotik, i cili zotërohet nga sistemi i ekuacioneve diferenciale të Rössler:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash fillim(matrica)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash fund\; (matricë)\backslash djathtas.$ ;

Ku $a,b,c$- konstante pozitive. Me vlerat e parametrave $a\; =\; b\; =\; 0,2$ Dhe $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Ekuacionet e Rössler-it kanë një cikël limit të qëndrueshëm. Për këto vlera të parametrave, periudha dhe forma e ciklit limit i nënshtrohen një sekuence të dyfishimit të periodave. Menjëherë pas pikës $c\; =\; 4.2$ lind fenomeni i një tërheqës kaotik. Linjat e përcaktuara mirë të cikleve kufitare turbullojnë dhe mbushin hapësirën e fazës me një grup të pafund të numërueshëm trajektoresh që kanë vetitë e një fraktali.

Ndonjëherë tërheqësit Rössler ndërtohen për një aeroplan, domethënë me $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash fillimi(matrica)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash fund(matrica)\; \backslash djathtas.$

Zgjidhje të qëndrueshme për $x,\; y$ mund të gjendet duke llogaritur eigenvektorin e matricës jakobiane të formës , per cilin $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Nga kjo shihet qartë se kur , eigenvektorët janë kompleks dhe kanë komponentë realë pozitivë, gjë që e bën tërheqësin të paqëndrueshëm. Tani do të shqyrtojmë aeroplanin $Z$ në të njëjtin gamë $a$. Mirupafshim $x$ më pak $c$, parametri $c$ do të mbajë trajektoren afër aeroplanit $x,\; y$. Sapo $x$ do të ketë më shumë $c$, $z$-koordinata do të fillojë të rritet, dhe pak më vonë parametri $-z$ do të ngadalësojë rritjen $x$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Pikat e bilancit

Për të gjetur pikat e ekuilibrit, tre ekuacionet e Rössler vendosen të barabarta me zero dhe $xyz$-koordinatat e secilës pikë ekuilibri gjenden duke zgjidhur ekuacionet që rezultojnë. Përfundimisht:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash fillim(matrica)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2\; -4ab))(2a)\backslash djathtas)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end\; (matricë)\; \backslash djathtas.$

Siç tregohet në ekuacionet e përgjithshme Rössler tërheqës, një nga këto pika fikse ndodhet në qendër të tërheqësit, dhe të tjerat shtrihen relativisht larg qendrës.

Ndryshimi i parametrave a, b dhe c

Sjellja e tërheqësit Rössler varet kryesisht nga vlerat e parametrave konstante. Ndryshimi i çdo parametri jep një efekt të caktuar, si rezultat i të cilit sistemi mund të konvergojë në një orbitë periodike, në një pikë fikse ose të nxitojë në pafundësi. Numri i periodave të një tërheqës Rössler përcaktohet nga numri i rrotullimeve të tij rreth një pike qendrore, të cilat ndodhin përpara një serie sythe.

Diagramet e bifurkacionit janë një mjet standard për të analizuar sjelljen e sistemeve dinamike, të cilat përfshijnë tërheqësin Rössler. Ato krijohen duke zgjidhur ekuacionet e sistemit ku dy ndryshore janë fikse dhe një ndryshohet. Kur ndërtohet një diagram i tillë, merren rajone pothuajse plotësisht të "hijezuara"; ky është rajoni i kaosit dinamik.

Ndryshimi i parametrit a

Le ta rregullojmë $b\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$ dhe ne do të ndryshojmë $a$.

Si rezultat, eksperimentalisht marrim tabelën e mëposhtme:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergjon në një pikë të qëndrueshme.
• $a\; =\; 0.1$: Rrotullohet me një periudhë 2.
• $a\; =\; 0.2$: Kaos (parametri standard i ekuacioneve Rössler) .
• $a\; =\; 0.3$: Tërheqës kaotik.
• $a\; =\; 0,35$: Ngjashëm me atë të mëparshmin, por kaosi është më i theksuar.
• $a\; =\; 0,38$: Ngjashëm me atë të mëparshmin, por kaosi është edhe më i fortë.

Ndryshimi i parametrit b

Le ta rregullojmë $a\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$ dhe tani do ta ndryshojmë parametrin $b$. Siç shihet nga figura, kur $b$ Meqenëse tërheqësi priret në zero, ai është i paqëndrueshëm. Kur $b$ do të ketë më shumë $a$ Dhe $c$, sistemi do të ekuilibrohet dhe do të shkojë në një gjendje të palëvizshme.

Ndryshimi i parametrit c

Le ta rregullojmë $a\; =\; b\; =\; 0,1$ dhe ne do të ndryshojmë $c$. Nga diagrami i bifurkacionit shihet qartë se për të vogla $c$ sistemi është periodik, por ndërsa rritet shpejt bëhet kaotik. Shifrat tregojnë saktësisht se si ndryshon kaosi i sistemit me rritjen $c$. Për shembull, kur $c$= 4 tërheqësi do të ketë një periudhë të barabartë me një, dhe do të ketë një vijë të vetme në diagram, e njëjta gjë do të ndodhë kur $c$= 3 dhe kështu me radhë; Mirupafshim $c$ nuk do të bëhet më shumë se 12: sjellja e fundit periodike karakterizohet pikërisht nga kjo vlerë, atëherë kudo ndodh kaos.

Ne japim ilustrime të sjelljes së tërheqësit në gamën e caktuar të vlerave $c$ të cilat ilustrojnë sjelljen e përgjithshme sisteme të tilla - kalime të shpeshta nga periodiciteti në kaos dinamik.

Shkruani një koment për artikullin "Rössler Attractor"

Shënime

Lidhjet

• Konstruktor

Letërsia

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Tutorial. M., KomKniga, 2005, 512 f., ISBN 5-484-00058-0, ch. 2 Fizika e sistemeve të hapura. fq. 2.4 Tërheqës kaotik Rössler.

Një fragment që karakterizon Atraktorin Rössler

"Më lër të kaloj, po të them," përsëriti përsëri Princi Andrei, duke shtrënguar buzët.
- Dhe kush je ti? - iu kthye papritmas oficeri me tërbim të dehur. - Kush je ti? A jeni ju (ai ju theksoi veçanërisht) shefi, apo çfarë? Unë jam shefi këtu, jo ju. "Ti kthehu," përsëriti ai, "Unë do të të copëtoj në një copë tortë."
Oficerit me sa duket i pëlqeu kjo shprehje.
"Ju e rruat seriozisht adjutantin," u dëgjua një zë nga pas.
Princi Andrei pa që oficeri ishte në atë gjendje të dehur të inatit të paarsyeshëm në të cilin njerëzit nuk mbajnë mend se çfarë thonë. Ai pa që ndërmjetësimi i tij për gruan e mjekut në karrocë ishte i mbushur me atë që i frikësohej më shumë në botë, atë që quhet tallje [qesharake], por instinkti i tij thoshte diçka tjetër. Përpara se oficeri të kishte kohë për të mbaruar fjalët e tij të fundit, Princi Andrei, me fytyrën e shpërfytyruar nga tërbimi, iu afrua atij dhe ngriti kamxhikun:
- Të lutem më lër të hyj!
Oficeri tundi dorën dhe u largua me nxitim.
"Kjo është e gjitha nga ata, nga stafi, është e gjitha një rrëmujë," u ankua ai. -Bëj si të duash.
Princi Andrei me nxitim, pa i ngritur sytë, u largua nga gruaja e mjekut, e cila e quajti atë shpëtimtar dhe, duke kujtuar me neveri detajet më të vogla të kësaj skene poshtëruese, galopoi më tej në fshat, ku, siç i thanë, komandanti - kryeshefi u lokalizua.
Pasi hyri në fshat, zbriti nga kali dhe shkoi në shtëpinë e parë me qëllim që të pushonte të paktën një minutë, të hante diçka dhe të sqaronte të gjitha këto mendime fyese që e mundonin. "Kjo është një turmë e poshtër, jo një ushtri," mendoi ai, duke iu afruar dritares së shtëpisë së parë, kur një zë i njohur e thirri me emër.
Ai shikoi prapa. Fytyra e bukur e Nesvitsky doli nga një dritare e vogël. Nesvitsky, duke përtypur diçka me gojën e tij të lëngshme dhe duke tundur krahët, e thirri pranë vetes.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Nuk dëgjon, apo çfarë? "Shko shpejt," bërtiti ai.
Duke hyrë në shtëpi, Princi Andrei pa Nesvitsky dhe një ndihmës tjetër duke ngrënë diçka. Ata iu drejtuan me nxitim Bolkonsky duke e pyetur nëse dinte ndonjë gjë të re. Në fytyrat e tyre, aq të njohura për të, Princi Andrei lexoi një shprehje ankthi dhe shqetësimi. Kjo shprehje ishte veçanërisht e dukshme në fytyrën gjithmonë të qeshur të Nesvitsky.
-Ku është komandanti i përgjithshëm? – pyeti Bolkonsky.
"Këtu, në atë shtëpi," u përgjigj adjutanti.
- Epo, a është e vërtetë që ka paqe dhe dorëzim? – pyeti Nesvitsky.
- Po të pyes ty. Unë nuk di asgjë përveç se kam arritur te ju me forcë.
- Po ne, vëlla? Tmerr! "Më vjen keq, vëlla, ata qeshën me Mak, por është edhe më keq për ne," tha Nesvitsky. - Epo, ulu dhe ha diçka.
"Tani, princ, nuk do të gjesh asnjë karrocë apo asgjë, dhe Pjetri yt, Zoti e di ku," tha një ndihmës tjetër.
-Ku është apartamenti kryesor?
– Do ta kalojmë natën në Tsnaim.
"Dhe ngarkova gjithçka që më duhej në dy kuaj," tha Nesvitsky, "dhe ata më bënë pako të shkëlqyera." Të paktën ikni nëpër malet Bohemiane. Është keq, vëlla. Vërtet nuk je mirë, pse dridhesh kështu? - pyeti Nesvitsky, duke vënë re se si Princi Andrei u shtrëngua, sikur të kishte prekur një kavanoz Leyden.
"Asgjë," u përgjigj Princi Andrei.
Në atë moment iu kujtua përplasja e fundit me gruan e mjekut dhe oficerin e Furshtatit.
-Çfarë bën këtu komandanti i përgjithshëm? - ai pyeti.
"Unë nuk kuptoj asgjë," tha Nesvitsky.
"Gjithçka që kuptoj është se gjithçka është e neveritshme, e neveritshme dhe e neveritshme," tha Princi Andrei dhe shkoi në shtëpinë ku qëndronte komandanti i përgjithshëm.
Duke kaluar pranë karrocës së Kutuzov, kuajt e torturuar të linjës dhe Kozakët që flisnin me zë të lartë mes tyre, Princi Andrei hyri në hyrje. Vetë Kutuzov, siç iu tha Princit Andrei, ishte në kasolle me Princin Bagration dhe Weyrother. Weyrother ishte një gjeneral austriak që zëvendësoi Schmitin e vrarë. Në hyrje, Kozllovski i vogël ishte ulur para nëpunësit. Nëpunësi në një vaskë të përmbysur, duke ngritur prangat e uniformës, shkroi me nxitim. Fytyra e Kozlovsky ishte e rraskapitur - ai, me sa duket, nuk kishte fjetur as natën. Ai shikoi Princin Andrei dhe as nuk tundi kokën drejt tij.
– Rreshti i dytë... E ke shkruar ti? - vazhdoi ai, duke i diktuar nëpunësit, - Grenadieri i Kievit, Podolsk...
"Nuk do të kesh kohë, nderi yt," u përgjigj nëpunësi me mungesë respekti dhe zemërimi, duke parë përsëri Kozlovsky.
Në atë kohë, zëri i pakënaqur i Kutuzov u dëgjua nga prapa derës, i ndërprerë nga një zë tjetër, i panjohur. Nga zhurma e këtyre zërave, nga pavëmendja me të cilën Kozllovski e shikonte, nga mosrespektimi i nëpunësit të rraskapitur, nga fakti që nëpunësi dhe Kozllovski ishin ulur aq afër komandantit të përgjithshëm në dysheme afër vaskës. , dhe nga fakti që Kozakët që mbanin kuajt qeshën me zë të lartë nën dritaren e shtëpisë - nga e gjithë kjo, Princi Andrei ndjeu se diçka e rëndësishme dhe fatkeqe do të ndodhte.
Princi Andrei iu drejtua urgjentisht Kozlovsky me pyetje.
"Tani, princ," tha Kozlovsky. – Disponimi ndaj Bagration.
-Po kapitullimi?
- Nuk ka asnjë; janë bërë urdhra për betejë.
Princi Andrei u drejtua drejt derës nga pas së cilës u dëgjuan zëra. Por sapo donte të hapte derën, zërat në dhomë ranë në heshtje, dera u hap vetë dhe Kutuzov, me hundën e tij aquiline në fytyrën e tij të shëndoshë, u shfaq në prag.
Princi Andrei qëndroi drejtpërdrejt përballë Kutuzov; por nga shprehja e syrit të vetëm që shihte komandantin e përgjithshëm ishte e qartë se mendimi dhe shqetësimi e pushtonin aq shumë sa dukej se ia errësonte shikimin. Ai e shikoi drejtpërdrejt fytyrën e adjutantit të tij dhe nuk e njohu atë.
- Epo, a ke mbaruar? – iu drejtua Kozllovskit.
- Pikërisht në këtë sekondë, Shkëlqesi.
Bagration, i shkurtër, me një tip oriental fytyre të fortë dhe të palëvizshme, e thatë, ende jo një plak, doli për të marrë komandantin e përgjithshëm.
"Kam nderin të paraqitem," përsëriti me zë të lartë Princi Andrei, duke dorëzuar zarfin.
- Oh, nga Vjena? Mirë. Pas, pas!
Kutuzov doli me Bagration në verandë.
"Epo, princ, lamtumirë," i tha ai Bagration. - Krishti është me ju. Ju bekoj për këtë sukses të madh.
Fytyra e Kutuzov u zbut papritmas dhe lotët u shfaqën në sytë e tij. Ai e tërhoqi Bagration-in me dorën e majtë, dhe me dorën e djathtë, në të cilën kishte një unazë, me sa duket e kryqëzoi me një gjest të njohur dhe i ofroi faqen e tij të shëndoshë, në vend të së cilës Bagration e puthi në qafë.

Pershendetje te gjitheve!

Ky artikull i kushtohet veçorive të mahnitshme në botën e kaosit. Do të përpiqem të flas se si të frenoj një gjë kaq të çuditshme dhe komplekse si një proces kaotik dhe të mësoj se si të krijoni gjeneratorët tuaj të thjeshtë të kaosit. Së bashku me ju do të kalojmë nga teoria e thatë në vizualizimin e bukur të proceseve kaotike në hapësirë. Në veçanti, duke përdorur shembullin e tërheqësve të njohur kaotikë, do të tregoj se si të krijojmë sisteme dinamike dhe t'i përdorim ato në problemet që lidhen me logjikën e programueshme qarqe të integruara(FPGA).

Prezantimi

Teoria e kaositështë një shkencë e pazakontë dhe e re që përshkruan sjelljen e sistemeve dinamike jolineare. Në procesin e krijimit të saj, teoria e kaosit thjesht u kthye përmbys shkenca moderne! Ajo ngacmoi mendjet e shkencëtarëve dhe i detyroi ata të zhyten gjithnjë e më shumë në studimin e kaosit dhe vetive të tij. Ndryshe nga zhurma, e cila është një proces i rastësishëm, kaosi është determinist. Kjo do të thotë, për kaosin ekziston një ligj i ndryshimit të sasive të përfshira në ekuacionet për përshkrimin e procesit kaotik. Duket se me këtë përkufizim, kaosi nuk është i ndryshëm nga çdo lëkundje tjetër e përshkruar si funksion. Por kjo nuk është e vërtetë. Sistemet kaotike janë shumë të ndjeshme ndaj kushteve fillestare dhe ndryshimet më të vogla në to mund të çojnë në dallime të mëdha. Këto dallime mund të jenë aq të forta sa është e pamundur të thuhet nëse një ose më shumë sisteme janë studiuar. Nga burimet e njohura të shkencës, kjo veti e kaosit përshkruhet më së miri nga një proces i quajtur " Efekti i fluturës"Shumë njerëz kanë dëgjuar për të, madje kanë lexuar libra dhe kanë parë filma që përdorën teknikën duke përdorur efektin e fluturës. Në thelb, efekti i fluturës pasqyron vetinë kryesore të kaosit.

Shkencëtari amerikan Edward Lorenz, një nga pionierët në fushën e kaosit, tha një herë:

Një flutur që përplas krahët në Iowa mund të shkaktojë një ortek efektesh që mund të kulmojnë në sezonin e shirave në Indonezi.

Pra, le të zhytemi në teorinë e kaosit dhe të shohim se cilat mjete të improvizuara mund të krijojnë kaos.

Teoria

Para se të paraqes materialin kryesor, do të doja të jap disa përkufizime që do të ndihmojnë për të kuptuar dhe sqaruar disa pika në artikull.

Sistemi dinamik- ky është një grup i caktuar elementësh për të cilët specifikohet një marrëdhënie funksionale midis koordinatës së kohës dhe pozicionit në hapësirën fazore të secilit element të sistemit. E thënë thjesht, një sistem dinamik është një sistem gjendja e të cilit në hapësirë ​​ndryshon me kalimin e kohës.
Shumë procese fizike në natyrë përshkruhen nga sisteme ekuacionesh, të cilat janë sisteme dinamike. Për shembull, këto janë proceset e djegies, rrjedha e lëngjeve dhe gazeve, sjellja e fushave magnetike dhe lëkundjet elektrike, reaksionet kimike, fenomenet meteorologjike, ndryshimet në popullatat e bimëve dhe kafshëve, turbulencat në rrymat e detit, lëvizja e planetëve dhe madje edhe galaktikave. Siç mund ta shihni, shumë dukuri fizike mund të përshkruhen në një shkallë ose në një tjetër si një proces kaotik.

Portret fazorështë një plan koordinativ në të cilin çdo pikë i përgjigjet gjendjes së një sistemi dinamik në një moment të caktuar kohor. Me fjalë të tjera, ky është një model hapësinor i sistemit (mund të jetë dy-dimensionale, tre-dimensionale dhe madje katër-dimensionale ose më shumë).

Tërheqës– një grup i caktuar i hapësirës fazore të një sistemi dinamik, për të cilin të gjitha trajektoret tërhiqen nga ky grup me kalimin e kohës. Nëse fare në gjuhë të thjeshtë, atëherë kjo është një zonë e caktuar në të cilën është përqendruar sjellja e sistemit në hapësirë. Shumë procese kaotike janë tërheqëse, sepse ato janë të përqendruara në një zonë të caktuar të hapësirës.

Zbatimi

Në këtë artikull do të doja të flisja për katër tërheqësit kryesorë - Lorentz, Ressler, Rikitake dhe Nose-Hoover. Përveç përshkrimit teorik, artikulli pasqyron aspekte të krijimit të sistemeve dinamike në mjedis MATLAB Simulink dhe integrimin e tyre të mëtejshëm në FPGA të kompanisë Xilinx duke përdorur mjetin Gjeneratori i sistemit. Pse jo VHDL/Verilog? Është e mundur të sintetizohen tërheqës duke përdorur gjuhët RTL, por për vizualizimin më të mirë të të gjitha proceseve, MATLAB është opsioni ideal. Unë nuk do të prek çështjet komplekse që lidhen me llogaritjen e spektrit të eksponentëve të Lyapunov ose ndërtimin e seksioneve Poincare. Dhe aq më tepër, nuk do të ketë formula dhe përfundime të rënda matematikore. Pra, le të fillojmë.

Për të krijuar gjeneratorë kaosi, na duhet softueri i mëposhtëm:

• MATLAB R2014 me licencë për Simulink dhe DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 me licencë System-Generator (DSP Edition).

Këto programe janë mjaft të rënda, ndaj jini të durueshëm kur i instaloni. Është më mirë të filloni instalimin me MATLAB dhe vetëm atëherë të instaloni softuerin Xilinx (me një sekuencë të ndryshme, disa nga miqtë e mi nuk ishin në gjendje të integronin një aplikacion në një tjetër). Kur instaloni këtë të fundit, shfaqet një dritare ku mund të lidhni Simulink dhe System Generator. Nuk ka asgjë të komplikuar ose të pazakontë në instalim, kështu që ne do ta heqim këtë proces.

Tërheqësi i Lorencit

Tërheqësi i Lorencitështë ndoshta sistemi dinamik më i famshëm në teorinë e kaosit. Për disa dekada tani, ka tërhequr vëmendje të madhe nga shumë studiues për të përshkruar disa procese fizike. Tërheqësi u përmend për herë të parë në vitin 1963 në veprat e E. Lorenz, i cili merrej me modelimin e fenomeneve atmosferike. Tërheqësi i Lorencit është një sistem dinamik tredimensional i ekuacioneve diferenciale autonome jolineare të rendit të parë. Ka një strukturë topologjike komplekse, është asimptotikisht e qëndrueshme dhe Lyapunov e qëndrueshme. Tërheqësi i Lorencit përshkruhet nga sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve diferenciale:

Në formulë, një pikë mbi një parametër nënkupton marrjen e një derivati, i cili pasqyron shkallën e ndryshimit të një vlere në lidhje me parametrin ( kuptimi fizik derivat).

Me vlerat e parametrave σ = 10, r= 28 dhe b= 8/3 ky sistem i thjeshtë dinamik është marrë nga E. Lorentz. Për një kohë të gjatë ai nuk mund të kuptonte se çfarë po ndodhte me kompjuterin e tij, derisa më në fund kuptoi se sistemi po shfaqte veti kaotike! Është marrë gjatë eksperimenteve për problemin e modelimit të konvekcionit të lëngut. Përveç kësaj, ky sistem dinamik përshkruan sjelljen e proceseve fizike të mëposhtme:

• – modeli i një lazeri me një modalitet,
• - konvekcioni në një lak të mbyllur dhe një shtresë të sheshtë,
• - rrotullimi i rrotës së ujit,
• - oshilator harmonik me jolinearitet inercial,
• – turbulenca e masave të reve etj.

Figura e mëposhtme tregon sistemin tërheqës Lorentz në MATLAB:

Simbolet e mëposhtme janë përdorur në figurë:

• zbritës: SUB0-3;
• shumëzuesit me konstante: SIGMA, B, R;
• shumëzuesit: MULT0-1;
• integruesit me një qelizë për të specifikuar gjendjen fillestare: INTEGRATORI X,Y,Z;
• Portet OUT: TË DHËNAT X,Y,Z për sinjale XSIG, YSIG, ZSIG;

Përveç kësaj, diagrami paraqet mjete ndihmëse të analizës, këto janë:

• duke ruajtur rezultatet e llogaritjes në një skedar: Në hapësirën e punës X,Y,Z;
• ndërtimi i grafikëve hapësinorë: Grafiku XY, YZ, XZ;
• ndërtimi i grafikëve të kohës: Fushëveprimi XYZ;
• mjete për vlerësimin e burimeve të kristalit të okupuar dhe gjenerimin e kodit HDL nga modeli " Vlerësuesi i burimeve"Dhe" Gjeneratori i sistemit».

Brenda çdo nyje të operacioneve matematikore, është e nevojshme të tregohet thellësia e bitit të të dhënave të ndërmjetme dhe lloji i tyre. Fatkeqësisht, nuk është aq e lehtë të punosh me pikë lundruese në FPGA dhe në shumicën e rasteve të gjitha operacionet kryhen në një format me pikë fikse. Vendosja e gabuar e parametrave mund të çojë në rezultate të pasakta dhe të shkaktojë zhgënjim kur ndërtoni sistemet tuaja. Eksperimentova me sasi të ndryshme, por u vendosa në llojin e mëposhtëm të të dhënave: një vektor 32-bit i numrave të nënshkruar në format me pikë fikse. Për pjesën e plotë ndahen 12 bit, për pjesën thyesore 20 bit.

Duke vendosur vlerën fillestare të sistemit në integruesit X, Y, Z në bllokun e këmbëzës, për shembull, {10, 0, 0} , kam drejtuar modelin. Tre sinjalet e mëposhtme mund të vërehen në bazën kohore:


Edhe nëse koha e simulimit shkon në pafundësi, zbatimi në kohë nuk do të përsëritet kurrë. Proceset kaotike janë jo periodike.

Në hapësirën tredimensionale, tërheqësi Lorentz duket kështu:

Mund të shihet se tërheqësi ka dy pika tërheqëse rreth të cilave ndodh i gjithë procesi. Me një ndryshim të lehtë në kushtet fillestare, procesi do të përqendrohet gjithashtu rreth këtyre pikave, por trajektoret e tij do të ndryshojnë ndjeshëm nga versioni i mëparshëm.

Rössler tërheqës

Tërheqësi i dytë për sa i përket numrit të përmendjeve në artikuj dhe botime shkencore. Për Rössler tërheqës karakterizohet nga prania e një pike kufitare për shfaqjen e vetive kaotike ose periodike. Nën parametra të caktuar të një sistemi dinamik, lëkundjet pushojnë së qeni periodike dhe lindin lëkundje kaotike. Një nga vetitë e jashtëzakonshme të tërheqësit Rössler është struktura fraktale në planin fazor, domethënë fenomeni i vetëngjashmërisë. Mund të vërehet se tërheqës të tjerë, si rregull, e kanë këtë pronë.

Tërheqësi Rössler vërehet në shumë sisteme. Për shembull, përdoret për të përshkruar rrjedhat e lëngjeve, si dhe për të përshkruar sjelljen e reaksioneve të ndryshme kimike dhe proceseve molekulare. Sistemi Rössler përshkruhet nga ekuacionet diferenciale të mëposhtme:

Në mjedisin MATLAB, tërheqësi është ndërtuar si më poshtë:

Realizimi kohor i sasive hapësinore:

Modeli tredimensional i tërheqësit Rössler:

Shpërthim! Vlerat kanë ndryshuar pak:

Tërheqës me kushte fillestare pak të ndryshuara (trajektoret janë të ndryshme!)

Tërheqës me koeficientë të ndryshëm në sistemin e ekuacioneve (procesi kaotik është kthyer në periodik!)

Krahasoni fotografitë e tërheqësve tredimensionale për kushte të ndryshme fillestare dhe koeficientë në sistemin e ekuacioneve. A e shihni sesi trajektoret e lëvizjes ndryshuan në mënyrë dramatike në rastin e parë? Por në një mënyrë apo tjetër ato janë të përqendruara pranë një zone të vetme tërheqëse. Në rastin e dytë, tërheqësi pushoi së shfaquri fare shenja kaosi, duke u kthyer në një lak periodik të mbyllur (cikël limit).

Tërheqës Rikitake

Dinamo Rikitake– një nga sistemet e njohura dinamike të rendit të tretë me sjellje kaotike. Është një model i një dinamo me dy disqe dhe u propozua për herë të parë në problemet e përmbysjes kaotike të fushës gjeomagnetike të Tokës. Shkencëtari Rikitake hetoi një sistem dinamo me dy disqe të ndërlidhur të ndërtuar në atë mënyrë që rryma nga njëra spirale e diskut të derdhej në tjetrën dhe të ngacmonte diskun e dytë, dhe anasjelltas. Në një moment të caktuar, sistemi filloi të mos funksiononte dhe të shfaqte gjëra të paparashikueshme. Studimet aktive të tërheqësit bënë të mundur projektimin e dinamos Rikitake në një model të lidhjes së vorbullave të mëdha të fushave magnetike në bërthamën e Tokës.

Dinamo e Rikitake përshkruhet nga sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:

Modeli dinamo Rikitake në MATLAB:

Zbatimi i përkohshëm:

Tërheqësi (versioni i parë):

Dynamo (versioni i dytë)

Ju mund të vini re se dinamo Rikitake është disi e ngjashme me tërheqësin Lorentz, por këto janë sisteme krejtësisht të ndryshme dhe përshkruajnë procese të ndryshme fizike!

Atraktor Nose-Hoover

Një sistem dinamik tredimensional më pak i famshëm, por jo më pak i rëndësishëm është Termostat Nose-Hoover. Përdoret në teorinë molekulare si një sistem termostatik i kthyeshëm nga koha. Fatkeqësisht, nuk di aq shumë për këtë tërheqës sa di për të tjerët, por më dukej interesante dhe e përfshiva në rishikim.

Termostati Nose-Hoover përshkruhet nga sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:

Modeli Nose-Hoover në MATLAB:

Zbatimi i përkohshëm:

Në këtë libër ne kemi marrë një qasje empirike ndaj lëkundjeve kaotike dhe kemi përshkruar një sërë fenomenesh të ndryshme fizike në të cilat dinamika kaotike luan një rol të rëndësishëm. Natyrisht, jo të gjithë lexuesit kanë qasje në një laborator ose një prirje për eksperimente, megjithëse shumica mund të përdorin kompjuterë dixhitalë. Me këtë në mendje, ne paraqesim në këtë shtojcë një seri eksperimentesh numerike, të realizueshme qoftë në një kompjuter personal ose në një mikrokompjuter, me shpresën se ato do ta ndihmojnë lexuesin të eksplorojë dinamikën e modeleve tashmë klasike të kaosit.

B.1. EKUACIONI LOGJISTIK: DYFIKONI PERIUDHËN

Një nga problemet më të thjeshta për të filluar prezantimin e dinamikave të reja duhet të jetë modeli i rritjes së popullsisë, ose ekuacioni logjistik.

Fenomenet që lidhen me dyfishimin e periudhës u vëzhguan nga studiues të ndryshëm (shih, për shembull, veprën e majit) dhe, natyrisht, Feigenbaum, i cili zbuloi ligjet e famshme të ngjashmërisë së parametrave (shih Kapitujt 1 dhe 5). Një kompjuter personal e bën jashtëzakonisht të lehtë riprodhimin e dy eksperimenteve numerike.

Në eksperimentin e parë kemi një grafik të varësisë në varg. Modaliteti i dyfishimit të periudhës vërehet në vlerat më poshtë Duke filluar me ju do të mund të shihni një trajektore me një periudhë 1. Për të parë trajektoret më të gjata, shënoni 30-50 përsëritjet e para me pika dhe përsëritjet pasuese me një simbol tjetër.

Sigurisht, duke vizatuar varësinë nga , ju do të jeni në gjendje të vëzhgoni mënyrat kalimtare dhe të palëvizshme. Trajektoret kaotike mund të zbulohen në . Në afërsi mund të zbulohet një trajektore me një periudhë prej 3.

Eksperimenti i radhës numerik lidhet me ndërtimin e një diagrami bifurkacioni. Për ta bërë këtë, duhet të ndërtoni një grafik të varësisë në përgjithësi nga parametri i kontrollit. Zgjidhni disa kushte fillestare (për shembull, dhe bëni 100 përsëritje të hartës. Më pas vizatoni vlerat e marra si rezultat i 50 përsëritjeve të ardhshme në boshtin vertikal dhe vlerën përkatëse në boshtin horizontal (ose anasjelltas). Zgjidhni një hapi prej rreth 0.01 dhe kaloni nëpër diagramin Në pikën e dyfishimit të periodës duhet të merrni bifurkacione klasike të tipit pitchfork A mund ta përcaktoni numrin Feigenbaum nga të dhënat e një eksperimenti numerik?

May ofron gjithashtu një listë të eksperimenteve numerike me hartografi të tjera njëdimensionale, për shembull me hartëzimin

Ai e përshkruan këtë hartë si një model i rritjes së popullsisë së një specie të vetme të rregulluar nga një sëmundje epidemike. Eksploroni zonën. Pika e grumbullimit të dyfishimeve të periudhës dhe fillimi i kaosit korrespondojnë me . Punimi i May përmban të dhëna edhe për disa eksperimente të tjera numerike.

B.2. EKUACIONET E LORENTZIT

Një eksperiment numerik i jashtëzakonshëm, pa dyshim i denjë për t'u përsëritur, gjendet në veprën origjinale të Lorencit. Lorentz thjeshtoi ekuacionet e nxjerra nga Salzman bazuar në ekuacionet e konvekcionit termik në një lëng (shih Kapitullin 3). Prioriteti në zbulimin e zgjidhjeve jo periodike të ekuacioneve të konvekcionit, siç pranoi Lorenz, i përket Salzmanit. Për të studiuar lëvizjet kaotike, Lorentz zgjodhi vlerat tashmë klasike të parametrave në ekuacione

Të dhënat e paraqitura në Fig. 1 dhe 2 të artikullit të Lorentz mund të riprodhohen duke zgjedhur kushtet fillestare dhe hapin kohor dhe duke projektuar zgjidhjen ose në një aeroplan ose në një aeroplan

Për të marrë hartën njëdimensionale të nxitur nga kjo rrjedhë, Lorentz mori në konsideratë maksimumet e njëpasnjëshme të ndryshores z, të cilën ai e caktoi Grafiku i varësisë nga tregoi se në këtë rast hartëzimi jepet nga një kurbë që i ngjan formës së çatisë së një shtëpie. Lorentz më pas eksploroi një version të thjeshtuar të këtij hartografimi, të quajtur "hartë e tipit të shtëpisë", një version bilinear i ekuacionit logjistik.

B.3. EKUACIONET E NDËRPRERSHMËRISË DHE TË LORENTZIT

Një shembull i qartë i ndërprerjes mund të shihet duke integruar numerikisht ekuacionet e Lorencit duke përdorur një kompjuter:

me parametra sipas metodës Runge-Kutta. Kur merrni një trajektore periodike, por kur do të shfaqen më shumë "shpërthime" ose zhurma kaotike (shih veprën e Manneville dhe Pomo). Duke matur numrin mesatar N të cikleve periodike midis shpërthimeve (faza laminare), duhet të merrni ligjin e ngjashmërisë

B.4. ATRAKTOR OENON

Një përgjithësim i hartës kuadratike në një vijë për rastin dydimensional (në një aeroplan) u propozua nga astronomi francez Hénon:

Harta Hénon zvogëlohet në hartën logjistike të studiuar nga May dhe Feigenbaum. Vlerat e a dhe b në të cilat shfaqet një tërheqës i çuditshëm përfshijnë, në veçanti, . Ndërtoni një grafik të kësaj harte në një plan, duke e kufizuar atë në një drejtkëndësh. Pasi të keni marrë një tërheqës, përqendroni vëmendjen tuaj në një zonë të vogël të tij dhe zmadhoni këtë zonë duke përdorur një transformim ngjashmërie. Ndiqni një numër dukshëm më të madh të përsëritjeve të hartës dhe përpiquni të zbuloni strukturën fraktale në shkallë të vogël. Nëse keni mjaft durim ose keni një kompjuter të shpejtë në dorë, atëherë kryeni një transformim tjetër të ngjashmërisë dhe përsërisni përsëri për një zonë edhe më të vogël të tërheqësit (shih Fig. 1.20, 1.22).

Nëse keni një program për llogaritjen e eksponentëve të Lyapunov, atëherë është e dobishme të mbani në mend se vlera e eksponentit Lyapunov është dhënë në literaturë, dhe dimensioni fraktal i tërheqësit në hartën Henon është i barabartë me . Duke ndryshuar parametrat a dhe b, mund të përpiqeni të përcaktoni gamën e atyre vlerave në të cilat ekziston tërheqësi dhe të gjeni zonën e dyfishimit të periudhës në rrafshin (a, b).

B.5. EKUACIONI DUFFING: UEDA TRAKTOR

Ky model i një qarku elektrik me induktivitet jolinear u diskutua në kapitull. 3. Ekuacionet e këtij modeli, të shkruara në formën e një sistemi ekuacionesh të rendit të parë, kanë formën

Lëkundjet kaotike në këtë model u studiuan në detaje nga Ueda. Përdorni disa algoritme standarde të integrimit numerik, siç është skema e rendit të katërt Runge-Kutta, dhe merrni parasysh rastin. Kur duhet të merrni një trajektore periodike me pikën 3. (Kryeni seksionin Poincaré në ) Në afërsi të vlerës, trajektorja me pikën 3 duhet të shkojë në lëvizje kaotike pas bifurkimit.

Në periodicitet rikthehet sërish me një regjim kaotik kalimtar (shih Fig. 3.13).

Krahasoni natyrën fraktale të tërheqësit ndërsa zbutja zvogëlohet, duke supozuar dhe 0.05. Ju lutemi vini re se në , vetëm një pjesë e vogël e tërheqësit mbetet, dhe në , lëvizja bëhet periodike.

B.6. EKUACIONI DUFFING ME DY VRIMA POTENCIALE: TRAKTORI HOLMES

Ky shembull u diskutua në librin tonë. Vlen të përsëriten disa eksperimente numerike. Në këtë rast, ekuacionet pa dimension kanë formën

(Duke supozuar dhe prezantuar ekuacionin shtesë z = w, ato mund të shkruhen në formë sistem autonom rendit i tretë.) Faktori 1/2 bën frekuencën natyrore të lëkundjeve të vogla në çdo pus potencial e barabartë me një. Kriteri i kaosit për një koeficient fiks amortizimi dhe variablat u mor në konsideratë nga ne në Kap. 5. Një fushë me interes për kërkime është. Në këtë rajon, një kalim nga regjimi periodik në regjimin kaotik, dritare periodike në regjimin kaotik dhe dalje nga regjimi kaotik në . Ekziston edhe një fushë tjetër interesante: në të gjitha studimet, ne rekomandojmë fuqimisht lexuesin të përdorë hartën e Poincaré. Kur përdorni një kompjuter personal, përpunimi i informacionit me shpejtësi të lartë mund të arrihet përmes trukeve të veçanta gjatë krijimit të një programi (shih Fig. 5.3).

Një tjetër eksperiment numerik interesant është fiksimi i parametrave, për shembull, vendosja dhe ndryshimi i fazës së hartës së Poincare-së, d.m.th., vizatoni pikat që ndryshojnë nga 0 në Vini re përmbysjen e hartës në A lidhet kjo me simetrinë e ekuacionit? (Shih Figurën 4.8.)

B.7. HARTA KUBIK (HOLMES)

Ne ilustruam shumë koncepte të teorisë së lëkundjeve kaotike duke përdorur shembullin e një tërheqës në një model me dy puse potenciale. Dinamika e një modeli të tillë përshkruhet nga një jolinear i zakonshëm ekuacioni diferencial rendi i dytë (shih kapitullin.

2 dhe 3), por një formulë e qartë për hartën Poincaré të një tërheqës të tillë është e panjohur. Holmes propozoi një hartë kubike dy-dimensionale që ka disa veti të një oshilatori Duffing me ngurtësi negative:

Një tërheqës kaotik mund të gjendet pranë vlerave të parametrave

B.8. SHFAQJA E NJË TOPI Kërcues (SHPALLJA STANDARD)

(Shih artikullin e Holmes dhe librin e Lichtenberg dhe Lieberman.) Siç vërehet në kap. 3, harta Poincaré për një top që kërcehet në një tavolinë vibruese mund të shkruhet me saktësi në termat e shpejtësisë pa dimension të topit që godet tavolinën dhe fazës së lëvizjes së tabelës.

ku është humbja e energjisë pas goditjes.

Rasti (kaosi konservator). Ky rast është studiuar në librin e Lichtenberg dhe Lieberman si një model i nxitimit të elektroneve në fusha elektromagnetike. Pas përsëritjes së ekranit, vizatoni pikat që rezultojnë në aeroplan Për të llogaritur, përdorni shprehjen

në një version të përmirësuar të BASIC. Për të marrë një pamje të mirë, do t'ju duhet të ndryshoni kushtet fillestare. Për shembull, zgjidhni dhe monitoroni disa qindra përsëritje të hartës në v të ndryshme nga intervali -

Do të gjeni raste interesante kur. Kur mund të vëzhgohen trajektoret e mbyllura thuajse periodike rreth pikave fikse periodike të hartës. Në , rajonet e kaosit konservator duhet të shfaqen pranë pikave të ndarjeve (shih Fig. 5.21).

Rast. Ky rast korrespondon me një hartë disipative, kur energjia humbet me çdo përplasje midis topit dhe tryezës. Fillojme me . Vini re se megjithëse përsëritjet e para duken kaotike, si në rastin 1, lëvizja bëhet periodike. Për të marrë kaos të ngjashëm me fraktalin, vlerat K duhet të rriten në . Do të merrni një tërheqës të çuditshëm, që të kujton edhe më shumë një fraktal, duke supozuar .

B.9. SHFAQJA E RRETHIT MBI VETEN TUAJ: SINKRONIZIMI I NUMRIT TË RROTHIMIT DHE PEMËVE ZANA

Një pikë që lëviz përgjatë sipërfaqes së një torusi mund të shërbejë si një model matematik abstrakt i dinamikës së dy oshilatorëve të çiftuar. Amplituda e lëvizjes së oshilatorëve shërbejnë si rreze të vogla dhe të mëdha të torusit dhe shpesh supozohet se janë fikse. Fazat e oshilatorëve korrespondojnë me dy kënde që përcaktojnë pozicionin e pikës përgjatë rrethit të vogël (meridianit) dhe rrethit të madh (paralel) në sipërfaqen e torusit. Seksioni Poincaré përgjatë rrathëve të vegjël të torusit gjeneron një ekuacion diferencial njëdimensional të quajtur harta e rrethit në vetvete:

ku është një funksion periodik.

Çdo përsëritje e kësaj harte korrespondon me trajektoren e një oshilatori përgjatë rrethit të madh të torusit. Një objekt i njohur studimi është i ashtuquajturi hartografi standarde rrethore (normalizuar në )

Lëvizjet e mundshme që vërehen me këtë hartë janë: mënyra periodike, kuaziperiodike dhe kaotike. Për të parë ciklet periodike, vizatoni pikat në një rreth me koordinata drejtkëndore

Në parametrin 0 nuk ka asgjë më shumë se numri i rrotullimeve - raporti i dy frekuencave të oshilatorëve të palidhur.

Kur shfaqja mund të jetë periodike dhe kur është një numër irracional. Në këtë rast, ata thonë se oshilatorët janë të sinkronizuar ose se ka ndodhur shtrëngimi i modalitetit. Kur mund të vëzhgoni lëvizje të sinkronizuara ose periodike në rajone me gjerësi të kufizuar përgjatë boshtit O, të cilat, natyrisht, përmbajnë vlera joracionale të parametrit. Për shembull, kur një cikël me periodë 2 mund të gjendet në interval dhe një cikël me periodë 3 mund të gjendet në interval Për të gjetur këto intervale kur, llogaritni numrin e rrotullimeve W si funksion të parametrit në 0 01. Ne llogarisim numrin e rrotullimeve nëse e hedhim poshtë operacionin e krahasimit dhe shkojmë në kufi

Në praktikë, për të marrë numrin e rrotullimeve me saktësi të mjaftueshme, duhet të merrni N > 500. Duke vizatuar W kundrejt , do të shihni një seri pllajash që korrespondojnë me rajonet e sinkronizimit. Për të parë më shumë zona sinkronizimi, duhet të zgjidhni një zonë të vogël AP dhe të vizatoni W për një numër të madh pikash në këtë zonë të vogël.

Çdo rrafshnaltë sinkronizimi në grafik ) korrespondon me një numër racional - raporti i cikleve të një oshilatori me ciklet q të një oshilatori tjetër. Marrëdhëniet janë rregulluar në një sekuencë të njohur si një pemë Fary. Nëse jepen dy rajone të sinkronizimit të mënyrës për vlerat e parametrave, atëherë midis tyre në interval sigurisht që do të ketë një rajon tjetër sinkronizimi me numrin e rrotullimeve

Duke filluar me 0/1 at dhe 1/1 at, mund të ndërtoni të gjithë sekuencën e pafundme të zonave të sinkronizimit. Shumica e tyre janë shumë të ngushta.

Vini re se gjerësia e këtyre rajoneve tenton në zero në dhe bëhet më e madhe në rajonet e sinkronizimit në rrafsh () kanë formën e zgjatjeve të gjata dhe nganjëherë quhen gjuhë Arnold.

B.10. TRAKTOR RÖSSLER: REAKSIONET KIMIKE, PËRAFRIMI NJËDIMENSIONAL I SISTEMEVE SHUMËDIMENSIONALE

Secila nga fushat kryesore të fizikës klasike ka krijuar modelin e vet të dinamikës kaotike: mekanika e lëngjeve - ekuacionet e Lorencit, mekanika strukturore - tërheqësi Duffing-Holmes me dy puse potenciale, inxhinieria elektrike - tërheqësi Duffing-Ueda. Një model tjetër i thjeshtë u ngrit në dinamikën e reaksioneve kimike që ndodhin në disa enë me nxitje. U sugjerua nga Rubssler.

ku është shuma e minorave diagonale të rendit të parë të matricës A

– shuma e minoreve diagonale të rendit të dytë të matricës A

- shuma e minoreve diagonale të rendit të tretë të matricës A

Lea= - ,b= , atëherë renditja e tretë XY ka formën:

gjendja:

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Dy ekuacione karakteristike të Rössler.

Kur zgjidhni një sistem ekuacionesh diferenciale, ekzistojnë 2 pika njëjës P10(0,0,0) dhe P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), nëse bëni të gjitha veprimet me gjetjen e jakobit dhe shumat e elementeve diagonale, atëherë do të fitohen 2 ekuacione Resslera:

3.3 Kushti për përcaktimin e llojit të eigenvlerave të një ekuacioni karakteristik të rendit të tretë.

gjendja:

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – dy (tre) substanca të shumta. rrënjë

Ф(a,b,c)>0 – dy rrënjë komplekse të konjuguara

Rrënjët e ekuacionit karakteristik me parametra: 0,38; 0,30; 4.82 (shalë e paqëndrueshme e fokusit).

Kurbat integrale duhet të ndërtohen në lidhje me secilën pikë të vetme.

Të gjitha "kushtet" konsiderohen + kusht (s-av)> 0 dhe (s-av)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Nëse marrim parasysh ekuacionet me parametrat 0.38..., atëherë marrim një trajektore interesante, trajektorja zmbrapset nga Po1(0,0,0) përgjatë R2 (x1,x2) në hapësirën fazore R3 dhe tërhiqet përgjatë një kurba njëdimensionale, duke formuar një pikë fikse të tipit të shalës -fokus. Pika e përfaqësimit largohet nga rajoni i një pike të paqëndrueshme ekuilibri të tipit Po1 në rrafshin e variablave (x1,x3), dhe pastaj kthehet përsëri në këtë pikë.

Trajektorja homoklinike në hapësirën fazore të sistemit.

Portreti fazor bën të mundur përshkrimin e një karakteristike cilësore të të gjithë grupit të lëvizjeve (proceseve) të lira për një rajon të zgjedhur të hapësirës rrënjësore NU.

nëse trajektorja lë origjinën e koordinatave, atëherë, pasi të ketë bërë një revolucion të plotë rreth njërës prej pikave të qëndrueshme, ajo do të kthehet përsëri në pikën fillestare - lindin dy sythe homoklinike (Koncepti i një trajektoreje homoklinike do të thotë që ajo largohet dhe arrin në i njëjti pozicion ekuilibri).

Trajektorja homoklinike– nuk ndodh nëse parametrat nuk plotësojnë disa kufizime strikte.

Paqëndrueshmëria strukturore e një trajektoreje homoklinike.

Në vlera të mëdha të parametrit, trajektorja pëson ndryshime të rëndësishme. Shilnikov dhe Kaplan treguan se në r shumë të mëdha sistemi kalon në modalitetin e vetë-lëkundjes dhe nëse parametri zvogëlohet, do të vërehet një kalim në kaos përmes një sekuence dyfishimi të periudhës së lëkundjes.

Trajektoret homoklinike- i paqëndrueshëm strukturor.

Tërheqës i çuditshëm

Tërheqës i çuditshëm: një pozicion ekuilibri i paqëndrueshëm është tipari kryesor i sjelljes kaotike. Trajektoret janë shumë të ndjeshme ndaj ndryshimeve në kushtet fillestare - kjo cilësi është e natyrshme në tërheqës të çuditshëm.

Një tërheqës i çuditshëm është një tërheqës që ka dy dallime domethënëse nga një tërheqës i rregullt: trajektorja e një tërheqës të tillë është jo periodike (nuk mbyllet) dhe mënyra e funksionimit është e paqëndrueshme (devijimet e vogla nga modaliteti rriten). Kriteri kryesor për natyrën kaotike të një tërheqës është rritja eksponenciale në kohën e shqetësimeve të vogla. Pasoja e kësaj është “përzierja” në sistem, mosperiodiciteti në kohë i ndonjë prej koordinatave të sistemit, spektri i vazhdueshëm i fuqisë dhe funksioni autokorrelativ që zvogëlohet në kohë.

Dinamika në tërheqës të çuditshëm është shpesh kaotike: parashikimi i një trajektoreje që bie në një tërheqës është i vështirë, pasi një pasaktësi e vogël në të dhënat fillestare mund të çojë pas njëfarë kohe në një mospërputhje të fortë midis parashikimit dhe trajektores aktuale. Paparashikueshmëria e trajektores në sistemet dinamike përcaktuese quhet kaos dinamik, duke e dalluar atë nga kaosi stokastik që lind në sistemet dinamike stokastike. Ky fenomen quhet edhe efekti i fluturës, duke nënkuptuar mundësinë e shndërrimit të rrymave të dobëta turbulente të ajrit të shkaktuara nga përplasja e krahëve të një fluture në një pikë të planetit në një tornado të fuqishme në anën tjetër për shkak të intensifikimit të tyre të shumëfishtë në atmosferë mbi një periudhë kohore.

A është e mundur të kesh sjellje stokastike dhe të rregullt në të njëjtën kohë? Apo është gjithmonë ose i rregullt ose stokastik?

Si sjellja e rregullt ashtu edhe ajo kaotike e sistemeve disipative dinamike me shumë variabla (n>2) janë të mundshme, jo vetëm veçmas (ose ose), por edhe në të njëjtën kohë.

Nuk mund të thuhet se sistemi kalon në kaos pas bifurkacionit të parë (pasi shkoi në një vend dhe erdhi në një tjetër)

Pse urdhri i tretë? A është e mundur që tërheqës të çuditshëm të lindin në sistemet e rendit të dytë? Dhe në sisteme më të larta se të rendit të tretë?

Kushtet më të sakta matematikore për shfaqjen e kaosit duken kështu:

Sistemi duhet të ketë karakteristika jolineare, të jetë globalisht i qëndrueshëm, por të ketë të paktën një pikë ekuilibri të paqëndrueshme të një lloji oscilues dhe dimensioni i sistemit duhet të jetë së paku 1.5 (d.m.th., rendi i ekuacionit diferencial është të paktën 3).

Sistemet lineare nuk janë kurrë kaotike. Që një sistem dinamik të jetë kaotik, ai duhet të jetë jolinear. Sipas teoremës Poincaré-Bendixson, një sistem dinamik i vazhdueshëm në një plan nuk mund të jetë kaotik. Ndër sistemet e vazhdueshme, vetëm sistemet hapësinore jo të sheshta kanë sjellje kaotike (kërkohet prania e të paktën tre dimensioneve ose gjeometrisë jo-Euklidiane). Sidoqoftë, një sistem dinamik diskret në një fazë mund të shfaqë sjellje kaotike edhe në hapësirën një ose dy-dimensionale.

Leksioni 3. Sistemet e integrueshme dhe jo të integrueshme. Sistemet konservatore

Sistemet e integruara

1. Reduktueshmëria në lëvizjen e lirë (të patrazuar) të sistemeve. Çfarë ndodh nëse ka pakësim?

Për sistemet e integrueshme, ne mund të eliminojmë ndërveprimet dhe ta reduktojmë problemin në problemin e lëvizjen e lirë. Për lëvizjen e lirë Nuk është e vështirë të gjesh shprehje për koordinatat dhe shpejtësitë në formën e funksioneve të qarta të kohës. Për sistemet jo të integrueshme, është e nevojshme të braktisni përshkrimin për sa i përket trajektoreve dhe të shkoni në një përshkrim probabilistik (me pakësueshmëri).

A është e mundur të përshkruhet një sistem i paintegrueshëm për sa i përket trajektoreve?

jo e pamundur. Po flasim për një përshkrim thelbësisht probabilist, i pakalueshëm në një përshkrim për sa i përket trajektoreve individuale.

A mundet një sistem i përcaktuar nga një ekuacion përcaktues të ketë dinamikë stokastike?

D. s. në kontrast me sistemin probabilistik, rezultatet e të cilave varen vetëm në mënyrë të rastësishme, dhe jo në mënyrë unike, nga inputet (në d.s. varet në mënyrë unike nga inputet).

Le të shqyrtojmë imazhin e një tërheqës të çuditshëm të sistemit Rössler. Konfigurimi i tij gjeometrik mund të vizualizohet si më poshtë. Merrni një shirit letre që zgjerohet drejt njërit skaj (a). Në fund të gjerë, palosni shiritin në gjysmë dhe më pas ngjiteni në një unazë siç tregohet në Fig. (b-g). Një model i tillë letre jep një ide të mirë për tërheqësin Ressler dhe rregullimin hapësinor të trajektoreve të tij. Megjithatë, është e pasaktë në një detaj thelbësor. Zgjidhja për SDE-në e Rössler-it mund të ndërtohet si përpara ashtu edhe prapa në kohë, dhe teorema e unike është e vlefshme. Rrjedhimisht, dy trajektore të ndryshme fazore nuk mund të konvergojnë në një, që do të thotë se procedura e ngjitjes është e paligjshme.

Zgjidhja e kontradiktës është se "kaseta" nga e cila është "ngjitur" tërheqësi Rössler është në fakt një formacion me shtresa, një grup fletësh. Procedura e ngjitjes është e barabartë me vendosjen e një korrespondence një-për-një midis grupit të fletëve të shiritit origjinal dhe grupit të fletëve të shiritit të palosur në gjysmë. Një korrespondencë e tillë mund të ndodhë vetëm nëse të dy grupet janë të pafundme. Kështu, tërheqësi Ressler duhet të ketë një numër të pafund shtresash në seksionin e tij kryq dhe, për rrjedhojë, të përfaqësojë një strukturë komplekse, siç thonë ata, një objekt fraktal.

I njëjti lloj strukture është karakteristik për tërheqës të tjerë të çuditshëm. Figura tregon një diagram nga artikulli i Hainault që ilustron strukturën e tërheqësit në hartografi (2). Mund të vërehet se pika kryesore në motivimin e kësaj pune ishte pikërisht qëllimi për të paraqitur një shembull më vizual të strukturës fraktal të një tërheqës për shqyrtim sesa ai i demonstruar nga modeli i Lorencit i njohur në atë kohë. Riprodhimi i strukturës fraktale të tërheqësit Hainault në shkallë të ndryshme rezolucioni

Fraktalet Fraktale kuptohen si grupe që demonstrojnë vetitë e ngjashmërisë (ose pandryshueshmërisë së shkallës) në një kuptim të rreptë ose të përafërt në shkallë të ndryshme rezolucioni të strukturës së tyre gjeometrike, si dhe objekte në natyrë që e kanë këtë veti, të paktën përafërsisht, në një masë të drejtë. gamë të gjerë peshoresh. Koncepti i një fraktali hyri në përdorim falë matematikanit Benoit Mandelbrot për të përcaktuar objekte gjeometrike jo të parëndësishme. Ai tërhoqi vëmendjen për faktin se objektet fraktale mund të konsiderohen jo vetëm si "përbindësha matematikore", por si modele të vetive gjeometrike të formacioneve shumë reale në natyrë (vija bregdetare, retë, vargmalet, pemët, vorbullat në një lëng të turbullt, etj. .) . Klasifikimi i fraktaleve 1. Konstruktiv (ndërtuar duke përdorur disa procedura gjeometrike ose algjebrike rekursive). 2. Dinamik (i gjeneruar nga sistemet dinamike). 3. Natyrore (vërejtur në natyrë). 4. Stokastike (trajektorja e një grimce Browniane ose një trajektore arbitrare e një procesi të rastësishëm difuzioni).

Fraktali më i thjeshtë konstruktiv lidhet me një ndërtim të propozuar në vitin 1883 nga themeluesi i teorisë së grupeve, Georg Cantor. Duke pasur një segment njësi, ndajeni atë në tre pjesë të barabarta dhe hidhni intervalin që zë të tretën e mesme. Ne përsëri ndajmë secilin nga segmentet e mbetura në tre pjesë dhe hedhim të tretën e mesme, dhe kështu me radhë ad infinitum. Ajo që mbetet në fund është seti Cantor ose "Pluhuri Cantor". Seti Cantor plotëson përkufizimin e një fraktali: çdo fragment i tij, i marrë nga një segment në një nivel të caktuar ndërtimi, është i ngjashëm me të gjithë grupin dhe futet në të me një rillogaritje të përshtatshme të shkallës. Le të vëmë re dy veti të grupit Cantor. 1) Ky grup ka masë zero (gjatësi zero), d.m.th. gjatësia totale e të gjitha intervaleve të hedhura është e barabartë me 1, gjatësia e intervalit origjinal. Në hapin e parë hidhet një interval me gjatësi 1/3, në hapin e dytë - dy intervale me gjatësi 1/9, në n-të - 2 n intervale me gjatësi 3 -n+1. Duke llogaritur shumën, marrim

2) Seti Cantor ka kardinalitetin e një vazhdimësie, d.m.th. lejon vendosjen e një korrespondence një-për-një me grupin e të gjitha pikave të një intervali njësi për shkak të algoritmit për ndërtimin e tij. Duke ndryshuar rregullin për ndarjen e një segmenti njësi dhe duke futur ndarjen në tre pjesë të pabarabarta, mund të merret një grup Cantor më kompleks me dy shkallë (multifraktale). Flokë dëbore Koch është një shembull i një zone me një kufi fraktal. Fillojmë ndërtimin me një trekëndësh barabrinjës. Pastaj në secilën anë zëvendësojmë të tretën e mesme me një vijë të thyer të dy segmenteve me të njëjtën gjatësi. Duke e përsëritur procedurën shumë herë ad infinitum, përfundimisht arrijmë në një objekt fraktal. 4 përsëritjet e para të 7 hapave të ndërtimit të borës Koch

Për të ndërtuar një pecetë Sierpinski (trekëndësh), marrim një trekëndësh barabrinjës, i cili mund të imagjinohet si i përbërë nga katër trekëndësha më të vegjël. Hidhni jashtë trekëndëshin e mesëm. Më pas, ne kryejmë të njëjtat veprime me secilin nga trekëndëshat e mbetur deri në pafundësi. Tapeti i Sierpinskit është ndërtuar në bazë të një katrori, i cili ndahet në 9 pjesë të barabarta me vija vertikale dhe horizontale, dhe sheshi i mesit hidhet poshtë. Me çdo katror të mbetur e njëjta procedurë, dhe kështu me radhë ad infinitum.

Fraktalet e krijuara nga dinamika përcaktuese e sistemeve jolineare quhen dinamike. Fraktalet dinamike mund të jenë tërheqës ose grupe të tjera kufizuese në hapësirën fazore, dimensioni i të cilave N për rrjedhat duhet të jetë N > 2, dhe për sistemet me kohë diskrete N 2. Kur flasin për tërheqës të parregullt, ata bëjnë dallimin midis koncepteve "të çuditshme". dhe "kaotike". Është vetia e "çuditshmërisë" që i referohet gjeometrisë së saj jo të parëndësishme (fraktale). Kufijtë e pellgjeve tërheqëse të disa tërheqësve bashkëekzistues kanë veti fraktale, dhe kjo është tipar karakteristik DS jolineare. 2, "> 2, dhe për sistemet me kohë diskrete N 2. Kur flasin për tërheqës të parregullt, ata ndajnë konceptet "të çuditshme" dhe "kaotike". Është vetia e "çuditshmërisë" që i referohet jo-parëndësishme të saj. gjeometria (fraktale) Kufijtë kanë veti fraktale të pellgjeve të tërheqjes së disa tërheqësve bashkëekzistues dhe kjo është një veçori karakteristike e DS jolineare." Fraktalet dinamike mund të jenë tërheqëse ose grupe të tjera kufizuese në hapësirën fazore, dimensioni i të cilit N për fijet duhet të jetë N > 2,"> title="Fraktalet e krijuara nga dinamika përcaktuese e sistemeve jolineare quhen dinamike. Fraktalet dinamike mund të jenë tërheqës ose grupe të tjera kufizuese në hapësirën fazore, dimensioni i të cilave N për rrjedhat duhet të jetë N > 2,"> !}

Shumë fraktale dinamike që janë të famshme për bukurinë e tyre shoqërohen me hartën e mëposhtme të thjeshtë Julia: ku Z është një ndryshore komplekse dhe C është një parametër kompleks. Kompleti Julia është një shembull i një kufiri fraktal midis pellgjeve të tërheqjes së një tërheqës në pafundësi (rajoni gështenjë) dhe lëvizjes periodike (rajoni me shumë ngjyra). Toni (ngjyra) përcaktohet nga numri i përsëritjeve që duhen për të arritur tërheqësin.

Kompleti Mandelbrot Kjo strukturë fraktale përftohet duke aplikuar në mënyrë të përsëritur një transformim algjebrik (relacion përsëritjeje) duke përdorur një funksion të një ndryshoreje komplekse. Ngjyra e zezë në mes tregon se në këto pika funksioni tenton në zero - ky është grupi Mandelbrot. Jashtë këtij grupi, funksioni tenton në pafundësi. Gjëja më interesante janë kufijtë e grupit. Ato janë fraktale. Në kufijtë e këtij grupi, funksioni sillet në mënyrë të paparashikueshme - në mënyrë kaotike.

Dimensionet e tërheqësve Një tipar dallues i tërheqësve të çuditshëm është prania e vetive të pandryshueshmërisë së shkallës (shkallëzimit), e cila shprehet në përsëritshmërinë e strukturës së tyre në shkallë gjithnjë e më të vogla. Pasojë e ligjeve të ngjashmërisë është universaliteti në gjeometrinë e grupeve kaotike të seksioneve Poincare, në shpërndarjen e energjisë së vibrimit mbi frekuencat dhe amplituda në spektër, etj. Për të karakterizuar tërheqës të çuditshëm, është prezantuar koncepti i dimensionit. Dimensioni përcakton sasinë e informacionit të kërkuar për të specifikuar koordinatat e një pike që i përket tërheqësit, brenda saktësisë së specifikuar. Për tërheqësit e rregullt që janë shumëfish, dimensioni është një numër i plotë: një pikë fikse ka dimensionin 0, një cikël kufi ka dimensionin 1 dhe një torus dydimensional ka dimensionin 2. Për shkak të kompleksitetit të strukturës gjeometrike, tërheqës të çuditshëm nuk janë shumëfish dhe kanë përmasa të pjesshme. Përkufizimet e dimensionit përgjithësisht ndahen në dy lloje: ato që varen vetëm nga vetitë metrike të tërheqësit dhe, përveç metrikës, ato që varen nga vetitë statistikore të rrjedhës për shkak të dinamikës. Në rastet tipike, dimensionet metrike marrin të njëjtën vlerë, e cila zakonisht quhet dimensioni fraktal i tërheqësit D. Dimensioni përcaktohet duke marrë parasysh probabilitetin e një vizite nga trajektorja fusha të ndryshme tërheqës në hapësirën fazore quhet informacioni ose dimensioni i masës natyrore.

(29)

Duke aplikuar përkufizimin (29) për të llogaritur përmasat e një pike, vijës dhe sipërfaqes, mund të verifikoni respektivisht vlerat e zakonshme të 0, 1 dhe 2. Për grupe jo të parëndësishme, dimensioni fraktal është gjithmonë i pjesshëm. Kjo pronë përdoret si tipar karakteristik"çuditshmëria" e tërheqësit. Dimensioni fraktal i përcaktuar duke mbuluar një grup me qeliza të një forme dhe madhësie fikse quhet kapaciteti i grupit. Nëse elemente të formës dhe madhësisë arbitrare përdoren për të mbuluar një grup, atëherë dimensioni i llogaritur në këtë mënyrë quhet dimensioni Hausdorff. Për fraktale, ky dimension dhe kapacitet përputhen dhe thjesht flasin për dimensionin fraktal të objektit.

Dimensioni i informacionit Së bashku me dimensionin fraktal, futen dhe përdoren një sërë të tjerash, duke përfshirë informacionin, korrelacionin dhe dimensionet e përgjithësuara Renyi. Pse nuk mjafton vetëm dimensioni metrikë? Le të imagjinojmë që tërheqësi është heterogjen - disa zona (elemente mbulimi) vizitohen më shpesh, të tjerët më rrallë. Kjo rrethanë nuk pasqyrohet në asnjë mënyrë në përcaktimin e kapacitetit. Le të përcaktohet një masë e pandryshueshme për një tërheqës, dhe ne kemi ndërtuar një mbulesë të këtij tërheqës, ndërsa secila qelizë e mbulesës do të ketë vlerën e saj specifike të masës. Me fjalë të tjera, çdo qelizë e mbulimit i-të do të ketë një probabilitet të caktuar për të qenë në të p i. Duke supozuar se qelizat mbulojnë plotësisht tërheqësin dhe nuk mbivendosen njëra-tjetrën, ne kemi Konsideroni tani shumën (30) Kjo vlerë mund të interpretohet si sasia e informacionit në deklaratën se pika përfaqësuese gjendet në një qelizë specifike mbulimi.

Është e qartë se me zvogëlimin e madhësisë së qelizave të mbulimit, vlera e shumës (30) do të rritet: sa më të vogla të jenë qelizat, aq më shumë informacion ka në deklaratën se pika ra në një qelizë specifike të caktuar. Kjo rritje ndjek ligjin (31) ose, në mënyrë ekuivalente, ka një kufi (32) Sasia D I quhet dimensioni i informacionit.

Dimensioni i korrelacionit dhe algoritmi Grassberger-Procaccia Shqyrtoni përsëri mbulimin e tërheqësit nga qelizat e së njëjtës madhësi dhe supozoni se dy pika që i përkasin tërheqësit, x 1 dhe x 2, janë zgjedhur në mënyrë të rastësishme do të përfundojë në qelizën e i-të? Probabiliteti që një pikë bie brenda elementi i-të mbulimi është i barabartë me p i. Nëse të dyja pikat që futen në një qelizë të caktuar mund të konsiderohen ngjarje të pavarura, atëherë probabiliteti do të jetë p i 2. Konsideroni shumën (33) Me zvogëlimin e madhësisë së qelizave, shuma do të ulet dhe kjo do të ndodhë sipas ligjit të fuqisë (34) ose, në mënyrë ekuivalente, ekziston një kufi (35) Vlera e D C quhet dimensioni i korrelacionit.
Dimensioni i përgjithësuar Ju mund të përgjithësoni dimensionet D F, D I, D C dhe të prezantoni një dimension të rendit q, duke përdorur entropinë e përgjithësuar të rendit q (entropia Rényi) (37) ku P i është probabiliteti për të zbuluar një pikë të caktuar në elementi i-të mbulesa. Atëherë dimensioni i rendit q është (38) Mund të tregohet se D 0 = D F, D 1 = D I, D 2 = D C.

Dimensioni i Lyapunovit Dimensioni fraktal i tërheqësit DS në hapësirën fazore R N mund të vlerësohet duke përdorur spektrin e indekseve karakteristike Lyapunov (LCP). Ky vlerësim quhet dimensioni Lyapunov D L dhe jepet nga një lidhje e caktuar e quajtur formula Kaplan-Yorke. Le të dihet spektri LCP i një tërheqësi të çuditshëm të një sistemi N-dimensionale, dimensioni i të cilit duhet të vlerësohet: 1 2 ... N. Shuma e të gjithë treguesve të spektrit është negative për shkak të disipativitetit të sistemit. Le të shqyrtojmë treguesit e parë k të spektrit LCP, ku k - numri më i madh, që plotëson kushtin Numri i specifikuar i treguesve përfshin të gjithë pozitivët, të gjithë zero dhe disa negativë, në mënyrë që shuma të mbetet jo negative. Meqenëse shuma e treguesve specifikon natyrën e ndryshimit lokal në elementin e vëllimit fazor në tërheqës, atëherë vëllimi fazor i dimensionit k

Kështu, mund të supozojmë se dimensioni i tërheqësit qëndron në intervalin k D L k + 1. Është e arsyeshme të kërkohet që lëvizja në tërheqës t'i bindet një kushti që korrespondon me konceptet fizike të stacionaritetit të procesit, ku d është pjesa thyesore e dimensionit. Dimensioni i plotë Lyapunov i tërheqësit do të jetë shuma e pjesëve të numrit të plotë k dhe pjesës d të pjesshme: (39) Dallimet në nënshkrimin e spektrave LCP dhe dimensionit D L mund të jenë një shenjë e klasifikimit të tërheqësve të rregullt dhe të çuditshëm. Nga formula Kaplan-York (39) për tërheqësit e rregullt marrim vlerat e mëposhtme të dimensionit Lyapunov, të cilat përkojnë me dimensionin fraktal të grupit përkatës dhe janë të barabarta me numrin e treguesve zero në spektrin LCP: gjendja e ekuilibrit (-, -, -, ...) – D L = 0; cikli kufi (0, -, -, -, …) – D L = 1; torus dydimensional (0, 0, -, -, …) – D L = 2; Torus N-dimensionale (0, 0, 0, …,0, -, …) – D L = N.

Për tërheqësit e rregullt, sa vijon janë në përputhje të plotë: dimensioni Lyapunov, dimensioni fraktal dhe nënshkrimi i spektrit LHP të tërheqësit. Në lidhje me tërheqësit e çuditshëm, një ndërveprim i tillë mund të diskutohet vetëm në lidhje me sistemet diferenciale tre-dimensionale dhe hartat e kthyeshme dydimensionale me shtrirje dhe ngjeshje të vazhdueshme. Është vërtetuar se për tërheqësit në sisteme të tilla, dimensioni fraktal mund të përcaktohet nga relacionet e mëposhtme: - për pasqyrimet dydimensionale - për sistemet diferenciale tredimensionale Në rastin e përgjithshëm, marrëdhënia e mëposhtme ndërmjet dimensioneve ndodh: brenda kufijve të gabimeve të llogaritjes, përafërsisht mund të supozojmë se vlerat e dimensioneve përkojnë. Kur zgjidhni se cili përkufizim i dimensionit është më i mirë për t'u përdorur, zakonisht bazohet nga mundësitë e llogaritjeve numerike. Kur modeloni numerikisht DS, është më e përshtatshme të përdorni dimensionin Lyapunov. Për të vlerësuar dimensionin fraktal të një tërheqësi nga të dhënat eksperimentale, dimensioni i korrelacionit është më i përshtatshmi.