С помощью рассмотренных дискретных случайных величин невозможно описать реальные случайные эксперименты. Действительно, таким величинам, как размеры любых физических объектов, температура, давление, длительность тех ли иных физических процессов, нельзя приписать дискретное множество возможных значений. Естественно считать, что это множество заполняет какой-то числовой промежуток. Поэтому вводится понятие непрерывной случайной величины.
Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину Х , множество значений которой – некоторый числовой интервал.
Рассмотрим примеры непрерывных случайных величин.
1. Х –
промежуток времени между двумя отказами (сбоями) вычислительной машины. Тогда 
.
2. Х –
высота подъема воды в половодье. В этом случае 
.
Ясно, что для непрерывной случайной величины, значения которой сплошь заполняют некоторый интервал оси абсцисс, ряд распределения построить невозможно. Во-первых, нельзя перечислить одно за другим возможные значения и, во-вторых, как мы покажем далее, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
В противном случае, т.е. если бы каждому отдельному значению непрерывной случайной величины соотнести ненулевую вероятность, то при суммировании всех вероятностей можно получить число, отличное от единицы, так как множество значений непрерывной случайной величины несчетно (значения заполняют сплошь некоторый интервал).
Пусть множество содержит несчетное множество значений непрерывной случайной величины Х
. Систему подмножеств образуют любые подмножества, которые могут быть полученыиз множества , ,
путем применения счетного числа раз операций объединения, пересечения, дополнения. Система ,
следовательно, будет содержать множества вида {х 1 <Х<х 2
},
, 
, 
, , , .
Для определения на этих множествах вероятностноймеры введем понятие плотности распределения вероятностей.
Определение 2.5. Плотностью распределения вероятностей р(х) непрерывной случайной величины Х называется предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины Х на интервал , примыкающей к точке х, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю т. е.
(2.4)
Кривая, изображающая плотность распределения вероятностей (плотность вероятности) непрерывной случайной величины, называется кривой распределения. Например, кривая распределения может иметь вид, как на рис. 2.4.
Следует отметить, что если р (х) умножить на , то величина р(х) , называемая элементом вероятности, характеризует вероятность того, что Х принимает значения из интервала длиной , примыкающего к точке х. Геометрически – это площадь прямоугольника со сторонами и р(х) (см. рис. 2.4).
Тогда вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на отрезок будет равна сумме элементов вероятности на всем этом отрезке , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = р (х) , осью Ох и прямыми х = а, х = β:
, (2.5)
так как площадь заштрихованной фигуры будет стремиться к площади криволинейной трапеции при (рис. 2.5).
Плотность вероятности обладает следующими свойствами.
1
°. р(х)
0 
, так как предел неотрицательных величин – величина неотрицательная.
2
°. 
,
так как вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения из интервала , т.е. вероятность достоверного события равна единице.
3 °. р(х) - непрерывна или кусочно непрерывна.
Таким образом, с помощью формулы (2.5) вводится нормированная вероятностная мера на любых подмножествах множества .
Функция распределения случайной величины Х –
это функция F(х)
действительной переменной х
, определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие некоторого фиксированного числа х,
т.е. 
: .
Тогда из формулы (2.5) следует, что для любых
. (2.6)
Геометрически функция распределения есть площадь фигуры, лежащей левее точки х, ограниченной кривой распределения у = р(х) и осью абсцисс. Из формулы (2.6) и теоремы Барроу для случая, когда р (х) непрерывна, следует, что
р(х) = (2.7)
Рис.2.6 Рис.2.7
Это равенство нарушается в точках разрыва плотности вероятностей. График F(х) непрерывной случайной величины Х может иметь вид кривой, приведенной на рис. 2.6.
Дадим строгое определенне непрерывной случайной величины.
Определение 2.6. Случайная величина Х называегся непрерывной, если существует неотрицательная функция р(х), что для любых выполняется равенство (2.6).
Функция распределения F(х), удовлетворяющая равенству (2.6), называется абсолютно непрерывной.
Итак, функция распределения непрерывной случайной величины задает абсолютно непрерывное распределение случайной величины.
Для непрерывной случайной величины Х справедлива следующая теорема.
Теорема 2.4. Вероятнсть отдельного значения непрерывной случайной величины Х равна нулю:
Доказательство. По теореме 2.3 вероятность отдельного значения равна:
Так как для непрерывной случайной величины , то .
Из доказанной теоремы следует справедливость равенств:
Действительно, , так как 
и т.д.
Таким образом, для вычисления вероятностей произвольных событий , где надо задать на множестве значений непрерывной случайной величины либо функцию распределения F(х) , либо плотность распределения вероятностей р(х) .
Пример 2.4. Случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей
Найти параметр с и функцию распределения F(х) . Построитьграфики функций р(х) и F(х).
Решение.
Для нахождения параметра с
, воспользуемся свойством 2
○ плотности распределения вероятностей: . Подставив значение плотности, получим 
. Вычислив интеграл 
, найдем значение с из равенства: , .
Плотность распределения вероятностей примет вид
Поскольку плотность задана при помощи трех формул, то вычисление функции распределения зависит от расположения на числовой оси. Если:
1) , то воспользовавшись формулой (2.6), получим
Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (часто ее называют дифференциальной функцией ).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) - первую производную от функции распределения F (x) :
f (x)= F" (x).
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема . Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :
Зная плотность распределения f(x) , можно найти функцию распределения F (х) по формуле
.
Свойства плотности распределения:
Свойство 1.
Плотность распределения - неотрицательная функция: 
.
Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох , либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения .
Свойство 2
. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от 
до 
равен единице:
.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.
В частности, если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b ), то
.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако он зачастую неизвестен заранее и приходится пользоваться косвенными сведениями. Во многих случаях этих косвенных характеристик вполне достаточно для решения практических задач и определять закон распределения не нужно. Такие характеристики называют числовыми характерис тиками случайной величины. И первой из них является математическое ожидание.
Математическим ожиданиемдискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений (x 1 , x 2 , …, x n ) на их вероятности (p 1 , p 2 , …, p n ):
Следует заметить, что M (x ) есть неслучайная (постоянная) величина. Можно доказать, что M (x ) приближенно равно (и тем точнее, чем больше число испытаний n ) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Математическое ожидание имеет следующие свойства :
· Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
.
· Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
· Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y (т.е. закон распределения одной из них не зависит от возможных значений другой) равно произведению их математических ожиданий:
· Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Здесь под суммой X + Y случайных величин понимается новая случайная величина, значения которой равны суммам каждого значения X с каждым возможным значением Y ; вероятности возможных значений X + Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых – произведениям вероятностей одного слагаемого на условную вероятность другого. Так, если X и Y – независимы и их законы распределения
· Если производится n независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность события A постоянна и равна p , то математическое ожидание числа появлений события A в серии:
.
Отметим, что свойства третье и четвертое легко обобщаются для любого количества случайных величин.
Дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание – удобная характеристика, но часто ее недостаточно для суждения о возможных значениях случайной величины или о том, как они рассеяны вокруг среднего значения. Поэтому вводятся и другие числовые характеристики.
Пусть X – случайная величина с математическим ожиданием M (X ). Отклонением X 0 назовем разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:
.
Математическое ожидание отклонения M (X 0) = 0.
Пример. Пусть задан закон распределения величины X :
Отклонение является промежуточной характеристикой, на основе которой введем более удобную характеристику. Дисперсией (рассеиванием ) дискретной случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:
Для примера найдем дисперсию величины X со следующим законом распределения:
Здесь . Искомая дисперсия:
Величина дисперсии определяется не только значениями случайной величины, но и их вероятностями. Поэтому в случае если две случайные величины имеют одинаковые или близкие математические ожидания (это достаточно часто встречается), то дисперсии, как правило, различны. Это позволяет дополнительно характеризовать изучаемую случайную величину.
Перечислим свойства дисперсии:
· Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
· Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
· Дисперсия суммы и разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
· Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность P появления события постоянна , определяется по формуле:
,
где 
– вероятность непоявления события.
Удобной вспомогательной характеристикой, используемой в расчетах даже чаще, чем D (X ), является среднеквадратическое отклонение (или стандарт ) случайной величины:
.
Дело в том, что D (X ) имеет размерность квадрата размерности случайной величины, а размерность стандарта X ) та же, что и у случайной величины X . Это очень удобно для оценки разброса случайной величины.
Пример. Пусть случайная величина задается распределением:
| X | 2м | 3м | 10м |
| P | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
Рассчитываем: м,
а стандарт: м.
Поэтому про случайную величину X
можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с разбросом 
м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.
Отметим, что для суммы n независимых случайных величин:
Начальные и центральные теоретические моменты
Для большинства практических расчетов введенных выше числовых характеристик M X ),D X )и X ) достаточно. Однако для исследования поведения случайных величин можно использовать и некоторые дополнительные числовые характеристики, позволяющие отследить нюансы поведения случайной величины и обобщить вышеизложенную теорию.
Начальным моментомk-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X k :
Закон распределения вероятностей случайной величины можно задавать с помощью интегральной функции распределения. Интегральной функцией распределения называется функция F(X), для каждого значения х определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее...Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Функция F(X) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 1. Для значений функции распределения F(x ) имеет место 2. F(x) - неубывающая функция, т.е. 3. Вероятность...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Непрерывная случайная величина. Плотность распределения
Определение 3.6. СВ % называется непрерывной, если существует такая функция р(х ) называемая плотностью вероятностей или плотностью распределения вероятностей, что ФР СВ?, равна Если в точке х плотность р(х) непрерывна, то, дифференцируя левую и правую...4.3. Непрерывная двумерная случайная величина. Совместная плотность распределения
По аналогии с «-мерной случайной величиной дадим следующее определение. Определение 4.8. Двумерный случайной вектор (?, р) называется непрерывным, если существует такая неотрицательная функция р(х, у), называемая совместной плотностью распределения случайных величин? и р, что Из...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ)
Плотность распределения
Рис. 1.9. Основные характеристики нормального распределения при разных значениях среднего квадратического отклонения: а - плотность вероятности /(/); б - вероятность безотказной работы р(/); в - интенсивность отказов Х(/) Распределение имеет два независимых параметра: математическое...(НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ)
Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
Закономраспределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (х.,и их вероятностей/? (х.,у.) (?= 1,2.....«; j= 1,2,...,»?). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 2). Первая строка...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих. Найдем сначала плотность распределения составляющей X. Обозначим через Fx(x) функцию распределения составляющей X. По определению...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие . Любая количественная характеристика , которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Пусть -
произвольное вероятностное пространство. Случайной
величиной
называется действительная числовая
функция x
=x
(w
), w
W
, такая, что
при любом действительном x 
.
Событие принято записывать в виде x < x . В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x , h , z , …
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I =).
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения .
Если x .- случайная величина, то функция F (x ) = F x (x ) = P (x < x ) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P (x < x ) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x .
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением .
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < x i < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < p i < …, то таблица вида
| x 1 | x 2 | … | x i | … |
| p 1 | p 2 | … | p i | … |
называется распределением дискретной случайной величины .
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Если функция распределения F x (x ) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема , то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p x (x ), которая связана с функцией распределения F x (x ) формулами
и 
.
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
При решении практических задач часто требуется найти значение x , при котором функция распределения F x (x ) случайной величины x принимает заданное значение p , т.е. требуется решить уравнение F x (x ) = p . Решения такого уравнения (соответствующие значения x ) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью x p (p -квантилью, квантилью уровня p ) случайной величины , имеющей функцию распределения F x (x ), называют решение x p уравнения F x (x ) = p , p (0, 1). Для некоторых p уравнение F x (x ) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.
Пусть $X$ -- непрерывная случайная величина с функцией распределения вероятностей $F(x)$. Напомним определение функции распределения:
Определение 1
Функцией распределения называется функция $F(x)$ удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X
Так как случайная величина является непрерывной, то, как нам уже известно, функция распределения вероятностей $F(x)$ будет непрерывной функцией. Пусть $F\left(x\right)$ также дифференцируема на всей области определения.
Рассмотрим интервал $(x,x+\triangle x)$ (где $\triangle x$ - приращение величины $x$). На нем
Теперь устремляя значения приращения $\triangle x$ к нулю, получим:
Рисунок 1.
Таким образом, получаем:
Плотность распределения, как и функция распределения, - это одна из форм закона распределения случайной величины. Однако закон распределения может быть записан через плотность распределения только для непрерывных случайных величин.
Определение 3
Кривая распределения -- это график функции $\varphi \left(x\right)$ плотность распределения случайной величины (рис.1).
Рисунок 2. График плотности распределения.
Геометрический смысл 1: Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $\varphi \left(x\right)$ и прямыми $x=\alpha ,$ $x=\beta $ и $y=0$ (рис. 2).
Рисунок 3. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$.
Геометрический смысл 2: Площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $\varphi \left(x\right)$, прямой $y=0$ и переменной прямой $x$ есть ни что иное как функция распределения $F(x)$(рис. 3).
Рисунок 4. Геометрическое изображение функции вероятности $F(x)$ через плотность распределения $\varphi \left(x\right)$.
Пример 1
Пусть функция распределения $F(x)$ случайной величины $X$ имеет следующий вид.
Загрузка...