Как решить уравнение параболы. Как строить графики квадратичных функций (Парабол)? Iv случай, появляется «b»

Квадратичной функцией называется функция вида:
y=a*(x^2)+b*x+c,
где а - коэффициент при старшей степени неизвестной х,
b - коэффициент при неизвестной х,
а с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Рис.1 Общий вид параболы.

Есть несколько различных способов построения графика квадратичной функции. Мы рассмотрим основной и самый общий из них.

Алгоритм построения графика квадратичной функции y=a*(x^2)+b*x+c

1. Построить систему координат, отметить единичный отрезок и подписать координатные оси.

2. Определить направление ветвей параболы (вверх или вниз).
Для этого надо посмотреть на знак коэффициента a. Если плюс - то ветви направлены вверх, если минус - то ветви направлены вниз.

3. Определить координату х вершины параболы.
Для этого нужно использовать формулу Хвершины = -b/2*a.

4. Определить координату у вершины параболы.
Для этого подставить в уравнение Увершины = a*(x^2)+b*x+c вместо х, найденное в предыдущем шаге значение Хвершины.

5. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Оу.

6. Найти точки пересечения графика с осью Ох.
Для этого требуется решить квадратное уравнение a*(x^2)+b*x+c = 0 одним из известных способов. Если в уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не пересекает ось Ох.

7. Найти координаты точки пересечения графика с осью Оу.
Для этого подставляем в уравнение значение х=0 и вычисляем значение у. Отмечаем эту и симметричную ей точку на графике.

8. Находим координаты произвольной точки А(х,у)
Для этого выбираем произвольное значение координаты х, и подставляем его в наше уравнение. Получаем значение у в этой точке. Нанести точку на график. А также отметить на графике точку, симметричную точке А(х,у).

9. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси. Подписать график либо на выноске, либо, если позволяет место, вдоль самого графика.

Пример построения графика

В качестве примера, построим график квадратичной функции заданной уравнением y=x^2+4*x-1
1. Рисуем координатные оси, подписываем их и отмечаем единичный отрезок.
2. Значения коэффициентов а=1, b=4, c= -1. Так как а=1, что больше нуля ветви параболы направлены вверх.
3. Определяем координату Х вершины параболы Хвершины = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Определяем координату У вершины параболы
Увершины = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Отмечаем вершину и проводим ось симметрии.
6. Находим точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох. Решаем квадратное уравнение x^2+4*x-1=0.
х1=-2-√3 х2 = -2+√3. Отмечаем полученные значения на графике.
7. Находим точки пересечения графика с осью Оу.
х=0; у=-1
8. Выбираем произвольную точку B. Пусть она имеет координату х=1.
Тогда у=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

  • Фокус параболы - это точка, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
  • Директриса параболы - это прямая, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
  • Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через фокус и вершину параболы перпендикулярно ее директрисе.
  • Вершина параболы - точка пересечения параболы и оси симметрии. Если парабола направлена вверх, то вершина является самой низкой точкой параболы; если парабола направлена вниз, то вершина является самой верхней точкой параболы.

Уравнение параболы. Уравнение параболы имеет вид: y=ax 2 +bx+c . Уравнение параболы также можно записать в виде y = a(x – h)2 + k .

  • Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз. Для запоминания этого правила: при положительном (позитивном ) коэффициенте парабола «улыбается» (направлена вверх) и наоборот при отрицательном (негативном ) коэффициенте.
  • Например: y = 2x 2 -1 . Парабола этого уравнения направлена вверх, так как а = 2 (положительный коэффициент).
  • Если в уравнении в квадрат возводится «у», а не «х», то парабола «лежит на боку» и направлена вправо или влево. Например, парабола y 2 = x + 3 направлена вправо.

  • Найдите ось симметрии. Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ось симметрии задается функцией х = n, где n – координата «х» вершины параболы. Для вычисления оси симметрии воспользуйтесь формулой x = -b/2a .

    • В нашем примере а = 2 , b = 0 . Подставьте эти значения в формулу: х = -0/(2 х 2) = 0 .
    • Ось симметрии х = 0.

  • Найдите вершину. Вычислив ось симметрии, вы нашли координату «х» вершины параболы. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы найти «у». Эти две координаты и есть координаты вершины параболы. В нашем примере подставьте х = 0 в у = 2x 2 -1 и получите у = -1. Вершина параболы имеет координаты (0, -1). Более того, это точка пересечения параболы с осью Y (так как х = 0).

    • Иногда координаты вершины обозначаются как (h,k). В нашем примере h = 0, k = -1. Если квадратное уравнение дано в виде y = a(x – h)2 + k , то можно с легкостью найти координаты вершины непосредственно из уравнения (без вычислений).

  • Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

    Гипербола и её каноническое уравнение

    Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

    Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

    Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….

    У гиперболы две симметричные ветви.

    Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:

    Пример 4

    Построить гиперболу, заданную уравнением

    Решение : на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

    Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной :

    И только после этого провести сокращение:

    Выделяем квадраты в знаменателях:

    Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:

    Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

    Как построить гиперболу?

    Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
    С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

    Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

    На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

    Парабола и её каноническое уравнение

    Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:

    Пример 6

    Построить параболу

    Решение : вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.

    В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :

    Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.

    Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое

    определение параболы:

    Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .

    Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром , который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
    В нашем примере :

    Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):

    Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.

    Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси

    Эксцентриситет любой параболы равен единице:

    Поворот и параллельный перенос параболы

    Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.

    ! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.

    Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

    Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

    Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

    Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

    Что такое парабола и как она выглядит

    Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

    Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

    Каноническое уравнение параболы

    На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

    Каноническое уравнение имеет вид:

    y 2 = 2 * p * x,

    где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

    В алгебре оно запишется иначе:

    y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

    Свойства и график квадратичной функции

    Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

    Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

    Как определить, куда направлены ветви параболы

    Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

    Как найти вершину параболы по формуле

    Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

    Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

    Формулы нахождения вершины:

    • x 0 = -b / (2 * a);
    • y 0 = y (x 0).

    Пример.

    Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

    Для такой линии:

    • х = -16 / (2 * 4) = -2;
    • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

    Получаем координаты вершины (-2, -41).

    Смещение параболы

    Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

    Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

    Пример.

    Имеем: b = 2, c = 3.

    Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

    Как строить параболу по квадратному уравнению

    Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

    Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

    1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
    2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

    Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

    D = (b 2 — 4 * a * c).

    Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

    Наличие корней параболы зависит от результата:

    • D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
    • D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
    • D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

    Получаем алгоритм построения параболы:

    • определить направление ветвей;
    • найти координаты вершины;
    • найти пересечение с осью ординат;
    • найти пересечение с осью абсцисс.

    Пример 1.

    Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

    1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
    2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
    3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
    4. найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
    5. ищем корни:
    • Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
    • Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

    Пример 2.

    Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

    1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
    2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
    3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
    4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
    • Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
    • Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

    По полученным точкам можно построить параболу.

    Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

    Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

    Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

    Эксцентриситет (константа) = 1.

    Заключение

    Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

    Построение параболы является одной из известных математических операций. Довольно часто она применяется не только в научных целях, но и в чисто практических. Давайте узнаем, как совершить данную процедуру при помощи инструментария приложения Excel.

    Парабола представляет собой график квадратичной функции следующего типа f(x)=ax^2+bx+c . Одним из примечательных его свойств является тот факт, что парабола имеет вид симметричной фигуры, состоящей из набора точек равноудаленных от директрисы. По большому счету построение параболы в среде Эксель мало чем отличается от построения любого другого графика в этой программе.

    Создание таблицы

    Прежде всего, перед тем, как приступить к построению параболы, следует построить таблицу, на основании которой она и будет создаваться. Для примера возьмем построение графика функции f(x)=2x^2+7 .


    Построение графика

    Как уже было сказано выше, теперь нам предстоит построить сам график.


    Редактирование диаграммы

    Теперь можно немного отредактировать полученный график.


    Кроме того, можно совершать любые другие виды редактирования полученной параболы, включая изменение её названия и наименований осей. Данные приёмы редактирования не выходят за границы действий по работе в Эксель с диаграммами других видов.

    Как видим, построение параболы в Эксель ничем принципиально не отличается от построения другого вида графика или диаграммы в этой же программе. Все действия производятся на основе заранее сформированной таблицы. Кроме того, нужно учесть, что для построения параболы более всего подходит точечный вид диаграммы.

    • Загрузка...
    Top