Valla eelarveline õppeasutus
Savinskaja keskkool
Uurimistöö
Parallelogramm ja selle uued omadused
Lõpetanud: 8B klassi õpilane
MBOU Savinskaja keskkool
Kuznetsova Svetlana, 14-aastane
Juhataja: matemaatikaõpetaja
Tulchevskaya N.A.
lk Savino
Ivanovo piirkond, Venemaa
2016. aasta
I. Sissejuhatus ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________lehekülg 3
II. Rööpküliku ajaloost _________________________________________lk 4
III Rööpküliku lisaomadused _______________________________lk 4
IV. Omaduste tõendamine _____________________________________________ lk 5
V. Ülesannete lahendamine lisaomaduste abil __________lk 8
VI. Rööpküliku omaduste rakendamine elus ______________________lk 11
VII. Järeldus ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________õõ lehel
VIII. Kirjandus ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________õõõõküna lk 13
Sissejuhatus
"Võrdsete meelte seas
juures muude tingimuste võrdsus
see, kes tunneb geomeetriat, on parem"
(Blaise Pascal).
Geomeetria tundides teemat “Parallelogramm” õppides vaatlesime rööpküliku kahte omadust ja kolme tunnust, kuid ülesandeid lahendama hakates selgus, et sellest ei piisa.
Mul tekkis küsimus: kas rööpkülikul on muid omadusi ja kuidas need aitavad ülesannete lahendamisel?
Ja otsustasin uurida rööpküliku lisaomadusi ja näidata, kuidas neid saab ülesannete lahendamisel rakendada.
Uurimise teema : rööpkülik
Õppeobjekt
: rööpküliku omadused
Töö eesmärk:
rööpküliku lisaomaduste formuleerimine ja tõendamine, mida koolis ei õpita;
nende omaduste rakendamine probleemide lahendamiseks.
Ülesanded:
Uurige rööpküliku välimuse ajalugu ja selle omaduste kujunemise ajalugu;
Otsige uuritava teema kohta lisakirjandust;
Uurida rööpküliku lisaomadusi ja tõestada neid;
Näidake nende omaduste rakendust probleemide lahendamisel;
Mõelge rööpküliku omaduste rakendamisele elus.
Uurimismeetodid:
Töö õppe- ja populaarteadusliku kirjanduse, Interneti-ressurssidega;
Teoreetilise materjali uurimine;
Rööpküliku lisaomaduste abil lahendatavate probleemide tuvastamine;
Vaatlus, võrdlus, analüüs, analoogia.
Uuringu kestus : 3 kuud: jaanuar-märts 2016
Rööpküliku ajaloost
Geomeetria õpikust loeme rööpküliku definitsiooni: Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.
Sõna "parallelogramm" tõlgitakse kui "paralleelsed jooned" (kreeka sõnadest Parallelos - paralleel ja gramme - joon), selle termini võttis kasutusele Eukleides. Eukleides tõestas oma raamatus Elements järgmisi rööpküliku omadusi: rööpküliku vastasküljed ja nurgad on võrdsed ning diagonaal poolitab selle. Eukleides ei maini rööpküliku lõikepunkti. Alles keskaja lõpupoole töötati välja täielik rööpkülikuteooria ja alles 17. sajandil ilmusid õpikutesse rööpkülikute teoreemid, mis on tõestatud Eukleidese teoreemi abil rööpküliku omaduste kohta.
III Rööpküliku lisaomadused
Geomeetria õpikus on rööpkülikule antud ainult 2 omadust:
Vastasnurgad ja küljed on võrdsed
Rööpküliku diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga.
Geomeetria erinevatest allikatest leiate järgmised lisaomadused:
Rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180 0
Rööpküliku nurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga;
Rööpküliku vastasnurkade poolitajad asuvad paralleelsel sirgel;
Rööpküliku külgnevate nurkade poolitajad lõikuvad täisnurga all;
Kui rööpküliku kõigi nurkade poolitajad ristuvad, moodustavad nad ristküliku;
Rööpküliku vastasnurkade kaugused sama diagonaalini on võrdsed.
Kui ühendate rööpküliku vastassuunalised tipud vastaskülgede keskpunktidega, saate teise rööpküliku.
Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgnevate külgede ruutude kahekordse summaga.
Kui tõmbate rööpkülikule kõrgused kahest vastasnurgast, saate ristküliku.
IV Rööpküliku omaduste tõendamine
Rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180 0
Antud:
ABCD – rööpkülik
Tõesta:
A+ B= 
Tõestus:
A ja B – sisemised ühepoolsed nurgad paralleelsete sirgjoontega BC 
AD ja sekant AB, mis tähendab A+ B=
2
Arvestades: ABCD - rööpkülik,
AK poolitaja 
A.
Tõesta: 
AVK – võrdhaarne
Tõestus:
1) 1=3 (risti asetseb eKr AD ja sekant AK),
2) 2=3 kuna AK on poolitaja,
tähendab 1= 2.
3) ABC – võrdhaarne, kuna kolmnurga 2 nurka on võrdsed
3
Arvestades: ABCD on rööpkülik,
AK – poolitaja A,
CP - poolitaja C.
Tõesta: AK║ SR
Tõestus:
1) 1=2, sest AK on poolitaja
2) 4=5, sest CP – poolitaja
3) 3=1 (risti asetsevad nurgad
BC ║ AD ja AK-sekant),
4) A =C (rööpküliku omaduse järgi), mis tähendab 2=3=4=5.
4) Lõigetest 3 ja 4 tuleneb, et 1 = 4 ja need nurgad vastavad sirgjoontele AK ja CP ning käändele BC,
see tähendab AK ║ CP (joonte paralleelsuse alusel)
. Rööpküliku vastasnurkade poolitajad asuvad paralleelsel sirgel
Rööpküliku külgnevate nurkade poolitajad lõikuvad täisnurga all
Arvestades: ABCD - rööpkülik,
AK-poolitaja A,
DP poolitaja D
Tõesta: DP 
AK.
Tõestus:
1) 1=2, sest AK - poolitaja
Olgu 1=2=x, siis A=2x,
2) 3=4, sest D Р – poolitaja
Olgu 3=4=y, siis D=2y
3) A + D =180 0, sest rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180
2) Kaaluge A OD
1+3=90 0, siis <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Rööpküliku kõigi nurkade poolitajad lõikumisel moodustavad ristküliku
Arvestades: ABCD - rööpkülik, AK-poolitaja A,
DP-poolitaja D,
CM poolitaja C,
BF - poolitaja B .
Tõesta: KRNS - ristkülik
Tõestus:
Eelmise omaduse põhjal 8=7=6=5=90 0 ,
tähendab, et KRNS on ristkülik.
Rööpküliku vastasnurkade kaugused sama diagonaalini on võrdsed.
Arvestades: ABCD-parallelogramm, AC-diagonaal.
VK AC, D.P. A.C.
Tõesta: BC=DP
Tõestus: 1) DCP = KAB, sisemiste ristidena, mis asuvad AB ║ CD ja sekant AC-ga.
2) AKB= CDP (piki külge ja kahte külgnevat nurka AB=CD CD P=AB K).
Ja võrdsetes kolmnurkades on vastavad küljed võrdsed, mis tähendab DP=BK.
Kui ühendate rööpküliku vastassuunalised tipud vastaskülgede keskpunktidega, saate teise rööpküliku.
Arvestades: ABCD rööpkülik.
Tõesta: VKDR on rööpkülik.
Tõestus:
1) BP=KD (AD=BC, punktid K ja P
jaga need küljed pooleks)
2) BP ║ KD (vale AD-l eKr)
Kui nelinurga vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed, siis on nelinurk rööpkülik.
Kui tõmbate rööpkülikule kõrgused kahest vastasnurgast, saate ristküliku.
Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgnevate külgede ruutude kahekordse summaga.
Arvestades: ABCD on rööpkülik. BD ja AC on diagonaalid.
Tõesta: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Tõestus: 1)KÜSI:
A.C.
²=
+
2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (Pythagorase teoreemi järgi)
3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(kõrgus )
5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2
6)
Lase
D
K=A
P=x, Siis C
TOD
:
H
2
=
CD
2
- X 2
Pythagorase teoreemi järgi )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2
8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,
AC²+
IND² = 2
KOOSD²-2
X² + AD
2
+2 AD
X+
X 2
+AD
2
-2 AD
X+
X 2
,
AC²+
IND² = 2 CD
2
+2 AD
2
=2 (CD
2
+AD
2
).
V . Probleemide lahendamine nende omaduste abil
Rööpküliku ühe küljega külgneva kahe nurga poolitajate lõikepunkt kuulub vastasküljele. Rööpküliku lühim külg on 5 . Leidke selle suurem külg.
Arvestades: ABCD on rööpkülik,
AK – poolitaja A,
D K – poolitaja D, AB=5
Otsi: Päike
otsus Lahendus
Sest AK - poolitaja Ja siis ABC on võrdhaarne.
Sest D K – poolitaja D, siis DCK – võrdhaarne
DC = C K = 5
Seejärel BC=VC+SC=5+5=10
Vastus: 10
2. Leidke rööpküliku ümbermõõt, kui selle ühe nurga poolitaja jagab rööpküliku külje 7 cm ja 14 cm pikkusteks lõikudeks.
1 juhtum
Arvestades: A,
VK=14 cm, KS=7 cm
Leia: P rööpkülik
Lahendus
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Sest AK – poolitaja Ja siis ABC on võrdhaarne.
AB=BK= 14 cm
Siis P = 2 (14 + 21) = 70 (cm)
Arvestades: ABCD on rööpkülik,
D K – poolitaja D
VK=14 cm, KS=7 cm
Otsi: P rööpkülik
Lahendus
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Sest D K – poolitaja D, siis DCK – võrdhaarne
DC = C K = 7
Seejärel P = 2 (21+7) = 56 (cm)
Vastus: 70 cm või 56 cm
3. Rööpküliku küljed on 10 cm ja 3 cm Suurema küljega külgneva nurga poolitajad jagavad vastaskülje kolmeks lõiguks. Leidke need segmendid.
1 juhtum: poolitajad lõikuvad väljaspool rööpkülikut
Arvestades: ABCD – rööpkülik, AK – poolitaja A,
D K – poolitaja D , AB=3 cm, BC=10 cm
Otsi: VM, MN, NC
Lahendus
Sest AM - poolitaja Ja siis on AVM võrdhaarne.
Sest DN – poolitaja D, siis DCN – võrdhaarne
DC=CN=3
Seejärel MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3) = 4 cm
Juhtum 2: poolitajad lõikuvad rööpküliku sees
Sest AN - poolitaja Ja siis ABN on võrdhaarne.
AB = BN = 3 D
Ja lükandvõre tuleks viia ukseavas vajalikule kaugusele
Parallelogrammmehhanism- neljavardaline mehhanism, mille lülid moodustavad rööpküliku. Seda kasutatakse translatsioonilise liikumise teostamiseks hingedega mehhanismide abil.
Paralleelogramm fikseeritud lingiga- üks lüli on liikumatu, vastand teeb õõtsuvat liigutust, jäädes liikumatuga paralleelseks. Kaks üksteise järel ühendatud rööpkülikut annavad otsalülile kaks vabadusastet, jättes selle statsionaarse lüliga paralleelseks.
Näited: busside klaasipuhastid, tõstukid, statiivid, riidepuud, autode vedrustused.
Paralleelogramm fikseeritud liigendiga- kasutatakse rööpküliku omadust säilitada konstantne kolme punkti vahekauguste suhe. Näide: pantograafi joonistamine – seade jooniste skaleerimiseks.
Romb- kõik lülid on ühepikkused, vastassuunaliste hingede paari lähenemine (kokkutõmbumine) viib kahe ülejäänud hinge lahku nihkumiseni. Kõik lingid töötavad tihendatud kujul.
Näited – auto teemandikujuline tungraud, trammi pantograaf.
Käärid või X-kujuline mehhanism, tuntud ka kui Nürnbergi käärid- romb versioon - kaks lüli, mis on keskelt hingega ühendatud. Mehhanismi eelised on kompaktsus ja lihtsus, puuduseks on kahe libiseva paari olemasolu. Kaks (või enam) sellist järjestikku ühendatud mehhanismi moodustavad keskel teemandi(d). Kasutatakse tõstukites ja laste mänguasjades.
VII Järeldus
Kes on lapsepõlvest saati matemaatikat õppinud?
ta arendab tähelepanu, treenib oma aju,
oma tahtmist, kasvatab visadust
ja sihikindlus eesmärkide saavutamisel
A. Markuševitš
Töö käigus tõestasin rööpküliku lisaomadusi.
Olin veendunud, et neid omadusi kasutades saab probleeme kiiremini lahendada.
Näitasin konkreetsete probleemide lahendamise näidete abil, kuidas neid omadusi rakendatakse.
Õppisin palju rööpküliku kohta, mida meie geomeetriaõpikus pole
Veendusin, et geomeetria tundmine on elus väga oluline läbi rööpküliku omaduste rakendamise näidete.
Minu uurimistöö eesmärk on täidetud.
Matemaatiliste teadmiste tähtsusest annab tunnistust asjaolu, et asutati auhind inimesele, kes avaldab raamatu inimesest, kes elas kogu oma elu ilma matemaatika abita. Seda auhinda pole veel ükski inimene saanud.
VIII Kirjandus
Pogorelov A.V. Geomeetria 7-9: üldhariduse õpik. asutused - M.: Haridus, 2014
L.S.Atanasyan ja teised. Lisa. Peatükid 8. klassi õpikule: õpik. käsiraamat koolide ja edasijõudnute klasside õpilastele. õppis matemaatikat. – M.: Vita-press, 2003
Interneti-ressursid
Vikipeedia materjalid
Nii nagu Eukleidilises geomeetrias on tasapindade teooria põhielemendid punkt ja sirge, nii on rööpkülik kumerate nelinurkade üks võtmekujundeid. Sellest, nagu kuulist niidid, voolavad mõisted "ristkülik", "ruut", "romb" ja muud geomeetrilised suurused.
Rööpküliku definitsioon
kumer nelinurk, mis koosneb segmentidest, mille iga paar on paralleelne, on geomeetrias tuntud rööpkülikuna.
Seda, kuidas näeb välja klassikaline rööpkülik, on kujutatud nelinurgaga ABCD. Külgi nimetatakse alusteks (AB, BC, CD ja AD), mis tahes tipust selle tipu vastasküljele tõmmatud risti nimetatakse kõrguseks (BE ja BF), sirgeid AC ja BD diagonaalideks.
Tähelepanu! Ruut, romb ja ristkülik on rööpküliku erijuhud.
Küljed ja nurgad: suhte tunnused
Põhiomadused üldiselt eelnevalt määratud nimetusega, on need tõestatud teoreemiga. Need omadused on järgmised:
- Vastasküljed on paarikaupa identsed.
- Üksteise vastas olevad nurgad on paarides võrdsed.
Tõestus: Vaatleme ∆ABC ja ∆ADC, mis saadakse nelinurga ABCD jagamisel sirgega AC. ∠BCA=∠CAD ja ∠BAC=∠ACD, kuna AC on nende jaoks ühine (vertikaalnurgad vastavalt BC||AD ja AB||CD jaoks). Sellest järeldub: ∆ABC = ∆ADC (teine kolmnurkade võrdsuse märk).
Lõigud AB ja BC ∆ABC-s vastavad paarikaupa ∆ADC sirgetele CD ja AD, mis tähendab, et need on identsed: AB = CD, BC = AD. Seega ∠B vastab ∠D-le ja need on võrdsed. Kuna ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, mis on samuti paarikaupa identsed, siis ∠A = ∠C. Kinnistu on tõendatud.
Figuuri diagonaalide omadused
Peamine omadus nendest rööpküliku sirgetest: lõikepunkt jagab need pooleks.
Tõestus: Olgu st joonise ABCD diagonaalide AC ja BD lõikepunkt. Need moodustavad kaks proportsionaalset kolmnurka – ∆ABE ja ∆CDE.
AB=CD, kuna need on vastandid. Vastavalt joontele ja sekandile on ∠ABE = ∠CDE ja ∠BAE = ∠DCE.
Teise võrdsuse kriteeriumi järgi ∆ABE = ∆CDE. See tähendab, et elemendid ∆ABE ja ∆CDE: AE = CE, BE = DE ja samal ajal on nad AC ja BD võrdelised osad. Kinnistu on tõendatud.
Külgnevate nurkade omadused
Külgnevate külgede nurkade summa on 180°, kuna need asuvad paralleelsete joonte ja põikisuunaliste joonte samal küljel. Nelinurga ABCD puhul:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Poolitaja omadused:
- , ühele küljele langetatud, on risti;
- vastastippudel on paralleelsed poolitajad;
- poolitaja joonestamisel saadud kolmnurk on võrdhaarne.
Rööpküliku tunnusjoonte määramine teoreemi abil
Selle joonise omadused tulenevad selle põhiteoreemist, mis ütleb järgmist: nelinurka peetakse rööpkülikuks juhul, kui selle diagonaalid lõikuvad ja see punkt jagab need võrdseteks segmentideks.
Tõestus: nelinurga ABCD sirged AC ja BD ristuvad punktis s.o. Kuna ∠AED = ∠BEC ja AE+CE=AC BE+DE=BD, siis ∆AED = ∆BEC (esimese kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi alusel). See tähendab, et ∠EAD = ∠EKB. Need on ka joonte AD ja BC sekanti AC sisemised ristnurgad. Seega paralleelsuse definitsiooni järgi - AD || B.C. Samuti tuletatakse ridade BC ja CD sarnane omadus. Teoreem on tõestatud.
Figuuri pindala arvutamine
Selle figuuri pindala leitud mitme meetodi abilüks lihtsamaid: kõrguse ja aluse korrutamine, millele see tõmmatakse.
Tõestus: tõmmake tippudest B ja C ristid BE ja CF. ∆ABE ja ∆DCF on võrdsed, kuna AB = CD ja BE = CF. ABCD on suuruselt võrdne ristkülikuga EBCF, kuna need koosnevad proportsionaalsetest arvudest: S ABE ja S EBCD, samuti S DCF ja S EBCD. Sellest järeldub, et selle geomeetrilise kujundi pindala on sama, mis ristküliku pindala:
S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.
Rööpküliku pindala üldvalemi määramiseks tähistame kõrgust as hb ja külg - b. Vastavalt:
Muud võimalused ala leidmiseks
Pindalaarvutused läbi rööpküliku külgede ja nurga, mille nad moodustavad, on teine teadaolev meetod.
,
Spr-ma - pindala;
a ja b on selle küljed
α on segmentide a ja b vaheline nurk.
See meetod põhineb praktiliselt esimesel, kuid juhul, kui see pole teada. lõikab alati ära täisnurkse kolmnurga, mille parameetrid leitakse trigonomeetriliste identiteetide abil, st. Seost teisendades saame . Esimese meetodi võrrandis asendame kõrguse selle tootega ja saame tõendi selle valemi kehtivuse kohta.
Läbi rööpküliku diagonaalide ja nurga, mille nad lõikuvad loovad, leiate ka ala.
Tõestus: AC ja BD lõikuvad, moodustades neli kolmnurka: ABE, BEC, CDE ja AED. Nende summa on võrdne selle nelinurga pindalaga.
Kõigi nende ∆ pindala saab leida avaldisega , kus a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Alates , kasutatakse arvutustes ühte siinusväärtust. See on . Kuna AE+CE=AC= d 1 ja BE+DE=BD= d 2, taandub pindala valem järgmiselt:
.
Rakendus vektoralgebras
Selle nelinurga koostisosade omadused on leidnud rakendust vektoralgebras, nimelt kahe vektori liitmine. Rööpküliku reegel ütleb, et kui antud vektoridJaMitteon kollineaarsed, siis on nende summa võrdne selle joonise diagonaaliga, mille alused vastavad nendele vektoritele.
Tõestus: suvaliselt valitud algusest – s.t. - konstrueerida vektoreid ja . Järgmiseks konstrueerime rööpküliku OASV, kus lõigud OA ja OB on küljed. Seega asub OS vektoril või summal.
Rööpküliku parameetrite arvutamise valemid
Identiteedid antakse järgmistel tingimustel:
- a ja b, α - küljed ja nendevaheline nurk;
- d 1 ja d 2, γ - diagonaalid ja nende lõikepunktis;
- h a ja h b - külgedele a ja b langetatud kõrgused;
| Parameeter | Valem |
| Külgede leidmine | |
| piki diagonaale ja nendevahelise nurga koosinust | 
|
| piki diagonaale ja külgi | 
|
| läbi kõrguse ja vastastipu | |
| Diagonaalide pikkuse leidmine | |
| külgedel ja nendevahelise tipu suurus | |
Selle teema ülesandeid lahendades v.a põhiomadused rööpkülik ja vastavad valemid, võite meeles pidada ja rakendada järgmist:
- Rööpküliku sisenurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga
- Rööpküliku ühe küljega külgnevate sisenurkade poolitajad on üksteisega risti
- Rööpküliku vastastikustest sisenurkadest tulevad poolitajad on üksteisega paralleelsed või asuvad samal sirgel
- Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgede ruutude summaga
- Rööpküliku pindala on võrdne poolega diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest
Vaatleme probleeme, milles neid omadusi kasutatakse.
Ülesanne 1.
Rööpküliku ABCD nurga C poolitaja lõikub küljega AD punktis M ja külje AB jätkuga punktist A punktist A punktis E. Leidke rööpküliku ümbermõõt, kui AE = 4, DM = 3.
Lahendus.
1. Kolmnurk CMD on võrdhaarne. (Kinnisvara 1). Seetõttu CD = MD = 3 cm.
2. Kolmnurk EAM on võrdhaarne.
Seetõttu AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Ümbermõõt ABCD = 20 cm.
Vastus. 20 cm.
2. ülesanne.
Diagonaalid on tõmmatud kumeras nelinurgas ABCD. Teatavasti on kolmnurkade ABD, ACD, BCD pindalad võrdsed. Tõesta, et see nelinurk on rööpkülik.
Lahendus.
1. Olgu BE kolmnurga ABD kõrgus, CF kolmnurga ACD kõrgust. Kuna ülesande tingimuste kohaselt on kolmnurkade pindalad võrdsed ja neil on ühine alus AD, siis on nende kolmnurkade kõrgused võrdsed. BE = CF.
2. BE, CF on risti AD-ga. Punktid B ja C asuvad sirge AD suhtes samal küljel. BE = CF. Seetõttu sirgjoon BC || A.D. (*)
3. Olgu AL kolmnurga ACD kõrgus, BK kolmnurga BCD kõrgus. Kuna vastavalt ülesande tingimustele on kolmnurkade pindalad võrdsed ja neil on ühine alus CD, siis on nende kolmnurkade kõrgused võrdsed. AL = BK.
4. AL ja BK on risti CD-ga. Punktid B ja A asuvad sirge CD suhtes samal küljel. AL = BK. Seetõttu sirge AB || CD (**)
5. Tingimustest (*), (**) järeldub, et ABCD on rööpkülik.
Vastus. Tõestatud. ABCD on rööpkülik.
3. ülesanne.
Rööpküliku ABCD külgedele BC ja CD on tähistatud vastavalt punktid M ja H nii, et lõigud BM ja HD lõikuvad punktis O;<ВМD = 95 о,
Lahendus.
1. Kolmnurgas DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Täisnurkses kolmnurgas DHC Siis<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Aga CD = AB. Siis AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Vastus: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. ülesanne. Rööpküliku pikkusega 4√6 üks diagonaalidest moodustab alusega 60° nurga ja teine diagonaal sama alusega 45°. Leidke teine diagonaal. Lahendus.
1. AO = 2√6. 2. Rakendame siinusteoreemi kolmnurgale AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Vastus: 12.
5. ülesanne. Rööpküliku külgedega 5√2 ja 7√2 on väiksem nurk diagonaalide vahel võrdne rööpküliku väiksema nurgaga. Leidke diagonaalide pikkuste summa. Lahendus.
Olgu d 1, d 2 rööpküliku diagonaalid ning nurk diagonaalide ja rööpküliku väiksema nurga vahel on võrdne φ-ga. 1. Loendame kaks erinevat S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Saame võrrandi 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f või 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2; 2. Kasutades rööpküliku külgede ja diagonaalide vahelist seost, kirjutame võrdsuse (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Loome süsteemi: (p 1 2 + d 2 2 = 296, Korrutame süsteemi teise võrrandi 2-ga ja liidame esimesele. Saame (d 1 + d 2) 2 = 576. Seega Id 1 + d 2 I = 24. Kuna d 1, d 2 on rööpküliku diagonaalide pikkused, siis d 1 + d 2 = 24. Vastus: 24.
6. ülesanne. Rööpküliku küljed on 4 ja 6. Diagonaalide vaheline teravnurk on 45 kraadi. Leidke rööpküliku pindala. Lahendus.
1. Kolmnurgast AOB kirjutame koosinusteoreemi kasutades üles seose rööpküliku külje ja diagonaalide vahel. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 / 2) 2 + ( d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1/2) · ( d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2 / 4 + d 2 2 / 4 – 2 (p 1 / 2) (p 2 / 2) √ 2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Samamoodi kirjutame seose kolmnurga AOD jaoks. Arvestame sellega<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Saame võrrandi d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Meil on süsteem Lahutades esimese teisest võrrandist, saame 2d 1 · d 2 √2 = 80 või d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Märkus. Selles ja eelmises ülesandes ei ole vaja süsteemi täielikult lahendada, eeldades, et selles ülesandes on pindala arvutamiseks vaja diagonaalide korrutist. Vastus: 10. Ülesanne 7. Rööpküliku pindala on 96 ja selle küljed on 8 ja 15. Leidke väiksema diagonaali ruut. Lahendus.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Teeme valemis asendus. Saame 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Seega patt ВAD = 4/5. 2. Leiame cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Vastavalt ülesande tingimustele leiame väiksema diagonaali pikkuse. Diagonaal ВD on väiksem, kui nurk ВАD on terav. Siis cos VAD = 3/5. 3. Kolmnurgast ABD koosinusteoreemi kasutades leiame diagonaali BD ruudu. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Vastus: 145.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas geomeetriaprobleemi lahendada? veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale. "Suur teaduslik avastus annab lahenduse suurele probleemile, kuid iga probleemi lahendamisel on avastust." Rööpkülikul on võrdsed vastasküljed. Tõestus. Olgu ABCD antud rööpkülik. Ja selle diagonaalid ristuvad punktis O. Rööpkülikukujulises vastasnurgad on võrdsed. Tõestus. Rööpküliku diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktis. Tõestus. Olgu ABCD antud rööpkülik. Joonistame diagonaali AC. Märgime sellele keskmise O. Lõigu DO jätkamisel jätame kõrvale lõigu OB 1, mis on võrdne DO-ga. Tavakoolide õpikutes (näiteks Pogorelovos) on see tõestatud nii: diagonaalid jagavad rööpküliku neljaks kolmnurgaks. Vaatleme ühte paari ja selgitame välja - need on võrdsed: nende alused on vastasküljed, sellega külgnevad vastavad nurgad on võrdsed, nagu paralleelsete joontega vertikaalnurgad. See tähendab, et diagonaalsed segmendid on paarides võrdsed. Kõik. Kas see on kõik? Naljakas on see, et seda osa on palju raskem tõestada. See tuleneb muide üldisemast tulemusest: iga kumera nelinurga diagonaalid lõikuvad, kuid mittekumerate nelinurkade diagonaalid ristuvad. Kolmnurkade võrdsuse kohta piki külge ja kahte külgnevat nurka (teine kolmnurkade võrdsuse märk) ja teised. Thales leidis olulise praktilise rakenduse teoreemile, mis käsitleb kahe külje ja kahe külgneva nurga võrdsust. Miletose sadamas ehitati kaugusmõõtja, et määrata kaugust merel oleva laevani. See koosnes kolmest juhitavast tihvtist A, B ja C (AB = BC) ning tähistatud sirgjoonest SC, mis oli risti CA-ga. Kui SK sirgele ilmus laev, leidsime punkti D sellise, et punktid D, .B ja E olid samal sirgel. Nagu jooniselt selgub, on maapinnal asuv kaugus CD soovitud kaugus laevast. Töötasime tunni kallal Kuznetsov A.V. Poturnak S.A. Jevgeni Petrov Saate tõstatada küsimuse kaasaegse hariduse kohta, avaldada ideed või lahendada pakilise probleemi aadressil Haridusfoorum, kus koguneb rahvusvaheliselt värske mõtte ja tegevuse haridusnõukogu. Olles loonud blogi, Sa mitte ainult ei paranda oma staatust pädeva õpetajana, vaid annad olulise panuse ka tulevikukooli arengusse. Haridusjuhtide gild avab uksed tippspetsialistidele ja kutsub neid koostööle maailma parimate koolide loomisel. Selleks et teha kindlaks, kas antud kujund on rööpkülik, on mitmeid märke. Vaatame rööpküliku kolme põhitunnust. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, on see nelinurk rööpkülik. Tõestus: Vaatleme nelinurka ABCD. Olgu küljed AB ja CD paralleelsed. Ja olgu AB=CD. Joonistame sellesse diagonaali BD. See jagab selle nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks: ABD ja CBD. Need kolmnurgad on üksteisega võrdsed piki kahte külge ja nende vahelist nurka (BD on ühine külg, AB = tingimuse järgi CD, nurk1 = nurk2 kui ristnurgad paralleelsete sirgjoonte AB ja CD põikisuunalise BD-ga.) ja seega nurk3. = nurk4. Ja need nurgad asetsevad risti, kui sirged BC ja AD ristuvad lõikega BD. Sellest järeldub, et BC ja AD on paralleelsed. Meil on, et nelinurga ABCD vastasküljed on paarikaupa paralleelsed ja seetõttu on nelinurk ABCD rööpkülik. Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, on see nelinurk rööpkülik. Tõestus: Vaatleme nelinurka ABCD. Joonistame sellesse diagonaali BD. See jagab selle nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks: ABD ja CBD. Need kaks kolmnurka on üksteisega võrdsed kolmel küljel (BD on ühine külg, AB = CD ja BC = AD tingimusel). Sellest võime järeldada, et nurk1 = nurk2. Sellest järeldub, et AB on paralleelne CD-ga. Ja kuna AB = CD ja AB on paralleelsed CD-ga, siis rööpküliku esimese kriteeriumi kohaselt on nelinurk ABCD rööpkülik. Kui nelinurga diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga, on see nelinurk rööpkülik. Vaatleme nelinurka ABCD. Joonistame sellesse kaks diagonaali AC ja BD, mis lõikuvad punktis O ja on selle punktiga poolitatud. Kolmnurgad AOB ja COD on kolmnurkade esimese võrdsuse märgi järgi üksteisega võrdsed. (AO = OC, BO = tingimuse järgi OD, vertikaalnurkadena nurk AOB = nurk COD.) Seega AB = CD ja nurk1 = nurk 2. Nurkade 1 ja 2 võrdsusest saame, et AB on paralleelne CD-ga. Siis saame, et nelinurga ABCD küljed AB on võrdsed CD-ga ja paralleelsed ning rööpküliku esimese kriteeriumi järgi on nelinurk ABCD rööpkülik.
(
(Kuna täisnurkses kolmnurgas on 30° nurga vastas asuv jalg võrdne poolega hüpotenuusist).
teed selle ala.
(d 1 + d 2 = 140.
(p 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!
Tunni teema
Tunni eesmärgid
Tunni eesmärgid
Tunniplaan
Sissejuhatus
Rööpküliku vastaskülgede omadus
Kuna kolmnurkade võrdsuse esimese kriteeriumi järgi Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, vertikaalsetena, AO=OC, DO=OB, rööpküliku diagonaalide omaduse järgi), siis AB=CD. Samamoodi järeldub kolmnurkade BOC ja DOA võrdsusest, et BC = DA. Teoreem on tõestatud. Rööpküliku vastasnurkade omadus
Olgu ABCD antud rööpkülik. Ja selle diagonaalid ristuvad punktis O.
Sellest, mida tõestati teoreemiga rööpküliku vastaskülgede omaduste kohta Δ ABC = Δ CDA kolmel küljel (AB=CD, BC=DA tõestatust, AC – üldine). Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et ∠ ABC = ∠ CDA.
Samuti on tõestatud, et ∠ DAB = ∠ BCD, mis tuleneb ∠ ABD = ∠ CDB. Teoreem on tõestatud.Rööpküliku diagonaalide omadus
Eelmise teoreemi kohaselt on AB 1 CD rööpkülik. Seetõttu on sirge AB 1 paralleelne alalisvooluga. Kuid läbi punkti A saab tõmmata ainult ühe alalisvooluga paralleelse sirge. See tähendab, et sirge AB 1 langeb kokku sirgega AB.
Samuti on tõestatud, et eKr 1 langeb kokku eKr. See tähendab, et punkt C langeb kokku punktiga C 1. Rööpkülik ABCD ühtib rööpkülikuga AB 1 CD. Järelikult rööpküliku diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktis. Teoreem on tõestatud.
Eespool on tõestatud, et lõikepunkt poolitab diagonaalid - kui see on olemas. Ülaltoodud arutluskäik ei tõenda selle olemasolu mitte kuidagi. See tähendab, et osa teoreemist "rööpküliku diagonaalid lõikuvad" jääb tõestamata.
Küsimused
Kasutatud allikate loetelu
1 rööpkülikumärk
Paralleelogrammi märk 2
3 rööpkülikumärk
Laadimine...