Üks tähtsamaid oskusi, kui vastuvõtt 5. klassi on oskus lahendada lihtsaid võrrandeid. Kuna 5. klass pole veel nii kaugel algkool, siis pole nii palju võrranditüüpe, mida õpilane saaks lahendada. Tutvustame teile kõiki põhilisi võrrandite tüüpe, mida peate soovi korral suutma lahendada astuda füüsika-matemaatikakooli.
Tüüp 1: sibulakujuline
Need on võrrandid, millega te tõenäoliselt kokku puutute vastuvõtt mis tahes kooli või eraldi ülesandena 5. klassi klubi. Neid on lihtne teistest eristada: neis esineb muutuja ainult üks kord. Näiteks või.
Need lahendatakse väga lihtsalt: peate lihtsalt "jõudma" tundmatusse, järk-järgult "eemaldades" kõik ebavajaliku, mis seda ümbritseb - nagu kooriks sibulat - sellest ka nimi. Selle lahendamiseks pidage meeles mõnda reeglit teisest klassist. Loetleme need kõik:
Lisand
- termin1 + termin2 = summa
- termin1 = summa - termin2
- termin2 = summa - termin1
Lahutamine
- minuend - subtrahend = erinevus
- minuend = alamosa + erinevus
- subtrahend = minuend - erinevus
Korrutamine
- tegur1 * tegur2 = toode
- tegur1 = toode: tegur2
- tegur2 = toode: tegur1
Jaoskond
- dividend: jagaja = jagatis
- dividend = jagaja * jagatis
- jagaja = dividend: jagatis
Vaatame näidet nende reeglite rakendamisest.
Pange tähele, et me jagame sisse ja me saame . Sellises olukorras on meil teada jagaja ja jagatis. Dividendi leidmiseks peate korrutama jagaja jagatisega:
Oleme iseendale veidi lähedasemaks saanud. Nüüd me näeme seda lisatakse ja selgub . See tähendab, et ühe termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva termini:
Ja veel üks “kiht” on teadmatusest eemaldatud! Nüüd näeme olukorda teadaolev väärtus toode () ja üks teadaolev tegur ().
Nüüd on olukord "minuend - subtrahend = erinevus"
Ja viimane samm on teadaolev toode () ja üks teguritest ()
Tüüp 2: võrrandid sulgudega
Seda tüüpi võrrandeid leidub kõige sagedamini ülesannetes - 90% kõigist ülesannetest vastuvõtt 5. klassi. Erinevalt "sibula võrrandid" siinne muutuja võib esineda mitu korda, nii et seda ei ole võimalik eelmises lõigus toodud meetoditega lahendada. Tüüpilised võrrandid: või
Peamine raskus on sulgude õige avamine. Kui olete sellega õigesti hakkama saanud, peaksite sarnased terminid taandama (numbrid numbriteks, muutujad muutujateks) ja pärast seda saame lihtsaima "sibula võrrand" mille saame lahendada. Aga kõigepealt asjad kõigepealt.
Sulgude laiendamine. Anname mõned reeglid, mida tuleks kasutada antud juhul. Kuid nagu praktika näitab, hakkab õpilane sulgusid õigesti avama alles pärast 70–80 täidetud ülesannet. Põhireegel on järgmine: kõik sulgudest väljas olevad tegurid tuleb korrutada iga sulgudes oleva liikmega. Ja miinusmärk sulu ees muudab kõigi sees olevate väljendite märki. Niisiis, avalikustamise põhireeglid:
Sarnase toomine. Siin on kõik palju lihtsam: peate terminid võrdusmärgi kaudu üle kandma tagama, et ühel küljel on ainult tundmatuga terminid ja teisel - ainult numbrid. Põhireegel on järgmine: iga termin, mis on üle kantud, muudab oma märki - kui see oli koos, saab sellest koos ja vastupidi. Pärast edukat ülekandmist on vaja kokku lugeda tundmatute koguarv, koguarv võrdsuse teisel poolel kui muutujad ja lahendada lihtne "sibula võrrand".
Lahendame murdratsionaalvõrrandi 5/x = 100. Seda võrrandit saab lahendada kahel viisil. Vaatame igaüht neist.
Võrrandi 5/x = 100 lahendamise plaan
- leidke antud võrrandi jaoks vastuvõetavate väärtuste vahemik;
- esimene viis võrrandi lahendamiseks on selle käsitlemine proportsioonina;
- Teine viis võrrandi lahendamiseks on tundmatu jagaja leidmine.
Proportsiooni tundmatu liikme leidmine
Esiteks leiame ODZ võrrandi. Võrrandi vasakul küljel on murdosa märk ja see on samaväärne jagamismärgiga. Teadaolevalt ei saa nulliga jagada. See tähendab, et ODZ-st peame välja jätma väärtused, mis muudavad nimetaja nulliks.
ODZ: x kuulub R\(0).
Vaatame nüüd oma võrrandit proportsioonina.
Proportsiooni peamine omadus.
Proportsiooni äärmiste liikmete korrutis on võrdne selle keskmiste liikmete korrutisega.
Proportsiooni pärast a: b = c: d või a/b = c/d peamine omadus on kirjutatud järgmiselt: a · d = b · c.
Rakendame seda ja saame lineaarvõrrandi:
100 * x = 5 * 1;
Jagame võrrandi mõlemad pooled 100-ga, vabanedes seeläbi muutuja x ees olevast koefitsiendist:
Tundmatu jagaja leidmine
Vaatame võrrandit jagatisena. Kui dividend on 5, on jagaja x ja jagamise tulemus on jagatis 100.
Meenutagem tundmatu jagaja leidmise reeglit – dividendi tuleb jagada jagatisega.
Leitud juur kuulub ODZ võrrandisse.
Kontrollime võrrandi leitud lahendit. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga ja tehke arvutused:
Lahendus leiti õigesti.
Võrrand ühe tundmatuga, mis pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist saab kuju
ax + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud, kutsutakse lineaarvõrrand ühe tundmatuga. Täna selgitame välja, kuidas neid lineaarseid võrrandeid lahendada.
Näiteks kõik võrrandid:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineaarne.
Nimetatakse tundmatu väärtust, mis muudab võrrandi tõeliseks võrdsuseks otsus või võrrandi juur .
Näiteks kui võrrandis 3x + 7 = 13 asendame tundmatu x asemel arvu 2, saame õige võrrandi 3 2 +7 = 13. See tähendab, et väärtus x = 2 on lahend või juur võrrandist.
Ja väärtus x = 3 ei muuda võrrandit 3x + 7 = 13 tõeliseks võrduseks, kuna 3 2 +7 ≠ 13. See tähendab, et väärtus x = 3 ei ole võrrandi lahend ega juur.
Lahendus mis tahes lineaarvõrrandid taandub vormi võrrandite lahendamiseks
ax + b = 0.
Liigume vaba liiget võrrandi vasakult poolelt paremale, muutes b ees oleva märgi vastupidiseks, saame
Kui a ≠ 0, siis x = ‒ b/a .
Näide 1. Lahendage võrrand 3x + 2 =11.
Liigume 2 võrrandi vasakult küljelt paremale, muutes 2 ees oleva märgi vastupidiseks, saame
3x = 11–2.
Teeme siis lahutamise
3x = 9.
x leidmiseks tuleb korrutis jagada teadaoleva teguriga, st
x = 9:3.
See tähendab, et väärtus x = 3 on võrrandi lahend või juur.
Vastus: x = 3.
Kui a = 0 ja b = 0, siis saame võrrandi 0x = 0. Sellel võrrandil on lõpmata palju lahendeid, kuna mis tahes arvu 0-ga korrutamisel saame 0, kuid b võrdub ka 0-ga. Selle võrrandi lahendiks on suvaline arv.
Näide 2. Lahendage võrrand 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Laiendame sulgusid:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Siin on mõned sarnased terminid:
0x = 0.
Vastus: x - suvaline arv.
Kui a = 0 ja b ≠ 0, siis saame võrrandi 0x = - b. Sellel võrrandil pole lahendeid, sest kui me korrutame suvalise arvu 0-ga, saame 0, kuid b ≠ 0.
Näide 3. Lahendage võrrand x + 8 = x + 5.
Rühmitame vasakule poolele tundmatuid sisaldavad terminid ja paremal pool vabad terminid:
x – x = 5–8.
Siin on mõned sarnased terminid:
0х = ‒ 3.
Vastus: lahendusi pole.
Sees Joonis 1 kujutab skeemi lineaarvõrrandi lahendamiseks
Koostame ühe muutujaga võrrandite lahendamise üldise skeemi. Vaatleme näite 4 lahendust.
Näide 4. Oletame, et peame võrrandi lahendama
1) Korrutage kõik võrrandi liikmed nimetajate väikseima ühiskordsega, mis on võrdne 12-ga.
2) Pärast redutseerimist saame
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Tundmatuid ja vaba termineid sisaldavate terminite eraldamiseks avage sulud:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Rühmitame ühte ossa tundmatuid sisaldavad terminid ja teise - vabad mõisted:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Esitame sarnased terminid:
- 22x = -154.
6) Jagage – 22, saame
x = 7.
Nagu näete, on võrrandi juur seitse.
Üldiselt selline võrrandeid saab lahendada järgmise skeemi abil:
a) viige võrrand täisarvuni;
b) avage sulgud;
c) rühmitage võrrandi ühes osas tundmatut sisaldavad ja teises vabad liikmed;
d) tuua sarnaseid liikmeid;
e) lahendage võrrand kujul aх = b, mis saadi pärast sarnaste liikmete toomist.
See skeem pole aga iga võrrandi jaoks vajalik. Paljude lihtsamate võrrandite lahendamisel tuleb alustada mitte esimesest, vaid teisest ( Näide. 2), kolmas ( Näide. 1, 3) ja isegi viiendast etapist, nagu näites 5.
Näide 5. Lahendage võrrand 2x = 1/4.
Leidke tundmatu x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Vaatame mõne põhiriigieksamil leitud lineaarvõrrandi lahendamist.
Näide 6. Lahendage võrrand 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5-6x
2x + 6x = 5-6
Vastus: - 0,125
Näide 7. Lahendage võrrand – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Vastus: 2.3
Näide 8. Lahenda võrrand
3 (3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Näide 9. Leidke f(6), kui f (x + 2) = 3 7-d
Lahendus
Kuna me peame leidma f(6) ja me teame f (x + 2),
siis x + 2 = 6.
Lahendame lineaarvõrrandi x + 2 = 6,
saame x = 6 – 2, x = 4.
Kui x = 4, siis
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Vastus: 27.
Kui teil on veel küsimusi või soovite võrrandite lahendamisest põhjalikumalt aru saada, registreeruge minu tundidesse AJAKAVAS. Aitan teid hea meelega!
TutorOnline soovitab vaadata ka meie juhendaja Olga Aleksandrovna uut videotundi, mis aitab mõista nii lineaarvõrrandeid kui ka muid.
veebisaidil, kui kopeerite materjali täielikult või osaliselt, on vaja linki algallikale.