Signaalide spektraalne (harmooniline) analüüs. Perioodiliste signaalide harmooniline analüüs Harmooniliste võnkumiste matemaatiline registreerimine

Harmooniliste vibratsioonide matemaatiline tähistus. Perioodilise signaali amplituud- ja faasispektrid. Ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spekter. Sisemine integraal, mis on sageduse funktsioon. Mitteperioodiliste signaalide spektrid.

Oma hea töö esitamine teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

Test

Variant nr 4

Spektraalsete (harmooniliste) signaalide analüüs

Kirjandus

spektraalharmoonilise signaali võnkumine

Harmooniline analüüs on matemaatika haru, mis uurib funktsioonide esitamise võimalusi trigonomeetriliste ridade ja integraalide kujul. Harmoonilise analüüsi põhimõisteks on harmooniline võnkumine, mida saab matemaatiliselt kirjutada järgmiselt:

kus Um, f0, 0 ja 0 on vastavalt võnke amplituud, sagedus, nurksagedus ja algfaas.

Harmoonilises analüüsis tutvustame n-s kontseptsioon sagedusega u0 perioodilise võnke harmoonilised, mis tähendab taas harmoonilist võnkumist, mille sagedus on n korda suurem põhiharmoonilise võnke sagedusest.

Järgmine oluline mõiste on signaali spekter. Signaali spektri all mõistetakse selle harmooniliste komponentide kogumit. Signaalispektri kontseptsiooni kasutuselevõtt tõi kaasa spektraalanalüüsi nimetuse kasutamise tehnilistes rakendustes signaalide harmooniliseks analüüsiks.

1. Perioodiliste signaalide spektraalanalüüs

Nagu on teada, võib iga signaali S(t), mida kirjeldab perioodiline ajafunktsioon, mis rahuldab Dirichlet' tingimusi (reaalsete signaalide mudelid vastavad neile), esitada harmooniliste võnkumiste summana, mida nimetatakse Fourier' jadaks:

kus on signaali keskmine väärtus perioodi jooksul või signaali konstantne komponent;

Fourier-rea koefitsiendid;

Põhisagedus (esimene harmooniline sagedus); n=1,2,3,…

Väärtuste komplekti An ja n (või siinusfunktsioonides n laiendatuna) nimetatakse perioodilise funktsiooni spektriks. Harmoonilised amplituudid An iseloomustavad amplituudispektrit ja algfaasid n (või "n) iseloomustavad faasispektrit.

Seega esitatakse perioodilise signaali spekter konstantse komponendina ja lõpmatu arvu harmooniliste võnkumiste (siinus- või koosinus)na vastavate amplituudide ja algfaasidega. Kõik harmoonilised sagedused on põhisageduse kordsed. See tähendab, et kui perioodiline signaal järgib sagedust näiteks 1 kHz, siis selle spekter saab sisaldada ainult sagedusi 0 kHz, 1 kHz, 2 kHz jne. Sellise perioodilise signaali spekter ei saa sisaldada näiteks 1,5 kHz või 1,2 kHz sagedusi.

Postitatud aadressil http://www.allbest.ru

Joonisel fig. 1. Kuvatakse teatud perioodilise signaali amplituud ja faasispektrid. Iga harmooniline komponent on kujutatud vertikaalsete segmentidena, mille pikkused (mingil skaalal) on võrdsed selle amplituudi ja faasiga. Nagu näete, on perioodilise signaali spekter diskreetne või, nagu öeldakse, vooderdatud.

Arvutuste lihtsustamiseks kasutavad nad Fourier' jada kirjutamise trigonomeetrilise vormi asemel sageli keerukat kirjutamisvormi, mille koefitsiendid ühendavad koefitsiendid An ja n:

Komplekssete amplituudide kogumit n nimetatakse perioodilise signaali kompleksspektriks.

Signaalispektrite arvutamine komplekspiirkonnas on palju lihtsam, kuna ei ole vaja eraldi arvestada Fourier' jada kirjutamise koefitsiente ja trigonomeetrilist vormi.

2. Perioodilise jada spekter ristkülikukujulised impulsid

Enne ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spektri kaalumist vaatleme nende impulsside parameetreid.

Ühe impulsi parameetrid on amplituud, impulsi kestus, tõusuaeg, languse kestus ja lame ülemine langus (lõhestamine).

Impulsi amplituudi Um mõõdetakse voltides.

Impulsi kestust mõõdetakse 0,1 Um või 0,5 Um tasemel. Viimasel juhul nimetatakse impulsi kestust aktiivseks. Impulsi kestust mõõdetakse ajaühikutes.

Eesmise tf ja kukkumise tс kestust mõõdetakse kas tasemel 0 - Um või tasemel (0,1-0,9) Um. Viimasel juhul nimetatakse rinde ja languse kestust aktiivseks.

Tasapinnalist lõhustumist iseloomustab lõhustumistegur? = ?u/Um,

kus?u on kiibi väärtus; Um - impulsi amplituud.

Impulsside seeria parameetrid on kordusperiood T, kordussagedus f, töötsükkel Q, töötsükkel, keskmised pinge väärtused Uav ja keskmine võimsusväärtus Pav.

Kordusperiood T = ti + tp, kus T on periood, ti on impulsi kestus,
tп - pausi kestus. T, ti ja tп mõõdetakse ajaühikutes.

Kordussagedust f = 1/T mõõdetakse hertsides jne.

Töötsükkel Q = T/ti on mõõtmeteta suurus.

Täitetegur = ti/T on mõõtmeteta suurus.

Keskmine pinge

Liigume edasi signaali amplituudi- ja faasispektrite käsitlemisele ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada kujul kestuse ja amplituudiga Um, millele järgneb periood T (joonis 2).

Vaatleme juhtumit, kui impulsi keskpaik on ajalugemise algus. Seejärel kirjeldatakse perioodi signaali avaldisega

Harmooniliste komponentide komplekssed amplituudid.

Funktsioon on märgi vahelduv ja muudab oma märgi vastupidiseks, kui argument n1 muutub summa võrra?

kus k on sagedusskaalal oleva intervalli seerianumber, mis on arvutatud nullsagedusest.

Seega määratakse harmoonilised amplituudid, sealhulgas alalisvoolu komponent, avaldise abil:

ja faasid - avaldise =1, 2,3,...

Funktsioon iseloomustab signaali amplituudspektri muutust sõltuvalt sagedusest. See kaob oma argumendi väärtuste korral, mis on mitmekordsed. Sellest järeldub, et harmoonilised arvuga n = , kus
= 1,2,3,...tulevad olema nulli amplituudid, st. spektrist puudub.

Nagu teate, nimetatakse suhet impulssjärjestuse töötsükliks. Seega ei esine vaadeldava jada spektris harmoonilisi, mille arvud on töötsükli kordsed.

Kui ajalugemise algus on seotud impulsi algusega, jääb amplituudispekter muutumatuks ja harmooniliste faasid saavad vastavalt Fourier' teisenduse omadusele täiendava faasinihke nп1ф/2 . Selle tulemusena

Fourier' seeria salvestamise trigonomeetrilise vormi avaldised, kui loendatakse aega vastavalt impulsi keskelt ja algusest, on järgmisel kujul:

Joonisel fig. 3. Näidatud on vaadeldava ristkülikukujuliste impulsside jada amplituud- ja faasispektrid töötsükliga kaks.

Postitatud aadressil http://www.allbest.ru

Faasispektrid kuvatakse vastavalt, kui loendatakse aega impulsi keskelt ja algusest. Amplituudispektrites olevad punktiirjooned iseloomustavad ühe impulsi spektraaltiheduse mooduli käitumist.

Harmooniliste amplituudide ja faaside avaldise saab hõlpsasti arvutamiseks sobival kujul. Seega, kui loendame aega impulsi keskpaigast kahega võrdse töötsükli jaoks, on meil see

N = 1,3,5,7, …,

3. Mõnede perioodiliste signaalide spektrid

Tabelis 1 on toodud praktikas kõige sagedamini esinevate perioodiliste signaalide amplituudi- ja faasispektrid, samuti Fourier-seeria salvestamise trigonomeetrilised vormid.

Signaalid nr 1 ja nr 2 on ristkülikukujuliste impulsside jadad, mille töötsükkel on 2 ja konstantse komponendiga null ning mis erinevad ainult ajalugemise alguses. Pange tähele, et nende signaalide amplituudspektrid on samad, kuid faasispektrid on erinevad.

Postitatud aadressil http://www.allbest.ru

Signaalid nr 3 ja nr 4 on ristkülikukujuliste impulsside jadad

töötsükkel vastavalt 3 ja 3/2 ja null konstantne komponent. Nende signaalide amplituudspektrid on samad. Pange tähele, et signaali nr 3 puhul sisaldab iga intervall Дш = 2р/ф kahte harmoonilist ja signaali nr 4 puhul sisaldab iga intervall Дш1 = 2р/2ф ainult ühte harmoonilist. Järelduse nende signaalide amplituudspektrite kokkulangevuse kohta saab teha ka sellest, et signaali nr 3 nihutamisel T/2 võrra on see signaali 4 suhtes pöördvõrdeline (s.t. vastupidise märgiga).

Postitatud aadressil http://www.allbest.ru

Signaal nr 5 on nullkonstantse komponendiga sümmeetriliste kolmnurksete impulsside jada. Ajareferentsi valimisel, nagu on näidatud joonisel tabelis 3.1, on kõikidel harmoonilistel algfaasid null.

Signaal nr 6 on nullkonstantse komponendiga nn saehambaimpulsside jada.

Signaalid nr 7 ja nr 8 on impulsside jadad, mis vastavad hea täpsusega vastavalt siinussignaalide täislaine ja poollaine alaldamisel saadud signaalidele.

Punktjooned signaalide nr 1 - nr 8 amplituudspektritel kujutavad spektraalseid tihedusi, mis iseloomustavad järjestusi moodustavate üksikute impulsside spektraaltiheduse mooduli käitumist.

Signaal nr 9 on võnkumine sagedusega u0, mille amplituudi on sagedusega u võnkumine. Sellist signaali nimetatakse amplituudmoduleeritud võnkumiseks. Koefitsienti m nimetatakse amplituudmodulatsiooni koefitsiendiks:

kus DU on amplituudmoduleeritud võnke mähisjoone muutuse amplituud.

4. Mitteperioodiliste signaalide spektrid

Olgu mitteperioodilist signaali kirjeldada funktsiooniga S(t), mis on määratud piiratud ajaintervalli t1 jooksul< t < t2, которая удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е.

Viimane tähendab füüsiliselt, et signaalil on lõplik energia.

Oletame, et signaal S(t) teisendatakse seda korrates suvalise perioodiga T > t2-t1 perioodiliseks signaaliks S1(t). Selle signaali jaoks on kasutatav Fourier-seeria laiendus:

Koefitsiendid An on sel juhul väiksemad, mida suurem on perioodiks valitud intervall T. Kuna T kaldub lõpmatuseni, saame piirväärtuses harmooniliste komponentide lõpmata väiksed amplituudid. Fourier' reas sisalduvate harmooniliste komponentide arv on lõpmatult suur, kuna kuna T kaldub lõpmatuseni, kipub signaali põhisagedus u = 2p/T olema null. Teisisõnu, harmooniliste vaheline kaugus, mis on võrdne põhisagedusega, muutub lõpmatult väikeseks ja spekter muutub pidevaks.

Selle tulemusena muutub signaal S1(t) punktis T signaaliks S(t), sagedus 1 väheneb d-ni ja n1 muutub praeguseks sageduseks. Asendades liitmise integreerimisega, saame

Sisemist integraali, mis on sageduse funktsioon, nimetatakse signaali S(t) kompleksseks spektraaltiheduseks või spektraalkarakteristikuks ().

Üldjuhul, kui piirväärtusi t1 ja t2 ei täpsustata

Seega on mitteperioodiliste signaalide aja- ja sagedusesitlused omavahel seotud Fourier' teisenduste paari abil.

Kompleksset spektraaltihedust saab esitada järgmistes vormides:

() = S()e-j()=A() + jB(),

kus A() = B() =

() = arctaan.

Funktsiooni S() nimetatakse mitteperioodilise signaali amplituudide spektraaltiheduseks ja funktsiooni () nimetatakse faaside spektraaltiheduseks.

Erinevalt perioodilise signaali spektrist on mitteperioodilise signaali spekter pidev (pidev). Dimensioon S() - amplituud/sagedus, () - faas/sagedus. Igal konkreetsel sagedusel on vastava komponendi amplituud null. Seetõttu saame rääkida ainult amplituudi harmoonilistest komponentidest, mille sagedused sisalduvad väikeses, kuid piiratud sagedusvahemikus, + d.

Rõhutame, et seos Fourier' teisendustega antud signaali aja ja sageduse esituse vahel eksisteerib ainult spektraaltiheduse puhul.

Kirjandus

Kasatkin A.S. Elektrotehnika: õpik. ülikoolidele / A.S. Kasatkin, M.V. Nemtsov. - 11. väljaanne, kustutatud. ; Grif MO. - M.: Akadeemia, 2007. - 539 lk.

Kasatkin A.S. Elektrotehnika: õpik. ülikoolidele / A.S. Kasatkin, M.V. Nemtsov. - 9. väljaanne, kustutatud. ; Grif MO. - M.: Akadeemia, 2005. - 639 lk.

Nemtsov M.V. Elektrotehnika: õpik. toetus keskkonnale. õpik institutsioonid / M.V. Nemtsov, I.I. Svetlakova. - Grif MO. - Rostov n/d: Phoenix, 2004. - 572 lk.

Moskalenko V.V. "Automaatne elektriajam". Õpik ülikoolidele. M.: Energoatomizdat, 1986.

"Elektritehnika", toim. V.S. Pantyushina, M.: Kõrgkool, 1976.

"Üldelektritehnika" toim. A.T. Blazhkina, L.: Energia, 1979.

Postitatud saidile Allbest.ru

Sarnased dokumendid

Mitteperioodiliste signaalide spektraaltiheduse arvutamine. Mitteperioodiliste signaalide spektraalanalüüs. Spektri laiuse määramine antud energiatasemel. Signaali autokorrelatsioonifunktsiooni ja impulssvideosignaalide korrelatsioonifunktsioonide arvutamine.

test, lisatud 29.06.2010

Perioodiliste ja mitteperioodiliste juhtsignaalide spektraalanalüüs. Sisendsignaali intervall-intervalli kirjelduse omadused. Perioodiliste ja mitteperioodiliste signaalide läbimise arvutamine läbi esimest ja teist järku lineaarsete elektriahelate.

test, lisatud 03.07.2010

Amplituudis ja faasis moduleeritud signaalide spektrid. Nende omavaheline võrdlus konkreetse edastuskiiruse sõltuvuse alusel. Signaali kuju moonutamine, kui spekter on piiratud. Analoog- ja diskreetse teabe peamised omadused ja eesmärk.

test, lisatud 11.01.2011

Signaali vektorkujutus. Universaalse kvadratuurmodulaatori plokkskeem. Konversiooniprotsess analoogsignaal digitaalsel kujul. Diskreetsete signaalide ülekate ja spektrid. Antialiasing filter. Proovivõtusageduse arvutamine.

kursusetöö, lisatud 19.04.2015

Elektroentsefalogrammi spektraalomaduste uurimine. Perioodiliste ja mitteperioodiliste signaalide harmooniline analüüs, nende filtreerimine ja läbimine läbi mittelineaarsete ahelate. Ahela väljundis oleva signaali arvutamine Duhameli integraalmeetodi abil.

kursusetöö, lisatud 13.12.2013

Impulsssüsteemide infovõimekuse uurimine. Impulssmodulatsiooniga signaalide genereerimise ja taasesitamise kvaliteedi hindamise kriteeriumid. Ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada amplituud-sagedus- ja faasi-sagedusspektrid.

test, lisatud 24.08.2015

Signaal on materiaalne teabekandja ja füüsiline protsess looduses. Tase, väärtus ja aeg signaalide põhiparameetritena. Signaali ja selle spektri vaheline seos Fourier' teisenduse kaudu. RF- ja digitaalsignaali analüsaatorid.

abstraktne, lisatud 24.04.2011

Antud mitteperioodilise signaali spektraaltiheduse määramine, antud videoimpulsside perioodilise jada spekter. Antud videosignaali korrelatsioonifunktsiooni määramine. Spektraalmeetod protsesside analüüsimiseks lineaarahelates.

kursusetöö, lisatud 23.02.2012

Perioodiliste signaalide spektraalanalüüsi omaduste uurimine arvutimodelleerimissüsteemis. Uurimine ja kasutamine mõõteriistad. Integreerivat RC-ahelat läbivate impulsside jada uurimine.

laboritööd, lisatud 31.01.2015

Üksikute signaalide jada kasutamine süsteemides. Üksikute signaalide jadad. Üksikute signaalide jada modulatsiooniseaduse korrelatsioonifunktsioon. Monokromaatiline signaal. Vastuvõetud signaali energiaspekter.

Ärakiri

1 Teema 3 MITTEPERIOOODILISTE SIGNAALIDE HARMOONILINE ANALÜÜS Otse- ja pöörd-Fourier-teisendused Signaali spektrikarakteristikud Amplituud-sagedus- ja faasisagedusspektrid Lihtsamate signaalide spektrikarakteristikud Fourier' teisenduse omadused Energiajaotus mitteperioodilise signaali spektris 3 Fourier' teisendus Harmoonilise analüüsi saab laiendada mitteperioodilistele signaalidele. Vaatleme signaali, mis on määratletud mingi funktsiooniga (t) vahemikus [t, t] ja mis on väljaspool seda intervalli võrdne nulliga (see signaal on näidatud joonisel 3 pideva joonega) Eeldame, et see funktsioon rahuldab Dirichleti tingimusi ja on absoluutselt integreeritav. Joonis 3 (t ) kordamisega moodustatud perioodiline funktsioon. Võtame suvalise ajaperioodi pikkusega T, mis sisaldab täielikult intervalli [t, t] , ja moodustavad perioodilise funktsiooni n (t) (t k T) k, milles funktsioon (t) kordub pärast intervalli T (fragment sellest funktsioonist on näidatud joonisel 3) Ilmselgelt, et (t) lm (t ) (3) T Perioodilise funktsiooni n (t) saab kirjutada Fourier' jaana komplekssel kujul, kus n n () j t t c e, (3) T j t (33) c (t) e d t asendades (3) punktis (3) ja asendades T, saame T T t j j t p () [ [ () ] (34) t e d e t 8

2 Signaali (t) spektraalse esituse saamiseks asendame (34) väärtusega (3) ja laseme T minna lõpmatuseni. seeriast praegusesse sagedusse ja liitmistehte saab asendada integreerimistehtega Selle tulemusena saame t (t) j t e [ () j e d ] d (35) t Võttes arvesse, et t väärtused ja t ei ole defineeritud, sisemise integraali jaoks punktis (35) võtame kasutusele tähise X (j) (t) e d t j t (36) Funktsiooni X (j) nimetatakse signaali spektraalkarakteristikuks () Avaldis (35) võttes arvesse (36) võtab kuju (t) j t X (j) e d 9 t (37) Valemid (36) ja (37) moodustavad Fourier' teisenduste paari ja loovad esituse (t) vahel üks-ühele vastavuse ) signaali ajapiirkonnas ja selle esitust X (j) sageduspiirkonnas. Valemit (36) nimetatakse otseseks Fourier' teisenduseks ja funktsiooni X (j) on signaali spektraalkarakteristikuks (t). (37) võimaldab sooritada pöördteisendust ja arvutada signaali hetkväärtust (t), kui on teada selle spektraalkarakteristik X (j) Sümboolselt kirjutatakse need teisendused kujul X (j) [ (t)]. , (t) [ X (j)] Spektrikarakteristik X ( j) signaal (t) on üldjuhul sageduse kompleksfunktsioon Rakendades tuntud Euleri valemit, saab selle kirjutada järgmisel kujul j t X (. j) (t) e d t (t) c o s t d t j (t) s t d t spektraalkarakteristiku reaalosa a () j b () X () e j () a () (t) c o s t d t on sageduse paarisfunktsioon ja kujuteldav osa b () (t) s t d t (38) on sageduse paaritu funktsioon. Sellest järeldub, et spektraalkarakteristiku moodul X () X (j) a () b ()

3 on sageduse paarisfunktsioon ja spektraalkarakteristiku argument () a rg X (j) on sageduse paaritu funktsioon Graafiliselt saab signaali (t) spektraalkarakteristiku X (j) üldjuhul kujutada komplekstasandil hodograafina (joonis 3, a) Kuid sagedamini joonistatakse amplituud-sagedus X () ja faasisagedus () spektrikarakteristikud (joonis 3, b, c) Võttes arvesse spektraalkarakteristikute sümmeetriat Positiivsete ja negatiivsete sagedusväärtuste korral konstrueeritakse need reeglina ainult positiivsete sagedusväärtuste korral. Euleri valemi ja avaldise (38) saab teisendada järgmisele kujule: (t) [ a () c o s t b () s t ] d (39) 3 Spektrikarakteristikud kõige lihtsamad mitteperioodilised signaalid Ühe ristkülikukujulise impulsi spektrikarakteristik Ristkülikukujuline impulss selle keskkohaga joondatud võrdluspunktiga (joonis 33, a) kirjeldatakse avaldisega t D p p ja t, (t) D re c t p ja t ja t Kasutades valemit (36 ), leiame j j j t D s () (3 ) j X (j) D e d t (e e) D Ristkülikukujulise impulsi spektraalkarakteristikuks valitud võrdluspunktis on reaalfunktsioon (joonis 33, b) X (j) maksimaalne väärtus saavutatakse juures Seda saab arvutada L'Hopitali reegli järgi: X () D Spektri karakteristik kaob argumendi väärtuste juures (kus iga (positiivne või negatiivne) täisarv on 3),

4 Joonis 33 Ristkülikukujulise impulsi spektraalkarakteristikud (a): b üldine; amplituudis; g faas Impulsi kestuse suurenedes väheneb kaugus funktsiooni X (j) nullide vahel, see tähendab, et spekter kitseneb. Kui impulsi kestus väheneb, siis kaugus funktsiooni X (j) nullid suurenevad, mis näitab spektri laienemist ja X () väärtus väheneb Ristkülikukujulise impulsi spektraalkarakteristiku X () joonisel 33, c faasi spektraalkarakteristikut () (joonis 33, d), iga funktsiooni X (j) märgi muutust võetakse arvesse faasi juurdekasvu võrra Delta funktsiooni spektraalkarakteristikuga Delta funktsioon (Dirac funktsioon) on defineeritud järgmiselt: p p ja t, (t) p p ja t Funktsioon rahuldab tingimust (t) d t, mis tähendab, et impulsi pindala on võrdne ühtsusega Praktikas on võimatu saada sellise funktsiooniga kirjeldatud signaali. Kuid deltafunktsioon on väga mugav matemaatiline mudel. Joonisel 34 on näidatud deltafunktsiooni graafiline esitus noolega lõppeva lõigu kujul Delta-impulss Leiame deltafunktsiooni spektraalkarakteristiku. Selleks võtame funktsiooniga v (t) kirjeldatud ristkülikukujulise impulsi (joonis 34, b) Impulsi kestus on võrdne ja amplituud on seega. , impulsi pindala on võrdne ühtsusega Me vähendame impulsi kestust nullini, samas kui selle amplituud kaldub lõpmatuseni Seetõttu (t) lm v (t) 3

5 Joonis 34 Delta funktsiooni spektraalkarakteristikute määramiseks: deltafunktsioon; b ristkülikukujuline impulss; c spektraalkarakteristiku Ristkülikukujulise impulsi spektraalkarakteristiku määrab avaldis (3) Seega, võttes arvesse, et A, saame deltafunktsiooni spektraalkarakteristiku s () X (j) lm Seega on deltaimpulsil a ühtlane spekter kõigil sagedustel (joonis 34, c) Eksponentsignaali spektraalomadused Vaatleme funktsiooniga t (t) A e (t) kirjeldatud signaali parameetri positiivse reaalväärtusega (joonis 35, a) eksponentsiaalsignaali spektraalkarakteristik on võrdne A X (j) A e e d t e j j t j t A (j) t Spektrikarakteristiku hodograaf on näidatud joonisel 35, b Amplituud- ja faasispektrid määratakse vastavalt avaldiste abil: X () X (j) A () arg X (j) arctg (), Joon. 35 Eksponentsiaalse impulsi spektrikarakteristikute määramiseks: eksponentsiaalne impulss; b spektraalkarakteristikud Astmesignaali spektraalkarakteristikud Vaatleme astmefunktsiooniga kirjeldatud signaali (t) A (t) (3) 3

6 Astmefunktsioon (t) ei ole absoluutselt integreeritav funktsioon, mistõttu ei saa kasutada otsest Fourier' teisenduse valemit. Funktsiooni (3) saab aga esitada eksponentsiaalfunktsiooni piirina: (t) A lm e t Sel juhul. , spektraalkarakteristikut X (j) saab defineerida kui eksponentsiaalse signaali piirspektraalkarakteristikut: A X (j) lm A lm ja lm j Kui esimene liige selle avaldise paremal küljel on kõigil sagedustel võrdne nulliga välja arvatud see, kus see läheb lõpmatusse Leiame pindala d d a rc tg () Teise liikme piir - Seetõttu on esimese liikme piir () mis on ilmne Seetõttu saame lõpuks X (j) () j 33 Fourier' teisenduse põhiomadused Signaali (t) ja selle spektri X (j) vahel on üks-ühele vastavus. Praktiliste ülesannete lahendamiseks on vaja teada seost signaali muutumise ja vastavate muutuste vahel. spektraalkarakteristiku Vaatleme signaalide olulisemaid teisendusi ja vastavaid muutusi spektraalkarakteristikus Fourier' teisenduse lineaarsus Kui signaalid (t), (t) on Fourier' teisendatavad ja nende spektraalkarakteristikud on vastavalt funktsioonid X (j), X (j) ja kui, suurused, mis ei sõltu t-st ja, siis kehtivad järgmised võrdsused: (t) X (j), X (j) (t) Seega vastab signaalide lineaarne kombinatsioon spektri lineaarsele kombinatsioonile. nende signaalide karakteristikud Tuletise spektraalkarakteristikud Kui signaali kirjeldav funktsioon (t) ja selle tuletis y (t) d d t on Fourier' teisendatavad ja (t) on spektraalkarakteristikuga X (j), siis tuletise spektraalomadus d (t) Y (j) j X (j) dt (3) 33

7 Seega on signaali diferentseerimine aja suhtes samaväärne spektraalkarakteristiku korrutamiseks teguriga j. Seetõttu on tavaks öelda, et imaginaarne arv j on sageduspiirkonnas töötav diferentseerimisoperaator (3) on üldistatud kolmandat järku tuletise spektri juhtumile. On lihtne näidata, et kui tuletis y (t) d (t) d t on intervallis (,) absoluutselt integreeritav, siis Y (j). ) (j) X (j) Integraali spektraalomadus Kui signaali kirjeldav funktsioon (t) on Fourier' teisendatav, omab spektraalkarakteristikut () t, siis integraali y (t) () d spektraalomadus on võrdne kuni X j ja (t) d t t X (j) Y (j) () d j Seega on tegur (j) integratsioonioperaator sageduspiirkonnas See omadus laieneb ja kordsuse integraalidele Nihutatud signaali spektraalkarakteristikud Olgu seal on suvalise kujuga signaal (t) (joonis 36, a), mis eksisteerib intervallil [t, t] ja millel on spektraalkarakteristik X (j) Vaatleme sama signaali, kuid mis tekib aega hiljem ja seetõttu mida kirjeldab funktsioon (t) (t) See funktsioon on defineeritud intervallil [t, t] (joonis 36, b) Joon. 36 Algsignaalid (a) ja hilinenud (b) signaalid Kui signaal (t) on Fourier' teisendatav ja spektraalkarakteristikuga X (j), siis "viivitatud" signaali (t) spektraalkarakteristik on võrdne j X (j) (t) e X (j) "Advanced" korral signaal (t) (t) on meil 34

8 j X (j) (t e X (j) Spektrikarakteristiku nihe Kui funktsioon (t) on Fourier' teisendatav ja omab spektraalkarakteristikut X (j), siis j a t e (t) X [ j (a)], kus a on mis tahes reaalne mittenegatiivne arv Signaalide kokkusurumine ja venitamine Olgu antud signaal (t) ja selle spektraalkarakteristik X (j) Allutame selle funktsiooni ajaskaala muutusele, moodustades uue funktsiooni (t). (k t), kus k on mingi reaalarv Joonisel 37 on kujutatud näiteks signaali graafikud, mida kirjeldab funktsioon Ф k 5 , (33) (t) e c o s k t Joonis 37 Signaal. graafikud (33): a k ; c) Saab näidata, et signaali (t) spektraalkarakteristiku määrab avaldis X (j) (k t) X (j) k k Sellest avaldisest järeldub, et kui signaal ajateljel kokku suruda, siis selle spekter laieneb sama teguri võrra sagedusteljel. Spektrikarakteristiku moodul väheneb ajas, st k juures, spekter kitseneb ja spektraalkarakteristiku moodul suureneb signaalide korrutisest Olgu kaks signaali, mida kirjeldavad funktsioonid (t) ja (t) Moodustame signaali Kui signaalid () t ja () t on Fourier' teisendatavad ja nende spektraalkarakteristikud on vastavalt () y (t) määratakse avaldisega y (t) (t) (t) X j ja () X j, siis signaali spektraalkarakteristikuks on 35

9 Parsevali teoreem Kui funktsioonid () Y (j) F (t) (t) X [ j ()] X (j) d t ja () t on Fourier' teisendatavad ja nende spektraalkarakteristikud on vastavalt võrdsed () X j ja () koonduvad absoluutselt, siis on võrdus X j tõene ja integraalid X (j) d, X (j) d (t) (t) d t X (j) X (j) d (34) Valem (34) võimaldab leida kahe funktsiooni korrutisest lõpmatus piirides integraali, sooritades funktsioonide spektraalkarakteristikutega vastavaid tehteid. Valemi (34) saab kirjutada reaalkujul (t) (t) d t X (j) X (j) c o s[ () ()] d Kui (t ) (t) (t), siis X (j) X (j) X (j) ja punktist (34) saame võrdsuse, mida nimetatakse Parsevali valem: (t) d t X (j) d X ( j) d Fourier' teisenduse inverteeritavus Lihtne on märgata, et otseteisnduse ja Fourier' pöördteisnduse valemid j t X (j) (t) e d t j t (t) ) X (j) e d on üksteisega väga sarnased. Seetõttu on kõigil teisenduste “paaridel” lähedased peegelpildid. Näitame seda näitega Nagu ülal näidatud, on funktsiooniga (t) kirjeldatud ristkülikukujuline impulss. spektraalkarakteristikud D p p ja t, p p ja t ja t s () X (j) D Teisest küljest, kui allutame signaali otsesele Fourier' teisendusele 36

10 saame D s (t) y(t) t D pr ja, Y (j) pr ja ja 34 Energia jaotus mitteperioodilise signaali spektris Praktiline spektri laius Väärtust E (t) d t nimetatakse signaaliks. energia Täpselt see energia vabaneb takistis, mille takistus on oomi, kui selle klemmidele rakendatakse pinget (t) Parsevali valemi abil saab signaali energiat väljendada selle spektraalkarakteristiku kaudu: (35) E (t) d t. X (j) d X (j) d Seos ( 35) võimaldab määrata signaali energiat, integreerides spektraalkarakteristiku mooduli ruudu kogu sagedusvahemikus. Lisaks näitab see seos signaali energia jaotumist üle erinevate sageduskomponentide Sellest selgub, et energia langeb lõpmata väikesele sagedusvahemikule Seetõttu võib funktsiooni d E 37 X (j) d N () X (j) nimetada signaali energia spektraalkarakteristikuks. ) See iseloomustab signaali energia jaotust selle harmooniliste komponentide vahel. Signaalide analüüsi ja sünteesi praktiliste ülesannete lahendamisel Fourier' teisenduse abil on vaja piirata sagedusvahemikku, milles spektraalkarakteristiku See sagedusvahemik [, ], mida nimetatakse praktiliseks spektri laiuseks, sisaldab komponente, mis on selle uuringu jaoks hädavajalikud Signaali spektri praktilise laiuse määramisel antud harmooniliste komponentide intensiivsusest lähtutakse amplituudi spektraalkarakteristikust Harmoonilise amplituudi väärtus et kui ikaalkomponendid ei ületa etteantud väärtust Energia seisukohast hinnatakse mitteperioodilise signaali spektri praktilist laiust sagedusvahemiku järgi, millesse on koondunud valdav enamus signaali energiast valem (35), signaali energia kontsentreeritud sagedusalas alates kuni

11 pr E X j d () Olenevalt signaali kasutatava kasuliku energia osakaalu nõuetest ja praktilisest spektri laiusest valitakse Näide Antud on ristkülikukujuline impulss, mida kirjeldab funktsioon Signaali energia võrdub (t) D p p ja t , p p ja t ja t E (t) d t D d t D Ristkülikukujulise impulsi spektraalkarakteristiku leiate ülalt: s () X (j) D (36) Olgu D, Siis vastavalt (36) E Ruutmooduli integreerimine spektraalkarakteristikust sagedusvahemikus [, ] annab hinnangu impulsi energiale E Testi küsimused Täpsustage perioodiliste ja mitteperioodiliste signaalide spektrite põhiline põhimõtteline erinevus Selgitage füüsiline tähendus mitteperioodilise signaali amplituud- ja faasispektrid 3 Selgitage, mis juhtub mitteperioodilise signaali spektriga, kui viimase polaarsus muutub vastupidiseks 4 Kuidas on ühe impulsi ja samade impulsside perioodilise jada spektrid seotud? 5 Kuidas muutuvad signaali amplituud- ja faasispektrid, kui see on diferentseeritud (integreeritud)? 6 Selgitage, milline on seos antud signaali amplituudi- ja faasispektrite ning teatud hulga võrra viivitatud signaali vahel 7 Selgitage, kuidas muutub ristkülikukujulise impulsi spektraalkarakteristik (39), kui impulsi kestus 8 Näidake, et superpositsiooni põhimõte on kehtib Fourier' teisendusele 9 Mis on Parsevali võrdsuse füüsikaline tähendus? Mida tähendab praktilise spektri laiuse mõiste ja miks see kasutusele võetakse? 38

õppeaasta sügissemester Teema 3 MITTEPERIOOODILISTE SIGNAALIDE HARMOONILINE ANALÜÜS Fourier otse- ja pöördteisendused Signaali spektraalkarakteristikud Amplituud-sagedus- ja faasisagedusspektrid

54 Loeng 5 FOURIER' TEISENDAMINE JA SPEKTRAALMEETOD ELEKTRIAÜHUSTE ANALÜÜSIKS Plaan Aperioodiliste funktsioonide ja Fourier' teisenduse spektrid Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektraalmeetod

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Föderaalne riigieelarve õppeasutus kõrgemale kutseharidus"RIIKLIKU TEADUSTÖÖ TOMSK POLÜtehnikum

54 Loeng 5 FOURIER TEISENDAMINE JA SPEKTRAALMEETOD ELEKTRIAHELADE ANALÜÜSIKS Plaan Aperioodiliste funktsioonide ja Fourier' teisenduse spektrid 2 Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektraalmeetod

43 5. loeng FOURIER' TEISENDAMINE JA SPEKTRAALMEETOD ELEKTRIAÜHUSTE ANALÜÜSI ANALÜÜSIKS Plaan Aperioodiliste funktsioonide ja Fourier' teisenduse spektrid Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektraalmeetod

Yastrebov NI Kaf TOR, RTF, KPI Mitteperioodiliste signaalide spektraalanalüüs () T Varem saime perioodilise signaali jaoks Fourier' jada komplekssel kujul: () jω C& e, kus C & jω () e Kuna integraal

Fourier' teisendus optikas Matemaatikas on tõestatud, et teatud nõuetele vastavat perioodilist funktsiooni () perioodiga T saab esitada Fourier' jadaga: a a cos n b sn n, kus / n, a

43 Loeng 4 PERIOODILISE MITTESINUSOIDAALSE VOOLU RINGID Fourier' rea trigonomeetriline vorm Fourier' seeria kompleksvorm 3 Perioodilisi mittesinusoidseid funktsioone iseloomustavad koefitsiendid 4 Järeldus

4. Mitteharmooniliste mõjude all olevate vooluringide analüüs. Peaaegu iga tõelise vibratsiooni saab lagundada harmooniliste vibratsioonide kogumiks. Superpositsiooni põhimõtte kohaselt iga harmoonilise tegevus

Fourier' teisendus optikas Matemaatikas on tõestatud, et iga perioodilist funktsiooni () perioodiga T saab esitada Fourier' jadaga: a a cos b s kus / a cos d b s d / / a ja b on Fourier' rea koefitsiendid.

6. loeng PERIOODILISE MITTESINUSIDAALSE VOOLU KONTROLLID Plaan Fourier' seeria Fourier' jada trigonomeetriline kuju komplekssel kujul Kompleksne sagedusspekter 3 Võimsused mittesinusoidsetes vooluahelates Koefitsiendid,

64 Loeng 6 ELEKTRIAÜHENDITE ANALÜÜSI OPERAATORI MEETOD Plaan Laplace'i teisendus Laplace'i teisenduse omadused 3 Elektriahelate analüüsi operaatormeetod 4 Originaali määramine teadaolevast

43 6. loeng PERIOODILISE MITTESINUSOIDAALSE VOOLU RINGID Fourier' rea trigonomeetriline vorm Fourier' seeria kompleksvorm 3 Perioodilisi mittesinusoidseid funktsioone iseloomustavad koefitsiendid 4 Järeldus

3 Loeng 4 PERIOODILISE MITTESINUSOIDAALSE VOOLU RINGID Plaan Fourier' rea trigonomeetriline vorm Fourier' rea kompleksvorm 3 Perioodilisi mittesinusoidseid funktsioone iseloomustavad koefitsiendid 4 Järeldused

Loeng Numbriseeria Konvergentsi testid Arvurida Konvergentsi testid Numbrilise jada + + + + lõpmatut avaldist, mis koosneb lõpmatu jada terminitest, nimetatakse numbriliseks numbrite kõrval,

Teema PERIOODILISTE SIGNAALIDE HARMOONILINE ANALÜÜS Harmooniliste funktsioonide põhisüsteem Trigonomeetriline Fourier' jada Perioodilise signaali amplituud- ja faasispektrid Ajalooline taust Kompleks

Laboratoorsed tööd 4 PERIOODILISTE MITTESINUSOIDAALSETE VÕNKUMISTE SPEKTRAALKOOSTISE UURING 4 Fourier' rea trigonomeetriline vorm Kui perioodiline mittesinusoidne funktsioon vastab Dirichlet' tingimustele,

Signaalid. Harjutus. Impulsssignaalide aja- ja sageduskarakteristikute analüüs Näide Kasutades Fourier' teisenduse omadusi, leidke analüütiline avaldis näidatud analoogimpulsssignaali spektrile.

Teema 5 LINEAARSED STATSIOONSÜSTEEMID Lineaarsete statsionaarsete süsteemide omadused: lineaarsus, statsionaarsus, füüsiline realiseeritavus DiferentsiaalvõrrandÜlekandefunktsioon Sagedusülekande funktsioon

SISUKORD FOURIER SERIA 4 Perioodilise funktsiooni kontseptsioon 4 Trigonomeetriline polünoom 6 3 Funktsioonide ortogonaalsed süsteemid 4 Trigonomeetrilised Fourier' seeriad 3 5 Fourier' jada paaris- ja paaritute funktsioonide jaoks 6 6 Laiendus

4. osa JUHUSLIKUDE PROTSESSIDE SPEKTRAALDEKOMPOSITSIOONID 41 STIELTJES FOURIER INTEGRAALID Spektrilaiendite jaoks juhuslikud funktsioonid kasutab Stieltjesi integraali Seetõttu esitame definitsiooni ja mõned omadused

FSBEI HPE "Omski osariik tehnikaülikool» II OSA PIDEVAD LINEAARSED AUTOMAATJUHTSISÜSTEEMID Loeng 4. DÜNAAMILISED LINGID. ÜLDMÕISTED, AJA OMADUSED JA SAGEDUS

Mööduvad protsessid – operaatori lähenemine. Fourier' meetod Moonutab edastussüsteemi - näiteks B Q( A ) - lase ühel sisestada üks väljund Päris süsteemid– põhjuslik – allub põhjuslikkuse printsiibile, s.o.

Loeng 8 33 ÜHEDIMENSIOONILISED STATSSIONAARSED SÜSTEEMID FOURIER TRANSFORMI RAKENDAMINE 33 Signaalide ja süsteemide kirjeldus Signaalide kirjeldus Deterministlike signaalide kirjeldamiseks kasutatakse Fourier' teisendust: it

Delta funktsioon Delta funktsiooni definitsioon Olgu selleks lõplik lõpmatult diferentseeruv funktsioon (st põhifunktsioon). Me kirjutame:. A. Diraci deltafunktsioon on lineaarne pidev funktsioon

7. Mõned põhisüsteemid alates l Diskreetse aja süsteemides on olulisel kohal lõplikel intervallidel defineeritud diskreetsed signaalid. Sellised signaalid on ruumis -dimensioonilised vektorid

97 Loeng 0 KOMPLEKSARVUTE RAKENDAMINE ELEKTRIAÜHENDITE ARVUTAMISEKS (KOMPLEKSAMPLITUUD MEETOD) Plaan Kompleksamplituudimeetod Komplekstakistus ja juhtivus 3 Püsi siinuse arvutamine

Teema 0 Trigonomeetriline Fourier' jada Fourier' jada perioodilise funktsiooni jaoks perioodiga T 0) s cos) d N d d)s)cos) 0 Trigonomeetriline Fourier' jada Fourier' jada funktsiooni jaoks perioodiga T 0 s cos) d d d)s,

Sunnitud elektrilised võnkumised. Vahelduvvool Vaatleme elektrilisi võnkumisi, mis tekivad siis, kui ahelas on generaator, mille elektromotoorjõud perioodiliselt muutub.

Signaalide spektraalne esitus Ph.D., Moskva dotsent riigiülikool arvutiteaduse osakonna teaduskond Matemaatilised meetodid prognoosimine Signaalide spektraalne esitus Loeng 4 Moskva,

Föderaalne haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus "TOMSK POLÜTECHNIKÜLIKOOL" V.V. Konev KOMPLEKSNUMBRID Tomski kirjastus

Loeng 4. Parsevali võrdsus. Laienduskoefitsientide minimaalne omadus. Seeriate kompleksvorm..4. Parsevali võrdsus Olgu reaalfunktsioonide süsteem g(), g(),..., g(),... ortogonaalne ja

6 Fourier' jada 6 Ortogonaalsed funktsioonide süsteemid Fourier' seeriad ortogonaalses funktsioonide süsteemis Intervalliga [, ] defineeritud ja integreeritavaid funktsioone ϕ () ja ψ () nimetatakse selle intervalli ortogonaalseteks, kui

Teema 8 LINEAARSED DISKREETSED SÜSTEEMID Diskreetsüsteemi kontseptsioon Meetodid lineaarsete diskreetsüsteemide kirjeldamiseks: diferentsiaalvõrrand, ülekandefunktsioon, impulssreaktsioon, sageduse ülekandefunktsioon

Ülesanne 1. Määrame algandmed: Laiendusintervall on võrdne [-τ/2;τ/2]. Spektrikoefitsientide arv n=5. Signaali amplituud: Sisendsignaal: Joon. 1. Signaali ajagraafik. 1 1. Kirjutame valemid

Harjutus. Perioodiliste signaalide aja- ja sageduskarakteristikute analüüs. Näide.. α Vastavalt impulsssignaali () u() teadaolevale spektrile joonisel näidatud perioodilise signaali T () spekter: () ()

1. Deterministlike signaalide põhiomadused Tehnoloogias tähendab termin “signaal” suurust, mis mingil moel peegeldab olekut füüsiline süsteem. Raadiotehnikas nimetatakse signaali

Kontrolliteooria alused Tehnikateaduste doktor Mokrova Natalia Vladislavovna Reguleeritud objektide dünaamilised omadused 1. Ajalised omadused. Kiirenduskõver. Impulsi mööduv funktsioon. 2. Diferentsiaali lahendus

Valik N 4 N mod(N 0) 5 N mod NN 9 4 N 3 mod N N 0 0. Tehke ahela püsiseisundi analüüs kompleksamplituudimeetodi abil. Võetakse arvesse harmoonilise signaali amplituud A ja algfaas Uin (t).

4.11. Laplace'i teisenduse omadused. 1) Üks-ühele vastavus: s(S ˆ(2) Laplace'i teisenduse lineaarsus: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, samuti 3) Analüütilisus S ˆ() : kui s(rahuldab

Valik N 3 N mod(N) 4 N mod NN 9 3 N 3 mod N N 8. Tehke ahela püsiseisundi analüüs kompleksamplituudimeetodi abil. Võtke joonel harmoonilise signaali amplituud A ja algfaas Uin (t).

5. osa SPEKTRAALTIEDUSFUNKTSIOONI MÄÄRAMISE MEETODID Spektritiheduse funktsioone saab määrata kolmel erineval ekvivalentsel viisil, mida arutatakse järgmistes osades: kasutades

4 Loeng 3 ELEKTRIAHELADE SAGEDUSKARAKTERISTIKUD Komplekssed ülekandefunktsioonid Logaritmilised sageduskarakteristikud 3 Kokkuvõte Komplekssed ülekandefunktsioonid (komplekssed sageduskarakteristikud)

Wwwsa-confrncru Kaasaegse raadioelektroonika matemaatilised alused Valeri Andrejevitš Aržanov, kandidaat tehnikateadused, professor Aleksandr Iljitš Odinets, tehnikateaduste kandidaat, dotsent Tamara Bagaeva

4.4. Lihtsamate vibratsioonide spektraalanalüüs. Ristkülikukujuline impulss / / d, / s, / sin sin Ühe impulsi spektraalne tihedus langeb kokku perioodilise jada spektrijoonte mähisjoonega

8. loeng PIDEVATE JUHUSLIKUTE MUUTUJATE JAOTUSED LOENGU EESMÄRK: määrata ühtlase eksponentsiaalse normaal- ja gamma jaotusega juhuslike suuruste tihedusfunktsioone ja arvkarakteristikuid.

3. loeng Juhtimissüsteemide matemaatiline kirjeldus Juhtimisteoorias käsitleme juhtimissüsteemide analüüsimisel ja sünteesimisel nende matemaatilist mudelit Automaatjuhtimissüsteemi matemaatiline mudel on võrrand

Teema 8 DISKRREETNE ACS Loeng 7 Diskreetse ACS-i teooria üldmõisted ja definitsioonid. Põhiteave lineaarsete diskreetsete statsionaarsete süsteemide teooria matemaatilise aparaadi kohta. Protsesside matemaatiline kirjeldus

Eksam Fourier' seeria valgusvälja jaoks Tavaliselt me suurusjärku ei tea elektriväli lõpmatul ajavahemikul Oletame, et me teame välja E() ajavahemikul T Sel juhul väljaspool

Loengu teema: signaalid. Signaalide määratlus ja klassifikatsioon Raadioseadmetes esinevad spetsiifilised elektriprotsessid. Selle eripära mõistmiseks peaksite kõigepealt

8 Kompleksarvude jada Vaatleme arvujada kompleksarvudega kujul k a, (46) kus (a k) on antud numbrijada kompleksterminitega k Seeriat (46) nimetatakse koonduvaks, kui

Pidev-deterministlikud mudelid Pidev-deterministlikud mudelid on kasutusel pideva ajaga dünaamiliste süsteemide analüüsiks ja kujundamiseks, mille toimimisprotsess on kirjeldatud.

Harmoonilised võnked Võnkumised on protsessid (liikumine või oleku muutus), mis aja jooksul korduvad ühel või teisel määral. mehaanilised vibratsioonid elektromagnetiline elektromehaaniline

4. MEMBRAANI ÜLEMINEKARAKTERISTIKAD 4.1 Dünaamilise süsteemi ajutised karakteristikud Süsteemi ja üksikute linkide dünaamiliste omaduste hindamiseks on tavaks uurida nende reaktsiooni tüüpilistele sisendmõjudele.

2.2. Operaatormeetod siirdeprotsesside arvutamiseks. Teoreetiline teave. Transientprotsesside arvutamine keerulistes ahelates klassikalisel meetodil on väga sageli keerukas integratsioonikonstantide leidmisega.

LOENG 13 ELEKTRISIGNAALIDE SPEKTRID Kui mõjutada võnkeahelat harmoonilise signaaliga, siis on ka väljundiks harmooniline signaal. Rakendades sisendile mis tahes signaali, saab selle lagundada

Teema: Vahelduvvoolu seadused Elektrilöök laetud osakeste või makroskoopiliste kehade järjestatud liikumist nimetatakse vooluks, mis muudab aja jooksul oma väärtust

4. liide Elektrilised sundvõnkumised Vahelduvvool Allpool toodud teoreetiline teave võib olla kasulik ettevalmistamisel laboritööd 6, 7, 8 laboris "Elekter ja magnetism"

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Loeng Fourier' teisendus Integraalteisenduste kontseptsioon Integraalteisenduste meetod on üks võimsamaid matemaatilise füüsika meetodeid ja on võimas lahendus

Matemaatilised skeemid: D-skeemid Pidevalt deterministlikke mudeleid kasutatakse pideva ajaga dünaamiliste süsteemide analüüsiks ja kujundamiseks, mille toimimise protsessi kirjeldab deterministlik

Fourier' integraal Fourier' integraali kirjutamise reaalsed ja komplekssed vormid Olgu f () mitteperioodiline funktsioon, mis on defineeritud kogu reaaljoonel ja mis vastab Dirichlet' tingimustele mis tahes lõplikul intervallil

UDC 5393 Gogoleva OS Orenburgi Riiklik Ülikool E-post: ov08@inboxru Elastsusteooria ESIMESE PEAMISE PIIRPROBLEEMI LAHENDUSNÄITED POOLALUSEL (SÜMMETRILINE PROBLEEM) Lahendusnäiteid on toodud

4.3. Vibratsiooni lisamine. 4.3.. Vektordiagramm. Sama sagedusega võnkumiste liitmine. Mugav on kasutada võnkumiste visuaalset esitust vektordiagrammide abil. Tutvustame telge ja joonistame vektori,

Mooduli teema Funktsionaaljadad ja jadad Jadade ja seeriate ühtlase konvergentsi omadused Võimseeria Loeng Funktsionaaljadade ja jadade definitsioonid Ühtlane

Loeng Skleronoomilise süsteemi väikesed võnkumised Sunnitud vibratsioonid Sageduskarakteristikud Vaatleme konservatiivse süsteemi väikeseid võnkumisi hajutavate jõudude R juuresolekul Q kus R b on Rayleighi funktsiooni võrrandid

Perioodilise signaali lagundamisel s(t) trigonomeetriliste funktsioonide Fourier' reas võtame ortogonaalsüsteemi

Ortogonaalsusintervall langeb mõlemal juhul perioodiga kokku
funktsioonid s(t).

Funktsioonide süsteem (1.18) viib Fourier' rea trigonomeetrilisele vormile ja süsteem (1.19) kompleksvormile. Nende kahe vormi vahel on lihtne seos.

Kasutame esmalt ortogonaalsüsteemi (1.19). Siis tuleb Fourier' jada vormile kirjutada

Koefitsientide komplekt Koos n nimetatakse trigonomeetriliste funktsioonide baasil Fourier' jada sagedusspekter perioodiline signaal. Seeriakoefitsiendid (1,20 ) Koos n on lihtne määrata eelmises lõigus toodud valemite abil.

Valemist (1.16) järeldub, et

. (1.21)

Seega, sõltumata n norm
. Kasutades valemit (1.9), saame

. (1.22)

Avaldised (1.21) ja (1.22) võtavad arvesse, et funktsioonid
vastab kompleksse konjugaadi funktsioonile

Koefitsiendid Koos nüldiselt on tegemist keerukate suurustega. Asendamine (1.22)

Koefitsiendi koosinus (reaalne) ja siinus (imaginaarne) osad Koos n määratakse valemitega

,
. (1.24)

Sageli on vormile mugav koefitsiente kirjutada

, (1.25)

,
. (1.26), (1.27)

Moodul on funktsioon isegi suhtes n, ja argument seda näidates on ühtlane,a paarituid funktsioone n.

Üldavaldise (1.20) saab taandada vormile

. (1.28)

Nüüd on lihtne liikuda Fourier' seeria trigonomeetrilise vormi juurde. Olles eraldanud seeriast (1.28) mis tahes antud väärtusele |n| vastava terminipaari , näiteks |n|=2, ja arvestades seoseid
,
saame nende tingimuste summaks

Sellest on selge, et trigonomeetrilisele vormile üleminekul tuleb seeria (1.28) kirjutada järgmiselt:

. (1.30)

Fourier' koefitsientide kahekordistamise tähendus c n trigonomeetrilises seerias kl n > 1 selgub vektordiagrammi (joonis 1.3) arvesse võttes, mis vastab väärtusele (1.29) |n|=2 korral. Tõeline funktsioon
saadakse horisontaaltelje projektsioonide summana OB kaks vektorit pikkusega | Koos n| , pöörleb nurksagedusega
vastastikku vastandlikes suundades. Vastupäeva pöörlev vektor vastab positiivsele sagedusele ja päripäeva pöörlev vektor vastab negatiivsele sagedusele. . Pärast trigonomeetrilisele vormile üleminekut kaotab mõiste “negatiivne sagedus” oma tähenduse. Koefitsient c K ei kahekordistu, kuna perioodilise signaali spektris ei ole nullsagedusega komponendil “alauuringut”.

Avaldise (1.30) asemel leidub matemaatika- ja raadiotehnikaalases kirjanduses sageli järgmist tähistusvormi:

ja
.

Riis. 1.3. Harmoonilise vibratsiooni esitus kahe kompleksi kujul

komponendid: positiivsete ja negatiivsete sagedustega

Avaldiste (1.31) ja (1.30) võrdlusest selgub, et amplituud n harmoonilised A n on seotud koefitsiendiga |c n | seeria (1.28) seose järgi

, A
,
.

Seega kõigi positiivsete väärtuste puhul n (kaasa arvatud n = 0)

,
. (1.32)

Kui signaal on funktsioon, mis on paaris suhtes t, st. s(t)= s(-t), Rea trigonomeetrilises tähistuses jäävad ainult koosinusliikmed, kuna koefitsiendid b n valemi (1.32) kohaselt kaovad. Suhteliselt veider t funktsioonid s(t) , vastupidi, koefitsiendid lähevad nulli A n ja seeria koosneb ainult sinusoidaalsetest terminitest.

Kaks omadust - amplituud ja faas, st Fourier' seeria komplekssete koefitsientide moodulid ja argumendid määravad täielikult perioodilise võnke sagedusspektri struktuuri. Spektri "laiuse" visuaalne esitus on amplituudispektri graafiline esitus. Näitena joonisel fig. 1.4.a konstrueeritakse koefitsientide spekter | Koos n |, ja joonisel fig. 1,4, b - amplituudispekter A n = 2|s n| sama perioodilise võnkumise jaoks. Spektri terviklikuks iseloomustamiseks tuleb selliseid konstruktsioone täiendada üksikute harmooniliste algfaaside täpsustamisega.

Riis. 1.4. Aja perioodilise funktsiooni kompleksi (a) ja trigonomeetrilise (b) Fourier' jada koefitsiendid

Perioodilise funktsiooni spektrit nimetatakse lineaarne või diskreetne, kuna see koosneb eraldi ridadest, mis vastavad diskreetsetele sagedustele jne.

Fourier' seeria kasutamine komplekssete perioodiliste võnkumiste harmooniliseks analüüsiks koos superpositsiooniprintsiibiga on tõhus vahend lineaarahelate mõju uurimiseks signaalide läbimisele. Tuleb aga tähele panna, et antud amplituudide ja faasidega harmooniliste summast vooluringi väljundis oleva signaali määramine ei ole lihtne ülesanne, eriti kui pole tagatud sisendsignaali esindavate Fourier' jadade kiire konvergents. Raadiotehnika kõige levinumad signaalid sellele tingimusele ei vasta ja lainekujude rahuldavaks reprodutseerimiseks on tavaliselt vaja summeerida suur hulk harmoonilised

Harmooniliste vibratsioonide matemaatiline tähistus. Perioodilise signaali amplituud- ja faasispektrid. Ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spekter. Sisemine integraal, mis on sageduse funktsioon. Mitteperioodiliste signaalide spektrid.

Test

Variant nr 4

Spektraalsete (harmooniliste) signaalide analüüs

Kirjandus

spektraalharmoonilise signaali võnkumine

kus Um, f0, 0 ja 0 on vastavalt võnke amplituud, sagedus, nurksagedus ja algfaas.

Harmooniliste analüüsis võetakse kasutusele sagedusega u0 perioodilise võnke n-nda harmoonilise mõiste, mille all mõistetakse jällegi harmoonilist võnkumist, mille sagedus on n korda suurem põhiharmoonilise võnke sagedusest.

1. Perioodiliste signaalide spektraalanalüüs

kus on signaali keskmine väärtus perioodi jooksul või signaali konstantne komponent;

Fourier-rea koefitsiendid;

Põhisagedus (esimene harmooniline sagedus); n=1,2,3,…

Arvutuste lihtsustamiseks kasutavad nad Fourier' jada kirjutamise trigonomeetrilise vormi asemel sageli keerukat kirjutamisvormi, mille koefitsiendid ühendavad koefitsiendid An ja n:

Komplekssete amplituudide kogumit n nimetatakse perioodilise signaali kompleksspektriks.

Signaalispektrite arvutamine komplekspiirkonnas on palju lihtsam, kuna ei ole vaja eraldi arvestada Fourier' jada kirjutamise koefitsiente ja trigonomeetrilist vormi.

2. Ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spekter

Enne ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spektri kaalumist vaatleme nende impulsside parameetreid.

Ühe impulsi parameetrid on amplituud, impulsi kestus, tõusuaeg, languse kestus ja lame ülemine langus (lõhestamine).

Impulsi amplituudi Um mõõdetakse voltides.

Impulsi kestust mõõdetakse 0,1 Um või 0,5 Um tasemel. Viimasel juhul nimetatakse impulsi kestust aktiivseks. Impulsi kestust mõõdetakse ajaühikutes.

Eesmise tf ja kukkumise tс kestust mõõdetakse kas tasemel 0 - Um või tasemel (0,1-0,9) Um. Viimasel juhul nimetatakse rinde ja languse kestust aktiivseks.

Tasapinnalist lõhustumist iseloomustab lõhustumistegur? = ?u/Um,

kus?u on kiibi väärtus; Um - impulsi amplituud.

Impulsside seeria parameetrid on kordusperiood T, kordussagedus f, töötsükkel Q, töötsükkel, keskmised pinge väärtused Uav ja keskmine võimsusväärtus Pav.

Kordusperiood T = ti + tp, kus T on periood, ti on impulsi kestus,
tп - pausi kestus. T, ti ja tп mõõdetakse ajaühikutes.

Kordussagedust f = 1/T mõõdetakse hertsides jne.

Töötsükkel Q = T/ti on mõõtmeteta suurus.

Täitetegur = ti/T on mõõtmeteta suurus.

Keskmine pinge

Liigume edasi signaali amplituudi- ja faasispektrite käsitlemisele ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada kujul kestuse ja amplituudiga Um, millele järgneb periood T (joonis 2).

Vaatleme juhtumit, kui impulsi keskpaik on ajalugemise algus. Seejärel kirjeldatakse perioodi signaali avaldisega

Harmooniliste komponentide komplekssed amplituudid.

Funktsioon on märgi vahelduv ja muudab oma märgi vastupidiseks, kui argument n1 muutub summa võrra?

kus k on sagedusskaalal oleva intervalli seerianumber, mis on arvutatud nullsagedusest.

Seega määratakse harmoonilised amplituudid, sealhulgas alalisvoolu komponent, avaldise abil:

ja faasid - avaldise =1, 2,3,...

Nagu teate, nimetatakse suhet impulssjärjestuse töötsükliks. Seega ei esine vaadeldava jada spektris harmoonilisi, mille arvud on töötsükli kordsed.

Fourier' seeria salvestamise trigonomeetrilise vormi avaldised, kui loendatakse aega vastavalt impulsi keskelt ja algusest, on järgmisel kujul:

Joonisel fig. 3. Näidatud on vaadeldava ristkülikukujuliste impulsside jada amplituud- ja faasispektrid töötsükliga kaks.

Faasispektrid kuvatakse vastavalt, kui loendatakse aega impulsi keskelt ja algusest. Amplituudispektrites olevad punktiirjooned iseloomustavad ühe impulsi spektraaltiheduse mooduli käitumist.

Harmooniliste amplituudide ja faaside avaldise saab hõlpsasti arvutamiseks sobival kujul. Seega, kui loendame aega impulsi keskpaigast kahega võrdse töötsükli jaoks, on meil see

N = 1,3,5,7, …,

3. Mõnede perioodiliste signaalide spektrid

Tabelis 1 on toodud praktikas kõige sagedamini esinevate perioodiliste signaalide amplituudi- ja faasispektrid, samuti Fourier-seeria salvestamise trigonomeetrilised vormid.

Signaalid nr 3 ja nr 4 on ristkülikukujuliste impulsside jadad

Signaal nr 5 on nullkonstantse komponendiga sümmeetriliste kolmnurksete impulsside jada. Ajareferentsi valimisel, nagu on näidatud joonisel tabelis 3.1, on kõikidel harmoonilistel algfaasid null.

Signaal nr 6 on nullkonstantse komponendiga nn saehambaimpulsside jada.

Signaalid nr 7 ja nr 8 on impulsside jadad, mis vastavad hea täpsusega vastavalt siinussignaalide täislaine ja poollaine alaldamisel saadud signaalidele.

Punktjooned signaalide nr 1 - nr 8 amplituudspektritel kujutavad spektraalseid tihedusi, mis iseloomustavad järjestusi moodustavate üksikute impulsside spektraaltiheduse mooduli käitumist.

kus DU on amplituudmoduleeritud võnke mähisjoone muutuse amplituud.

4. Mitteperioodiliste signaalide spektrid

Viimane tähendab füüsiliselt, et signaalil on lõplik energia.

Oletame, et signaal S(t) teisendatakse seda korrates suvalise perioodiga T > t2-t1 perioodiliseks signaaliks S1(t). Selle signaali jaoks on kasutatav Fourier-seeria laiendus:

Selle tulemusena muutub signaal S1(t) punktis T signaaliks S(t), sagedus 1 väheneb d-ni ja n1 muutub praeguseks sageduseks. Asendades liitmise integreerimisega, saame

Sisemist integraali, mis on sageduse funktsioon, nimetatakse signaali S(t) kompleksseks spektraaltiheduseks või spektraalkarakteristikuks ().

Üldjuhul, kui piirväärtusi t1 ja t2 ei täpsustata

Seega on mitteperioodiliste signaalide aja- ja sagedusesitlused omavahel seotud Fourier' teisenduste paari abil.

Kompleksset spektraaltihedust saab esitada järgmistes vormides:

() = S()e-j()=A() + jB(),

kus A() = B() =

() = arctaan.

Funktsiooni S() nimetatakse mitteperioodilise signaali amplituudide spektraaltiheduseks ja funktsiooni () nimetatakse faaside spektraaltiheduseks.

Rõhutame, et seos Fourier' teisendustega antud signaali aja ja sageduse esituse vahel eksisteerib ainult spektraaltiheduse puhul.

Kirjandus

Kasatkin A.S. Elektrotehnika: õpik. ülikoolidele / A.S. Kasatkin, M.V. Nemtsov. - 11. väljaanne, kustutatud. ; Grif MO. - M.: Akadeemia, 2007. - 539 lk.

Kasatkin A.S. Elektrotehnika: õpik. ülikoolidele / A.S. Kasatkin, M.V. Nemtsov. - 9. väljaanne, kustutatud. ; Grif MO. - M.: Akadeemia, 2005. - 639 lk.

Nemtsov M.V. Elektrotehnika: õpik. toetus keskkonnale. õpik institutsioonid / M.V. Nemtsov, I.I. Svetlakova. - Grif MO. - Rostov n/d: Phoenix, 2004. - 572 lk.

Moskalenko V.V. "Automaatne elektriajam". Õpik ülikoolidele. M.: Energoatomizdat, 1986.

"Elektritehnika", toim. V.S. Pantyushina, M.: Kõrgkool, 1976.

"Üldelektritehnika" toim. A.T. Blazhkina, L.: Energia, 1979.

Sarnased dokumendid

test, lisatud 29.06.2010

test, lisatud 03.07.2010

test, lisatud 11.01.2011

Signaali vektorkujutus. Universaalse kvadratuurmodulaatori plokkskeem. Analoogsignaali digitaalsignaaliks teisendamise protsess. Diskreetsete signaalide ülekate ja spektrid. Antialiasing filter. Proovivõtusageduse arvutamine.

kursusetöö, lisatud 19.04.2015

kursusetöö, lisatud 13.12.2013

test, lisatud 24.08.2015

abstraktne, lisatud 24.04.2011

kursusetöö, lisatud 23.02.2012

Perioodiliste signaalide spektraalanalüüsi omaduste uurimine arvutimodelleerimissüsteemis. Teadusliku uurimistöö läbiviimine ja mõõteriistade kasutamine. Integreerivat RC-ahelat läbivate impulsside jada uurimine.

laboritööd, lisatud 31.01.2015

Perioodilise signaali lagundamisel s(t) Fourier' reas võetakse kuju (3.22) harmoonilised funktsioonid ortogonaalsüsteemina:

1, kuna w 1 t,sinw 1 t, cos2w 1 t, sin2w 1 t,...

..., cos n w 1 t, patt n w 1 t,... (3.22)

või: ... , , 1 , , ... (3.23)

Ortogonaalsusintervall langeb mõlemal juhul perioodiga kokku T = 2p/w 1 funktsioon s(t).

Funktsioonide süsteem (3.22) viib selleni trigonomeetriline vormi Fourier-seeria ja süsteem (3.23) - kuni keeruline vorm . Nende vormide vahel on lihtne seos.

Kasutame komplekssete harmooniliste süsteemi (3.23), siis on Fourier' jada kuju:

Koefitsientide komplekt C n nimetatakse trigonomeetriliste funktsioonide baasil Fourier' jada sagedusspekter perioodiline signaal, A eesmärk harmooniline analüüs on täpselt Fourier' rea koefitsientide leidmine.

Seeriate (3.24) koefitsiente saab hõlpsasti määrata varem esinenud valemite abil – valemist (3.15) järeldub, et normi ruut on võrdne:

Seega sõltumata alates n , baasfunktsiooni norm.

Kasutades Fourier' rea koefitsientide valemit (3.16), saame:

Punktis (3.25) ja (3.26) on arvestatud, et jaoks e jn w 1 t kompleksne konjugaadi funktsioon on e -jn w 1 t .

Koefitsiendid C nüldiselt on tegemist keerukate suurustega. Kasutame ära Euleri valem e ± jx=cos x± j patt x ,

Saame:

Siit koosinus - kehtiv osa koefitsient C n:

A kujuteldav - sinus osa:

Koefitsiendid KOOS n Sageli on mugav kirjutada see kujul:

Moodul C n on ühtlane funktsioon suhteliselt n ja argument Y n -veider (see tuleneb (3.28) ja (3.29)). Moodulit ja argumenti kasutades saab kirjutada seeria (3.24):

Siit on lihtne liikuda edasi Fourier' seeria trigonomeetrilise vormi juurde. Olles eraldanud seeriast (3.32) terminipaari, mis vastab ± n(Näiteks n=2) ja võttes arvesse, et Y -2 = -Y 2,
a ½ C -2 ½ = ½ C 2 ½, saame summaks:

Lõpuks seeria (3,32) sisse trigonomeetriline vorm on kirjutatud:

Kahekordistamise tähendus Fourier koefitsiendid C n trigonomeetrilises seerias kl n³1 saab selgeks, kui kujutame ette kahe võrdse pikkusega ja vastandlike argumentidega vektori summat (vektorid pöörlevad sama kiirusega n w 1, kuid positiivsete ja negatiivsete sageduste puhul erinevates suundades) ja arvutage selle summa projektsioon abstsissteljele.

Pärast trigonomeetrilisele vormile üleminekut kaotab mõiste "negatiivsed sagedused" oma tähenduse.

Sageli leitud erineval kujul sissekanded:

Võrreldes (3.35) ja (3.34) omavahel, näeme, et amplituud n harmoonilised A n seotud koefitsiendiga ½ C n½ rida (3,32):

A n= 2½ C n ½; a n= 2Cncos ; b n = 2C n sin

Seega kõike positiivset n, sealhulgas n= 0:

Kui signaal on ühtlane suhteliselt t funktsioon, st. s(t)= s(-t), siis seeria trigonomeetrilises tähises jäävad need alles ainult koosinus liikmed, sest
koefitsiendid b n kooskõlas punktiga (3.36) kaovad.

Imelikuks suhteliselt t funktsioonid s(t), vastupidi, koefitsiendid lähevad nulli a n ja sari koosneb ainult sinusoidsest liikmed. Teisisõnu, paarisfunktsioonidel on reaalne spekter, paaritutel aga puhtalt imaginaarne spekter.

Kaks omadust - amplituud ja faas , see tähendab moodulid ja argumendid Fourier' seeria keerukad koefitsiendid määravad täielikult perioodilise võnkumise sagedusspektri struktuuri.

Perioodilise funktsiooni spektrit nimetatakse valitses või diskreetne , kuna see koosneb eraldi read, mis vastab diskreetsetele sagedustele 0, w 1, 2w 1, 3w 1 ... ja nii edasi.