Lineaarvõrrandit nimetatakse homogeenne, kui selle vaba liige on võrdne nulliga ja muul juhul ebahomogeenne. Homogeensetest võrranditest koosnevat süsteemi nimetatakse homogeenseks ja sellel on üldkuju:
On ilmne, et iga homogeenne süsteem on järjekindel ja sellel on null (triviaalne) lahendus. Seetõttu seoses homogeensete süsteemidega lineaarvõrrandid sageli tuleb otsida vastust nullist erineva lahenduste olemasolu küsimusele. Vastuse sellele küsimusele saab sõnastada järgmise teoreemina.
Teoreem . Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinev lahendus siis ja ainult siis, kui selle järk on väiksem kui tundmatute arv .
Tõestus: Oletame, et süsteemil, mille auaste on võrdne, on nullist erinev lahendus. Ilmselgelt see ei ületa. Juhul, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Kuna homogeensete lineaarvõrrandite süsteemil on alati nulllahendus, siis nulllahendus on see ainulaadne lahendus. Seega on nullist erinevad lahendused võimalikud ainult .
Järeldus 1 : Homogeensel võrrandisüsteemil, milles võrrandite arv on väiksem kui tundmatute arv, on alati nullist erinev lahend.
Tõestus: Kui võrrandisüsteemil on , siis süsteemi aste ei ületa võrrandite arvu, s.t. . Seega on tingimus täidetud ja seetõttu on süsteemil nullist erinev lahendus.
Järeldus 2 : Tundmatutega homogeensel võrrandisüsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle determinant on võrdne nulliga.
Tõestus: Oletame, et lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil, mille maatriks determinandiga , on nullist erinev lahend. Siis vastavalt tõestatud teoreemile ja see tähendab, et maatriks on ainsus, st. .
Kroneckeri-Capelli teoreem: SNL on järjekindel siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi auaste on võrdne selle süsteemi laiendatud maatriksi auastmega. Süsteemi ur nimetatakse järjepidevaks, kui sellel on vähemalt üks lahendus.Homogeenne lineaarne süsteem algebralised võrrandid .
M lineaarvõrrandist koosnevat n muutujaga süsteemi nimetatakse lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemiks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed 0-ga. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem on alati järjekindel, sest sellel on alati vähemalt nulllahendus. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle muutujate koefitsientide maatriksi aste on väiksem muutujate arvust, s.o. auastme jaoks A (n. Mis tahes lineaarne kombinatsioon
Lin süsteemi lahendused. homogeenne. ur-ii on ka selle süsteemi lahendus.
Lineaarsete sõltumatute lahendite e1, e2,...,еk süsteemi nimetatakse fundamentaalseks, kui süsteemi iga lahendus on lahenduste lineaarne kombinatsioon. Teoreem: kui lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi muutujate koefitsientide maatriksi aste r on väiksem kui muutujate arv n, siis koosneb iga süsteemi põhilahenduste süsteem n-r lahendusi. Seetõttu on lineaarsüsteemi üldlahendus. ühepäevane ur-th on kujul: c1e1+c2e2+...+skek, kus e1, e2,..., ek on mis tahes põhilahenduste süsteem, c1, c2,...,ck on suvalised arvud ja k=n-r. Üldine lahendus n muutujaga lineaarvõrrandi süsteem on võrdne summaga
sellele vastava süsteemi üldlahendusest on homogeenne. lineaarvõrrandid ja selle süsteemi suvaline konkreetne lahendus.
7. Lineaarsed ruumid. Alamruumid. Alus, mõõde. Lineaarne kest. Lineaarset ruumi nimetatakse n-mõõtmeline, kui selles on lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem ja mis tahes suurema arvu vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Numbrile helistatakse mõõde (mõõtmete arv) lineaarruum ja seda tähistatakse . Teisisõnu, ruumi mõõde on selle ruumi lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv. Kui selline arv on olemas, siis nimetatakse ruumi lõplikuks mõõtmeliseks. Kui mis tahes naturaalarvu n korral on ruumis süsteem, mis koosneb lineaarselt sõltumatutest vektoritest, siis nimetatakse sellist ruumi lõpmatumõõtmeliseks (kirjutatud: ). Kui pole öeldud teisiti, käsitletakse järgnevas lõplikke ruume.
N-mõõtmelise lineaarruumi aluseks on lineaarselt sõltumatute vektorite järjestatud kogum ( baasvektorid).
Teoreem 8.1 vektori laienemisest baasi järgi. Kui on n-mõõtmelise lineaarruumi alus, siis saab iga vektori esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+et
ja pealegi ainsal viisil, s.o. koefitsiendid määratakse üheselt. Teisisõnu, mis tahes ruumivektorit saab laiendada baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.
Tõepoolest, ruumi mõõde on . Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu (see on alus). Pärast suvalise vektori baasile lisamist saame lineaarselt sõltuva süsteemi (kuna see süsteem koosneb n-mõõtmelise ruumi vektoritest). Kasutades 7 lineaarselt sõltuva ja lineaarselt sõltumatu vektori omadust, saame teoreemi järelduse.
Lineaarsüsteemi nimetatakse homogeenne , kui kõik selle vabad liikmed on võrdsed 0-ga.
IN maatriksvorm homogeenne süsteem on kirjutatud: 
.
Homogeenne süsteem (2) on alati järjepidev
. Ilmselgelt numbrite komplekt 
,
,
…,
rahuldab süsteemi iga võrrandi. Lahendus 
helistas null
või triviaalne
otsus. Seega on homogeensel süsteemil alati nulllahendus.
Millistel tingimustel on homogeensel süsteemil (2) nullist erinevad (mittetriviaalsed) lahendid?
Teoreem 1.3
Homogeenne süsteem (2) on nullist erinevad lahendused
siis ja ainult siis, kui auaste r
selle peamine maatriks 
vähem tundmatuid n
.
Süsteem (2) – ebakindel 
.
Järeldus 1.
Kui võrrandite arv m
homogeensel süsteemil on vähem muutujaid 
, siis on süsteem ebakindel ja sellel on palju nullist erinevaid lahendusi.
Järeldus 2.
Ruudukujuline homogeenne süsteem 
on nullist erinevad lahendused, kui ja millal selle süsteemi põhimaatriks 
degenereerunud, st. determinant 
.
Vastasel juhul, kui determinant 
, on ruudukujulisel homogeensel süsteemil ainus asi
null lahendus
.
Olgu süsteemi auaste (2) 
ehk süsteemil (2) on mittetriviaalsed lahendused.
Lase 
Ja 
- selle süsteemi konkreetsed lahendused, s.t. 
Ja 
.
Homogeense süsteemi lahenduste omadused
Tõesti,.
Tõesti,.
Kombineerides omadused 1) ja 2), võime öelda, et kui 
…,
- homogeense süsteemi (2) lahendused, siis on nende mis tahes lineaarne kombinatsioon ka selle lahendus. Siin 
- suvalised reaalarvud.
Võib leida 
lineaarselt sõltumatud osalahendused
homogeenne süsteem (2), mille abil saate selle süsteemi mis tahes muu konkreetse lahenduse, s.t. saada süsteemile (2) üldine lahendus.
Definitsioon 2.2
Totaalsus 
lineaarselt sõltumatud osalahendused 
…,
Homogeenset süsteemi (2), nii et süsteemi (2) iga lahendust saab esitada nende lineaarse kombinatsioonina, nimetatakse põhiline lahenduste süsteem
(FSR) homogeensest süsteemist (2).
Lase 
…,
on põhilahenduste süsteem, siis võib homogeense süsteemi (2) üldlahendust esitada järgmiselt:
Kus 
.
Kommenteeri.
FSR-i saamiseks peate leidma privaatsed lahendused 
…,
, andes ühele vabale muutujale omakorda väärtuse “1” ja kõigile teistele vabadele muutujatele väärtuse “0”.
Me saame 
,,
…,
- FSR.
Näide. Leidke homogeense võrrandisüsteemi üldlahend ja põhilahenduste süsteem:
Lahendus. Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi, olles eelnevalt seadnud süsteemi viimase võrrandi esikohale, ja toome selle astmelisele kujule. Kuna võrrandite parempoolsed küljed elementaarteisenduste tulemusena ei muutu, jäädes nulli, siis veerg 
ei tohi välja kirjutada.
̴ 
̴ 
̴ 
Süsteemi asetus, kus 
- muutujate arv. Süsteem on ebakindel ja sellel on palju lahendusi.
Põhimoll muutujate jaoks 
nullist erinev: 
vali 
põhimuutujatena ülejäänud 
- vabad muutujad (võtke mis tahes reaalväärtused).
Ahela viimane maatriks vastab astmelisele võrrandisüsteemile:
(3)
Väljendame põhimuutujaid 
vabade muutujate kaudu 
(Gaussi meetodi vastupidine).
Viimasest võrrandist, mida me väljendame 
:
ja asendage see esimese võrrandiga. Me saame selle kätte. Avame sulud, anname sarnased ja väljendame 
:
.
Uskudes 
,
,
, Kus 
, kirjutame
- süsteemi üldine lahendus.
Leiame põhimõttelise lahenduste süsteemi
,
,
.
Siis saab homogeense süsteemi üldlahenduse kirjutada järgmiselt:
Kommenteeri.
FSR-i oleks võinud leida ka muul viisil, leidmata esmalt süsteemile üldist lahendust. Selleks tuli saadud astmesüsteem (3) lahendada kolm korda, eeldades, et jaoks 
:
; 
:
; 
:
.
Sest m Süsteem n lineaarvõrrandid c nimetatakse tundmatuteks lineaarne homogeenne süsteem
võrrandid, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga. Selline süsteem näeb välja selline: Kus (ja ij 1, 2, …, m i = = 1, 2, …, n; j ) - antud numbrid; x i
- teadmata. r Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem on alati järjepidev, kuna r(A) = (). Sellel on alati vähemalt null ( triviaalne
) lahus (0; 0; …; 0).
Mõelgem, millistel tingimustel on homogeensetel süsteemidel nullist erinevad lahendused. 1. teoreem. r Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinevad lahendid siis ja ainult siis, kui selle põhimaatriksi järk on n vähem tundmatuid r < n.
□
, st. r ≤ n 1). Olgu lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil nullist erinev lahend. Kuna auaste ei saa ületada maatriksi suurust, siis ilmselgelt r = n. Lase . Siis üks väiksematest suurustest n n 
nullist erinev. Seetõttu on vastaval lineaarvõrrandisüsteemil ainulaadne lahendus: r < n.
. See tähendab, et peale triviaalsete lahenduste pole muid lahendusi. Seega, kui on olemas mittetriviaalne lahendus, siis r < n 2). Lase ■
. Siis on homogeenne süsteem, olles järjepidev, ebakindel. See tähendab, et sellel on lõpmatult palju lahendusi, s.t. on nullist erinevad lahendused. n Süsteem n Mõelge homogeensele süsteemile
(2)
teadmata: 2. teoreem. n Süsteem n Homogeenne süsteem
□ Tundmatutel (2) on nullist erinevad lahendid siis ja ainult siis, kui selle determinant on võrdne nulliga: = 0. r Kui süsteemil (2) on nullist erinev lahend, siis = 0. Sest kui süsteemis on ainult üks nulllahendus. Kui = 0, siis auaste r < n süsteemi põhimaatriks on väiksem kui tundmatute arv, s.t. ■
. Ja seetõttu on süsteemil lõpmatu arv lahendusi, s.t. on nullist erinevad lahendused. Tähistame süsteemi (1) lahendust 1 = X 1 , Tähistame süsteemi (1) lahendust 2 = X 2 , …, k = x n k n 
.
Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahendustel on järgmised omadused:
1.
Kui rida on lahendus süsteemile (1), siis joon on lahendus süsteemile (1).
2.
Kui read 
ja on süsteemi (1) lahendused, siis mis tahes väärtuste jaoks Koos 1 ja Koos 2 nende lineaarne kombinatsioon on ka lahendus süsteemile (1).
Nende omaduste kehtivust saab kontrollida, asendades need otse süsteemi võrranditesse.
Sõnastatud omadustest järeldub, et iga lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on ka selle süsteemi lahendus.
Lineaarselt sõltumatute lahenduste süsteem e 1 , e 2 , …, e r helistas fundamentaalne, kui süsteemi (1) iga lahendus on nende lahenduste lineaarne kombinatsioon e 1 , e 2 , …, e r.
3. teoreem. Kui auaste r lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (1) muutujate koefitsientide maatriksid on väiksemad kui muutujate arv n, siis koosneb mis tahes süsteemi (1) põhilahenduste süsteem n–r otsuseid.
Sellepärast üldine lahendus Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil (1) on järgmine kuju:
võrrandid, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga. Selline süsteem näeb välja selline: e 1 , e 2 , …, e r– süsteemi (9) mis tahes põhilahenduste süsteem, Koos 1 , Koos 2 , …, koos p- suvalised arvud, r = n–r.
4. teoreem. Süsteemi üldine lahendus m Süsteem n tundmatu võrdub vastava lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (1) üldlahenduse ja selle süsteemi suvalise konkreetse lahendi (1) summaga.
Näide. Lahendage süsteem
Lahendus. Selle süsteemi jaoks m = n= 3. Determinant
teoreemi 2 järgi on süsteemil ainult triviaalne lahendus: x = y = z = 0.
Näide. 1) Leidke süsteemi üld- ja erilahendused
2) Leidke põhiline lahenduste süsteem.
Lahendus. 1) Selle süsteemi jaoks m = n= 3. Determinant
teoreemi 2 järgi on süsteemil nullist erinevad lahendid.
Kuna süsteemis on ainult üks sõltumatu võrrand
x + y – 4z = 0,
siis sellest me väljendame x =4z- y. Kust saame lõpmatu arvu lahendusi: (4 z- y, y, z) – see on süsteemi üldine lahendus.
Kell z= 1, y= -1, saame ühe kindla lahenduse: (5, -1, 1). Panek z= 3, y= 2, saame teise konkreetse lahendi: (10, 2, 3) jne.
2) Üldlahenduses (4 z- y, y, z) muutujad y Ja z on vabad ja muutuja Tähistame süsteemi (1) lahendust- sõltuvad neist. Lahenduste põhisüsteemi leidmiseks määrame vabadele muutujatele väärtused: esiteks y = 1, z= 0, siis y = 0, z= 1. Saame osalahendused (-1, 1, 0), (4, 0, 1), mis moodustavad põhilahenduste süsteemi.
Illustratsioonid:
Riis. 1 Lineaarvõrrandisüsteemide klassifikatsioon
Riis. 2 Lineaarvõrrandisüsteemide uurimine
Esitlused:
· Lahendus SLAE_maatriksi meetod
· SLAE_Crameri meetodi lahendus
· Lahendus SLAE_Gaussi meetod
· Matemaatiliste ülesannete lahendamise paketid Mathematica, MathCad: analüütiliste ja numbriliste lahenduste otsimine lineaarvõrrandisüsteemidele
Turvaküsimused:
1. Defineerige lineaarvõrrand
2. Mis tüüpi süsteem see välja näeb? m lineaarvõrrandid n tundmatu?
3. Mida nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks?
4. Milliseid süsteeme nimetatakse ekvivalentseteks?
5. Millist süsteemi nimetatakse ühildumatuks?
6. Millist süsteemi nimetatakse liigendiks?
7. Millist süsteemi nimetatakse kindlaks?
8. Millist süsteemi nimetatakse määramatuks
9. Loetlege lineaarvõrrandisüsteemide elementaarteisendusi
10. Nimeta maatriksite elementaarteisendused
11. Sõnasta teoreem elementaarteisenduste rakendamisest lineaarvõrrandisüsteemis
12. Milliseid süsteeme saab lahendada maatriksmeetodil?
13. Milliseid süsteeme saab lahendada Crameri meetodil?
14. Milliseid süsteeme saab Gaussi meetodil lahendada?
15. Loetle 3 võimalikku juhtumit, mis tekivad lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel Gaussi meetodil
16. Kirjeldage maatriksmeetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks
17. Kirjeldage Crameri meetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks
18. Kirjeldage Gaussi meetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks
19. Milliseid süsteeme kasutades saab lahendada pöördmaatriks?
20. Loetle 3 võimalikku juhtumit, mis tekivad lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel Crameri meetodil
Kirjandus:
1. Kõrgem matemaatika majandusteadlastele: õpik ülikoolidele / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: ÜHTSUS, 2005. – 471 lk.
2. Kõrgema matemaatika üldkursus majandusteadlastele: Õpik. / Toim. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 lk.
3. Kõrgema matemaatika ülesannete kogumik majandusteadlastele: Õpetus/ Toimetanud V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 lk.
4. Gmurman V. E. Tõenäosusteooria ja magmaatilise statistika probleemide lahendamise juhend. - M.: Kõrgkool, 2005. – 400 lk.
5. Gmurman. V.E Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. - M.: Kõrgkool, 2005.
6. Danko P.E., Popov A.G., Koževnikova T.Ya. Kõrgem matemaatika harjutustes ja ülesannetes. 1. osa, 2. – M.: Oonüks 21. sajand: rahu ja haridus, 2005. – 304 lk. 1. osa; – 416 lk. 2. osa.
7. Matemaatika majanduses: Õpik: 2 osas / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Rahandus ja statistika, 2006.
8. Shipatšov V.S. Kõrgmatemaatika: Õpik õpilastele. ülikoolid - M.: Kõrgkool, 2007. - 479 lk.
Seotud teave.
Kooliajal õppis igaüks meist võrrandeid ja suure tõenäosusega võrrandisüsteeme. Kuid vähesed inimesed ei tea, et nende lahendamiseks on mitu võimalust. Täna analüüsime üksikasjalikult kõiki meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks, mis koosnevad enam kui kahest võrdsusest.
Lugu
Tänapäeval on teada, et võrrandite ja nende süsteemide lahendamise kunst sai alguse Vana-Babülonist ja Egiptusest. Võrdsused oma tuttaval kujul tekkisid aga pärast võrdusmärgi "=" ilmumist, mille 1556. aastal võttis kasutusele inglise matemaatik Record. Muide, see märk valiti põhjusega: see tähendab kahte paralleelset võrdset segmenti. Tõepoolest, paremat võrdõiguslikkuse näidet pole.
Tundmatute ja kraadimärkide kaasaegsete tähttähiste rajaja on prantsuse matemaatik. Tema tähistused erinesid aga oluliselt tänapäeva omadest. Näiteks tähistas ta tundmatu arvu ruutu tähega Q (lat. “quadratus”) ja kuubikut tähega C (lat. “cubus”). See tähistus tundub praegu ebamugav, kuid tol ajal oli see kõige arusaadavam viis lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide kirjutamiseks.
Tolleaegsete lahendusmeetodite puuduseks oli aga see, et matemaatikud arvestasid ainult positiivsete juurtega. See võib olla tingitud asjaolust, et negatiivsetel väärtustel ei olnud ühtegi praktiline rakendus. Nii või teisiti olid just Itaalia matemaatikud Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Raphael Bombelli need, kes 16. sajandil esimestena negatiivseid juuri kokku lugesid. Ja kaasaegne vorm, peamine lahendusmeetod (diskriminandi kaudu) loodi alles 17. sajandil tänu Descartes'i ja Newtoni tööle.
18. sajandi keskel leidis Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uue viisi lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise lihtsamaks muutmiseks. See meetod sai hiljem tema nime ja kasutame seda tänapäevani. Kuid Crameri meetodist räägime veidi hiljem, kuid praegu käsitleme lineaarseid võrrandeid ja meetodeid nende lahendamiseks süsteemist eraldi.
Lineaarvõrrandid
Lineaarvõrrandid on kõige lihtsamad võrrandid, millel on muutuja (muutujad). Neid klassifitseeritakse algebralisteks. kirjutatakse üldkujul järgmiselt: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Peame neid hiljem süsteemide ja maatriksite koostamisel sellel kujul esitama.
Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid
Selle mõiste määratlus on järgmine: see on võrrandite kogum, millel on ühised tundmatud suurused ja ühine lahendus. Koolis lahendasid kõik reeglina kahe või isegi kolme võrrandiga süsteeme. Kuid on süsteeme, millel on neli või enam komponenti. Mõelgem esmalt välja, kuidas need kirja panna, et neid oleks edaspidi mugav lahendada. Esiteks näevad lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid paremad välja, kui kõik muutujad on kirjutatud kui x ja vastava alaindeksiga: 1,2,3 jne. Teiseks tuleks kõik võrrandid viia kanoonilisele kujule: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
Pärast kõiki neid samme võime hakata rääkima sellest, kuidas leida lahendusi lineaarvõrrandisüsteemidele. Maatriksid on selleks väga kasulikud.
Maatriksid
Maatriks on tabel, mis koosneb ridadest ja veergudest ning nende ristumiskohas on selle elemendid. Need võivad olla kas konkreetsed väärtused või muutujad. Enamasti paigutatakse elementide tähistamiseks nende alla alaindeksid (näiteks 11 või 23). Esimene indeks tähendab rea numbrit ja teine veeru numbrit. Maatriksitega, nagu iga teise matemaatilise elemendiga, saate sooritada erinevaid operatsioone. Seega saate:
2) Korrutage maatriks suvalise arvu või vektoriga.
3) Transponeerimine: muutke maatriksiread veergudeks ja veerud ridadeks.
4) Korrutage maatriksid, kui neist ühe ridade arv on võrdne teise veergude arvuga.
Arutame kõiki neid tehnikaid üksikasjalikumalt, kuna need on meile tulevikus kasulikud. Maatriksite lahutamine ja liitmine on väga lihtne. Kuna me võtame sama suurusega maatriksid, korreleerub ühe tabeli iga element teise tabeli iga elemendiga. Seega liidame (lahutame) need kaks elementi (oluline on, et nad seisaksid oma maatriksites samadel kohtadel). Maatriksi korrutamisel arvu või vektoriga korrutate lihtsalt iga maatriksi elemendi selle arvuga (või vektoriga). Ülevõtmine on väga huvitav protsess. Vahel on teda väga huvitav näha päris elu, näiteks tahvelarvuti või telefoni orientatsiooni muutmisel. Töölaual olevad ikoonid kujutavad maatriksit ja kui asend muutub, siis see transponeerub ja muutub laiemaks, kuid väheneb kõrguselt.
Vaatame teist protsessi, näiteks: kuigi me ei vaja seda, on selle teadmine siiski kasulik. Kahte maatriksi saab korrutada ainult siis, kui ühe tabeli veergude arv on võrdne teise tabeli ridade arvuga. Nüüd võtame ühe maatriksi rea elemendid ja teise maatriksi vastava veeru elemendid. Korrutame need üksteisega ja liidame siis (st näiteks elementide a 11 ja a 12 korrutis b 12 ja b 22 võrdub: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Nii saadakse üks tabeli element ja see täidetakse sarnasel meetodil edasi.
Nüüd saame hakata kaaluma, kuidas lineaarvõrrandisüsteemi lahendatakse.
Gaussi meetod
Seda teemat hakatakse käsitlema koolis. Teame hästi mõistet "kahe lineaarvõrrandi süsteem" ja teame, kuidas neid lahendada. Aga mis siis, kui võrrandite arv on suurem kui kaks? See aitab meid
Loomulikult on seda meetodit mugav kasutada, kui teete süsteemist maatriksi. Kuid te ei pea seda muutma ja puhtal kujul lahendama.
Niisiis, kuidas see meetod lahendab lineaarsete Gaussi võrrandite süsteemi? Muide, kuigi see meetod on nime saanud tema järgi, avastati see iidsetel aegadel. Gauss pakub välja järgmise: teostada võrranditega tehteid, et lõppkokkuvõttes taandada kogu komplekt astmelisele kujule. See tähendab, et on vaja, et ülalt alla (kui see on õigesti paigutatud) esimesest võrrandist viimaseni väheneks tundmatu. Teisisõnu peame veenduma, et saame näiteks kolm võrrandit: esimeses on kolm tundmatut, teises on kaks, kolmandas üks. Seejärel leiame viimasest võrrandist esimese tundmatu, asendame selle väärtuse teise või esimese võrrandiga ja seejärel leiame ülejäänud kaks muutujat.
Crameri meetod
Selle meetodi valdamiseks on ülimalt oluline omada maatriksite liitmise ja lahutamise oskusi ning samuti tuleb osata leida determinante. Seega, kui teete seda kõike halvasti või ei tea, kuidas üldse, peate õppima ja harjutama.
Mis on selle meetodi olemus ja kuidas seda teha nii, et saadakse lineaarsete Crameri võrrandite süsteem? See on väga lihtne. Peame konstrueerima lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi arvuliste (peaaegu alati) koefitsientide maatriksi. Selleks võtame lihtsalt numbrid tundmatute ette ja järjestame need tabelisse süsteemi kirjutamise järjekorras. Kui numbri ees on märk “-”, siis kirjutame üles negatiivse koefitsiendi. Niisiis, oleme koostanud tundmatute koefitsientide esimese maatriksi, mis ei sisalda võrdusmärkide järel olevaid numbreid (loomulikult tuleks võrrand taandada kanooniliseks vormiks, kui paremal on ainult arv ja kõik koefitsientidega tundmatud on sees vasakul). Seejärel tuleb luua veel mitu maatriksit – üks iga muutuja jaoks. Selleks asendame iga koefitsientidega veeru esimeses maatriksis omakorda arvude veeruga pärast võrdusmärki. Seega saame mitu maatriksit ja seejärel leiame nende determinandid.
Pärast seda, kui oleme määrajad leidnud, on see väike asi. Meil on esialgne maatriks ja seal on mitu saadud maatriksit, mis vastavad erinevatele muutujatele. Süsteemi lahenduste saamiseks jagame saadud tabeli determinandi algtabeli determinandiga. Saadud arv on ühe muutuja väärtus. Samamoodi leiame kõik tundmatud.
Muud meetodid
Lineaarvõrrandisüsteemide lahenduste leidmiseks on veel mitmeid meetodeid. Näiteks nn Gaussi-Jordani meetod, mida kasutatakse süsteemile lahenduste leidmiseks ruutvõrrandid ja on seotud ka maatriksite kasutamisega. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks on olemas ka Jacobi meetod. Seda on kõige lihtsam arvutiga kohandada ja seda kasutatakse arvutis.
Keerulised juhtumid
Keerukus tekib tavaliselt siis, kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Siis võime kindlalt väita, et süsteem on kas ebajärjekindel (st tal puuduvad juured) või kipub selle lahenduste arv lõpmatuseni. Kui meil on teine juhtum, siis peame kirja panema lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse. See sisaldab vähemalt ühte muutujat.
Järeldus
Siin jõuamegi lõppu. Teeme kokkuvõtte: saime aru, mis on süsteem ja maatriks, ning õppisime leidma lineaarvõrrandisüsteemile üldlahendust. Lisaks kaalusime muid võimalusi. Saime teada, kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi: Gaussi meetodit ja rääkisime sellest rasked juhtumid ja muud viisid lahenduste leidmiseks.
Tegelikult on see teema palju ulatuslikum ja kui soovite sellest paremini aru saada, soovitame lugeda rohkem erialakirjandust.
Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemid- on kujul ∑a k i x i = 0. kus m > n või m Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem on alati järjepidev, kuna rangA = rangB. Ilmselgelt on sellel nullidest koosnev lahendus, mida nimetatakse triviaalne.Teenuse eesmärk. Veebikalkulaator on loodud SLAE-le mittetriviaalse ja põhjapaneva lahenduse leidmiseks. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili (vt lahenduse näidet).
Juhised. Valige maatriksi mõõde:
Lineaarsete homogeensete võrrandisüsteemide omadused
Selleks, et süsteemil oleks mittetriviaalsed lahendused, on vajalik ja piisav, et selle maatriksi aste oleks väiksem kui tundmatute arv.Teoreem. Süsteemil juhul m=n on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui selle süsteemi determinant on võrdne nulliga.
Teoreem. Iga süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on ka selle süsteemi lahendus.
Definitsioon. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahendite kogumit nimetatakse põhiline lahenduste süsteem, kui see hulk koosneb lineaarselt sõltumatutest lahendustest ja süsteemi mis tahes lahendus on nende lahenduste lineaarne kombinatsioon.
Teoreem. Kui süsteemimaatriksi aste r on väiksem kui tundmatute arv n, siis on olemas fundamentaalne lahenduste süsteem, mis koosneb (n-r) lahenditest.
Algoritm lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemide lahendamiseks
- Maatriksi auastme leidmine.
- Valime põhimolli. Eristame sõltuvaid (põhilisi) ja vabu tundmatuid.
- Kriipsutame läbi need süsteemi võrrandid, mille koefitsiendid ei sisaldu põhi-minoorses, kuna need on teiste (teoreemi alusel minoorsete) tagajärjed.
- Liigume vabu tundmatuid sisaldavate võrrandite liikmed paremale poole. Selle tulemusena saame antud võrrandiga ekvivalentse r võrrandisüsteemi r tundmatuga, mille determinant on nullist erinev.
- Lahendame tekkinud süsteemi tundmatute elimineerimisega. Sõltuvaid muutujaid väljendavad seosed leiame vabade kaudu.
- Kui maatriksi auaste ei ole võrdne muutujate arvuga, siis leiame süsteemi põhimõttelise lahenduse.
- Juhul ring = n on meil triviaalne lahendus.
Näide. Leia vektorite süsteemi alus (a 1, a 2,...,a m), järjesta ja väljenda vektorid aluse alusel. Kui a 1 =(0,0,1,-1) ja 2 =(1,1,2,0) ja 3 =(1,1,1,1) ja 4 =(3,2,1 ,4) ja 5 =(2,1,0,3).
Kirjutame üles süsteemi põhimaatriksi:
Korrutage 3. rida arvuga (-3). Liidame neljanda rea kolmandale:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Korrutage 4. rida arvuga (-2). Korrutame 5. rea (3-ga). Lisame 5. rea neljandale:
Lisame 2. rea esimesele:
Leiame maatriksi auaste.
Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Kasutades tundmatute kõrvaldamise meetodit, leiame mittetriviaalse lahenduse:
Sõltuvaid muutujaid x 1 , x 2 , x 3 väljendavad seosed saime vabade x 4 kaudu ehk leidsime üldlahenduse:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Laadimine...