Funktsiooni piiri omadusi tõestades olime veendunud, et punkteeritud piirkondadest, milles meie funktsioonid määratleti ja mis tekkisid tõestamise käigus, ei nõutud tegelikult midagi, välja arvatud eelmise lõigu sissejuhatuses märgitud omadused. 2. See asjaolu on õigustuseks järgmise matemaatilise objekti tuvastamiseks.
A. Alus; määratlus ja põhilised näited
Definitsioon 11. Hulga X alamhulkade kogu B nimetatakse hulga X baasiks, kui on täidetud kaks tingimust:
Teisisõnu, kogu B elemendid on mittetühjad hulgad ja nende mis tahes kahe ristumiskoht sisaldab mõnda elementi samast kogust.
Toome välja mõned analüüsis kõige sagedamini kasutatavad alused.
Kui siis selle asemel kirjutatakse ja öeldakse, et x kaldub a-le paremalt või küljelt suured väärtused(vastavalt kas vasakul või väiksemate väärtuste poolel). Kui selle asemel võetakse vastu lühiplaat
Kirjet kasutatakse asemel She tähendab, et a; kaldub üle hulga E kuni a, jäädes suuremaks (väiksemaks) kui a.
siis selle asemel kirjutatakse ja öeldakse, et x kipub plusslõpmatusse (vastavalt miinuslõpmatusse).
Selle asemel kasutatakse kirjet
Kui selle asemel (kui see ei põhjusta arusaamatust) kirjutame, nagu jada piiri teoorias tavaks,
Pange tähele, et kõigi loetletud aluste eripära on see, et aluse mis tahes kahe elemendi ristumiskoht on ise selle aluse element, mitte ainult ei sisalda mõnda aluse elementi. Teisi aluseid kohtame, kui uurime funktsioone, mis pole arvuteljel defineeritud.
Pangem ka tähele, et siin kasutatav termin "baas" on lühike tähistus sellele, mida matemaatikas nimetatakse "filtri baasiks" ja allpool toodud baaslimiit on kõige olulisem osa tänapäevase filtri piirangu kontseptsiooni analüüsimisel. Prantsuse matemaatik A. Cartan
b. Funktsioonipiirang baasi järgi
Definitsioon 12. Olgu funktsioon hulgal X; B on X-i alus. Arvu nimetatakse funktsiooni piiriks aluse B suhtes, kui punkti A mis tahes naabruses on aluse element, mille kujutis sisaldub naabruses
Kui A on funktsiooni piir aluse B suhtes, siis kirjuta
Kordame loogilise sümboolika aluse piiri määratlust:
Kuna me vaatame nüüd arvväärtustega funktsioone, on kasulik meeles pidada selle põhidefinitsiooni järgmist vormi:
Selles sõnastuses võetakse suvalise naabruskonna V (A) asemel sümmeetriline (punkti A suhtes) naabruskond (e-naabruskond). Nende definitsioonide samaväärsus reaalväärtuslike funktsioonide puhul tuleneb asjaolust, et nagu juba mainitud, sisaldab mis tahes punkti naabrus sama punkti sümmeetrilist naabrust (sooritage tõestus täielikult!).
Oleme andnud üldise definitsiooni funktsiooni limiidile üle aluse. Eespool käsitlesime analüüsis kõige sagedamini kasutatavate andmebaaside näiteid. Konkreetses probleemis, kus üks või teine neist alustest ilmneb, tuleb osata lahti mõtestada üldine määratlus ja see konkreetse aluse jaoks kirja panna.
Võttes arvesse näiteid aluste kohta, võtsime kasutusele lõpmatuse naabruskonna mõiste. Kui kasutada seda mõistet, siis kooskõlas üldine määratlus Mõistlik on nõustuda järgmiste lepingutega:
või mis on sama,
Tavaliselt peame silmas väikest väärtust. Antud definitsioonides see muidugi nii ei ole. Kooskõlas aktsepteeritud tavadega võime näiteks kirjutada
Selleks, et kõik teoreemid piirmäärade kohta, mida me lõikes 2 tõestasime erialuse kohta, loetaks tõestatuks üldisel juhul, kui piir on üle suvalise aluse, on vaja anda asjakohased definitsioonid: lõpuks konstantne, lõpuks piiratud ja lõpmata väike. antud funktsioonide baasi jaoks.
Definitsioon 13. Funktsiooni nimetatakse baasiga B lõplikuks konstantseks, kui aluse arv ja element on olemas nii, et mis tahes punktis
Definitsioon 14. Funktsiooni nimetatakse piiritletuks baasiga B või lõpuks piiratuks baasiga B, kui on olemas arv c ja aluse element, mis igas punktis
Definitsioon 15. Funktsiooni nimetatakse lõpmatult väikeseks baasiga B, kui
Pärast neid definitsioone ja põhilist tähelepanekut, et piirteoreemide tõestamiseks on vaja ainult aluse omadusi, võime eeldada, et kõik lõikes 2 kehtestatud piirväärtuse omadused kehtivad mis tahes aluse piirväärtuste korral.
Eelkõige saame nüüd rääkida funktsiooni piirist at või at või at
Lisaks oleme taganud, et saame rakendada piiride teooriat juhul, kui funktsioonid pole arvulistel hulgadel defineeritud; see osutub tulevikus eriti väärtuslikuks. Näiteks kõvera pikkus on teatud kõverate klassis määratletud arvfunktsioon. Kui tunneme seda funktsiooni katkendjoontel, siis piirini minnes määrame selle keerulisemate kõverate, näiteks ringi jaoks.
Hetkel on tehtud vaatluse ja sellega seoses kasutusele võetud baasi kontseptsiooni peamine kasu see, et need säästavad meid kontrollidest ja piirteoreemide formaalsetest tõestustest iga konkreetse piirilõike tüübi või meie praeguse terminoloogia järgi iga konkreetse tüübi alused
Selleks, et lõpuks tutvuda suvalise aluse piiri mõistega, tõestused edasised omadused täidame funktsiooni limiidi üldkujul.
Selles artiklis räägime teile, mis on funktsiooni piir. Esiteks selgitame üldisi punkte, mis on selle nähtuse olemuse mõistmiseks väga olulised.
Piirikontseptsioon
Matemaatikas on põhimõtteliselt oluline lõpmatuse mõiste, mida tähistatakse sümboliga ∞. Seda tuleks mõista kui lõpmatult suurt + ∞ või lõpmata väikest arvu - ∞. Lõpmatusest rääkides peame sageli silmas mõlemat tähendust korraga, kuid vormi + ∞ või - ∞ märkimist ei tohiks asendada lihtsalt ∞-ga.
Funktsiooni piiriks kirjutatakse lim x → x 0 f (x) . Allosas kirjutame põhiargumendi x ja näitame noole abil, millisele väärtusele x0 see kaldub. Kui väärtus x 0 on konkreetne reaalarv, siis on tegemist funktsiooni piiriga punktis. Kui väärtus x 0 kaldub lõpmatusse (pole vahet, kas ∞, + ∞ või - ∞), siis tuleks rääkida funktsiooni piirist lõpmatuses.
Piirang võib olla piiratud või lõpmatu. Kui see on võrdne konkreetse reaalarvuga, s.t. lim x → x 0 f (x) = A, siis nimetatakse seda lõplikuks piiriks, aga kui lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ või lim x → x 0 f (x) = - ∞ , siis lõpmatu.
Kui me ei saa määrata ei lõplikku ega lõpmatut väärtust, tähendab see, et sellist piiri pole olemas. Selle juhtumi näiteks oleks siinuse piir lõpmatuses.
Selles lõigus selgitame, kuidas leida funktsiooni piiri väärtus punktis ja lõpmatuses. Selleks peame tutvustama põhimääratlusi ja meeles pidama, mida numbrijadad, samuti nende lähenemine ja lahknemine.
Definitsioon 1
Arv A on funktsiooni f (x) piir x → ∞, kui selle väärtuste jada läheneb A-le mis tahes lõpmata suure argumentide jada (negatiivse või positiivse) korral.
Funktsiooni piiri kirjutamine näeb välja selline: lim x → ∞ f (x) = A.
2. definitsioon
Nagu x → ∞, on funktsiooni f(x) piir lõpmatu, kui mis tahes lõpmata suure argumentide jada väärtuste jada on samuti lõpmatult suur (positiivne või negatiivne).
Kirje näeb välja selline: lim x → ∞ f (x) = ∞ .
Näide 1
Tõesta võrdus lim x → ∞ 1 x 2 = 0, kasutades x → ∞ piirangu põhidefinitsiooni.
Lahendus
Alustuseks kirjutame funktsiooni 1 x 2 väärtuste jada argumendi x = 1, 2, 3, lõpmatult suure positiivse väärtuste jada jaoks. . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Näeme, et väärtused vähenevad järk-järgult, kaldudes 0-ni. Vaata pildilt:
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Siin on näha ka monotoonset langust nulli suunas, mis kinnitab selle paikapidavust võrdsuse tingimuses:
Vastus: Selle õigsus võrdsuse tingimuses on kinnitatud.
Näide 2
Arvutage piir lim x → ∞ e 1 10 x .
Lahendus
Alustame nagu varemgi, kirjutades üles väärtuste jadad f (x) = e 1 10 x lõpmatult suure positiivse argumentide jada jaoks. Näiteks x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10; e 4 10; e 9 10; e 16 10; e 25 10; . . . ; e 100 10; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .
Näeme, et see jada on lõpmata positiivne, mis tähendab f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Liigume edasi lõpmatult suure negatiivse jada väärtuste kirjutamise juurde, näiteks x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞
Kuna see kipub ka nulli, siis f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Probleemi lahendus on joonisel selgelt näidatud. Sinised punktid tähistavad positiivsete väärtuste jada, rohelised tähistavad negatiivsete väärtuste jada.
Vastus: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr ja x → + ∞ 0 , pr ja x → - ∞ .
Liigume edasi funktsiooni piiri arvutamise meetodi juurde punktis. Selleks peame teadma, kuidas ühepoolset piiri õigesti määratleda. See on meile kasulik ka funktsiooni graafiku vertikaalsete asümptootide leidmiseks.
3. määratlus
Arv B on funktsiooni f (x) piirväärtus vasakul kujul x → a juhul, kui selle väärtuste jada läheneb antud arvule funktsiooni x n mis tahes argumentide jada korral, mis läheneb a-le, kui selle väärtused jäävad väiksemaks kui a (x n< a).
Sellist piiri tähistatakse kirjalikult kui lim x → a - 0 f (x) = B.
Nüüd sõnastame, mis on paremal asuva funktsiooni piir.
4. definitsioon
Arv B on funktsiooni f (x) piirväärtus paremal kujul x → a juhul, kui selle väärtuste jada läheneb antud arvule funktsiooni x n mis tahes argumentide jada korral, mis läheneb a-le, kui selle väärtused jäävad suuremaks kui a (x n > a) .
Kirjutame selle piiri lim x → a + 0 f (x) = B .
Funktsiooni f (x) piiri leiame mingil hetkel, kui sellel on võrdsed piirid vasaku ja -ga parem pool, st. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Kui mõlemad piirid on lõpmatud, on ka funktsiooni piirväärtus lähtepunktis lõpmatu.
Nüüd selgitame neid definitsioone, kirjutades üles konkreetse probleemi lahenduse.
Näide 3
Tõesta, et punktis x 0 = 2 on funktsiooni f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 lõplik piir ja arvuta selle väärtus.
Lahendus
Ülesande lahendamiseks peame meenutama funktsiooni piiri määratlust punktis. Esiteks tõestame, et algsel funktsioonil on vasakul piir. Kirjutame üles funktsiooni väärtuste jada, mis läheneb väärtusele x 0 = 2, kui x n< 2:
f(-2); f (0); f (1); f 1 1 2; f 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; . . . ; f 1 1023 1024; . . . == 8 667; 2 667; 0, 167; - 0 958; - 1 489; - 1 747; - 1 874; . . . ; - 1998; . . . → - 2
Kuna ülaltoodud jada taandub väärtuseks - 2, võime kirjutada, et lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Funktsiooni väärtused selles järjestuses näevad välja järgmised:
f (6); f (4); f (3); f 2 1 2; f 2 3 4; f 2 7 8; f 2 15 16; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7 333; - 5 333; - 3 833; - 2 958; - 2 489; - 2 247; - 2 124; . . . , - 2001, . . . → - 2
See jada läheneb ka -2-le, mis tähendab lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Leidsime, et selle funktsiooni paremal ja vasakul küljel olevad piirangud on võrdsed, mis tähendab, et funktsiooni f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 piirväärtus punktis x 0 = 2 on olemas, ja lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Lahenduse edenemist näete joonisel (rohelised täpid on väärtuste jada, mis läheneb x n-le< 2 , синие – к x n > 2).
Vastus: Selle funktsiooni paremal ja vasakul küljel olevad piirangud on võrdsed, mis tähendab, et funktsiooni piir on olemas ja lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Piiriteooria põhjalikumaks uurimiseks soovitame lugeda artiklit funktsiooni pidevuse kohta punktis ja katkestuspunktide peamistest tüüpidest.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Järjestuse ja funktsiooni piiride määratlus, piiride omadused, esimene ja teine tähelepanuväärne piir, näited.
Püsiv number A helistas piiri järjestused(x n), kui suvaliselt väikese positiivse arvu ε > 0 korral on arv N nii, et kõik väärtused x n, mille puhul n>N, rahuldavad ebavõrdsust
Kirjutage see üles järgmiselt: või x n → a.
Ebavõrdsus (6.1) on samaväärne topeltvõrdsusega
a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, alustades mingist arvust n>N, asuvad intervalli (a-ε , a+ε) sees, st. langevad punkti mis tahes väikesesse ε-naabrusse A.
Nimetatakse jada, millel on piir koonduv, muidu - lahknev.
Funktsiooni piirangu mõiste on jada piiri mõiste üldistus, kuna jada piiriks võib pidada täisarvu argumendi funktsiooni x n = f(n) piiri. n.
Olgu funktsioon f(x) antud ja olgu a - piirpunkt selle funktsiooni määratluspiirkond D(f), st. selline punkt, mille mis tahes naabrus sisaldab hulga D(f) muid punkte peale a. Punkt a võib või ei pruugi kuuluda hulka D(f).
Definitsioon 1. Nimetatakse konstantset arvu A piiri funktsioonid f(x) juures x→ a, kui mis tahes argumentide väärtuste jada (x n ) puhul, mis kaldub sellele A, on vastavatel jadadel (f(x n)) sama piir A.
Seda määratlust nimetatakse funktsiooni piiri määramine Heine järgi, või " jadakeeles”.
2. definitsioon. Nimetatakse konstantset arvu A piiri funktsioonid f(x) juures x→a, kui suvalise, suvaliselt väikese positiivse arvu ε korral on võimalik leida selline δ >0 (olenevalt ε-st), et kõigi x, mis asub arvu ε-naabruses A, st. Sest x, mis rahuldab ebavõrdsust
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Seda määratlust nimetatakse defineerides funktsiooni piiri Cauchy järgi, või “keeles ε - δ"
Definitsioonid 1 ja 2 on samaväärsed. Kui funktsioonil f(x) as x → a on piiri, võrdne A-ga, kirjutatakse see kujul
Juhul kui jada (f(x n)) suureneb (või väheneb) piiranguteta mis tahes lähendusmeetodi puhul x teie piirini A, siis ütleme, et funktsioonil f(x) on lõpmatu piir, ja kirjutage see kujule:
Kutsutakse muutujat (st jada või funktsiooni), mille piirväärtus on null lõputult väike.
Nimetatakse muutujat, mille piiriks on lõpmatus lõpmatult suur.
Praktikas piiri leidmiseks kasutatakse järgmisi teoreeme.
1. teoreem . Kui iga piir on olemas
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Kommenteeri. Vormiga 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ avaldised on ebakindlad, näiteks kahe lõpmata väikese või lõpmata suure koguse suhe, ja seda tüüpi piiri leidmist nimetatakse "määramatuse avalikustamiseks".
2. teoreem.
need. piirini saab minna konstantse astendajaga võimsuse alusel, eelkõige 
3. teoreem.
(6.11)
Kus e» 2,7 - naturaallogaritmi alus. Valemeid (6.10) ja (6.11) nimetatakse esimeseks tähelepanuväärseks piiriks ja teiseks tähelepanuväärseks piiriks.
Praktikas kasutatakse ka valemi (6.11) tagajärgi:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
eelkõige piirmäär,
Kui x → a ja samal ajal x > a, siis kirjuta x →a + 0. Kui täpsemalt a = 0, siis sümboli 0+0 asemel kirjuta +0. Samamoodi, kui x→a ja samal ajal x 
. Kutsutakse funktsioon f(x). pidev punktis x 0, kui piirang
(6.15)
Tingimust (6.15) saab ümber kirjutada järgmiselt:
ehk funktsiooni märgi all oleva piirini üleminek on võimalik, kui see on antud punktis pidev.
Kui võrdsust (6.15) rikutakse, siis ütleme nii juures x = x o funktsiooni f(x) on lõhe Vaatleme funktsiooni y = 1/x. Selle funktsiooni määratluspiirkond on komplekt R, välja arvatud x = 0. Punkt x = 0 on hulga D(f) piirpunkt, kuna selle mis tahes naabruses, s.o. mis tahes avatud intervallis, mis sisaldab punkti 0, on punkte D(f), kuid see ise ei kuulu sellesse hulka. Väärtus f(x o)= f(0) ei ole defineeritud, seega punktis x o = 0 on funktsioonil katkestus.
Kutsutakse funktsioon f(x). pidev paremal punktis x o kui piir
Ja pidev vasakul punktis x o, kui piir
Funktsiooni pidevus punktis xo on samaväärne selle järjepidevusega selles punktis nii paremal kui ka vasakul.
Selleks, et funktsioon oleks mingis punktis pidev xo, näiteks paremal on vaja esiteks, et oleks lõplik piir, ja teiseks, et see piir oleks võrdne f(x o). Seega, kui vähemalt üks neist kahest tingimusest ei ole täidetud, tekib funktsioonil katkestus.
1. Kui piirang on olemas ja ei ole võrdne f(x o), siis nad ütlevad seda funktsiooni f(x) punktis x o on esimest tüüpi rebend, või hüpe.
2. Kui piir on +∞ või -∞ või seda ei ole olemas, siis öeldakse, et sisse punkt xo funktsioonil on katkestus teist liiki.
Näiteks funktsiooni y = ctg x as x → +0 piirväärtus on +∞, mis tähendab, et punktis x=0 on tal teist tüüpi katkestus. Funktsioon y = E(x) (täisarv osa x) on tervete abstsissidega punktides esimest tüüpi katkestusi ehk hüppeid.
Kutsutakse funktsiooni, mis on pidev intervalli igas punktis pidev V . Pidevat funktsiooni kujutab tahke kõver.
Paljud probleemid, mis on seotud mõne koguse pideva kasvuga, viivad teise tähelepanuväärse piirini. Selliste ülesannete hulka kuuluvad näiteks: hoiuste kasv liitintressi seaduse järgi, riigi rahvaarvu kasv, radioaktiivsete ainete lagunemine, bakterite vohamine jne.
Mõelgem näiteks Ya I. Perelman, mis annab numbri tõlgenduse e liitintressi probleemis. Number e on piir 
. Hoiukassades lisatakse põhikapitalile intressiraha igal aastal. Kui liituda sagedamini, siis kasvab kapital kiiremini, kuna intresside kujunemisse kaasatakse suurem summa. Võtame puhtalt teoreetilise, väga lihtsustatud näite. Panka hoiule 100 denjerit. ühikut põhineb 100% aastas. Kui intressiraha lisandub põhikapitalile alles aasta pärast, siis selleks perioodiks 100 den. ühikut muutub 200 rahaühikuks. Nüüd vaatame, milleks 100 denize muutub. ühikut, kui iga kuue kuu tagant lisatakse põhikapitalile intressiraha. Kuue kuu pärast 100 den. ühikut kasvab 100 × 1,5 = 150 ja veel kuue kuu pärast - 150 × 1,5 = 225 (den. ühikut). Kui liitumine toimub iga 1/3 aasta tagant, siis aasta pärast 100 den. ühikut muutub 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. ühikut). Tõstame intressiraha lisamise tähtaegu 0,1 aastani, 0,01 aastani, 0,001 aastani jne. Siis 100 denist välja. ühikut aasta pärast on see:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. ühikut),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. ühikut),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. ühikut).
Intressi lisamise tingimuste piiramatu vähendamisega ei kasva kogunenud kapital lõputult, vaid läheneb teatud piirile, mis on ligikaudu 271. Aastas 100% hoiustatud kapital ei saa suureneda rohkem kui 2,71 korda, isegi kui kogunenud intress lisati pealinna iga sekund, sest limiit
Näide 3.1.
Kasutades arvujada piiri definitsiooni, tõesta, et jada x n =(n-1)/n piirväärtus on võrdne 1-ga. Lahendus.< ε
Võtame suvalise ε > 0. Kuna x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, siis N leidmiseks piisab võrratuse 1/n lahendamisest<ε. Отсюда n>1/ε ja seetõttu N võib olla 1/ε N = E(1/ε) täisarvuline osa. Oleme sellega tõestanud, et piir .
Näide 3.2. Leia ühise liikmega antud jada piir
.
Lahendus. Rakendame summateoreemi piirmäära ja leiame iga liikme piirmäära. Kuna n → ∞, kipuvad iga liikme lugeja ja nimetaja lõpmatuseni ning jagatispiiri teoreemi ei saa otseselt rakendada. Seetõttu muundame esmalt x n, jagades esimese liikme lugeja ja nimetaja arvuga n 2, ja teine sisse n. Seejärel, rakendades jagatise piiri ja summateoreemi piirmäära, leiame:
Näide 3.3. 
. Leia .
Siin kasutasime astmeteoreemi piiri: astme piir on võrdne aluse piiri astmega.
Näide 3.4. Leia ( 
).
Lahendus. Erinevusteoreemi on võimatu rakendada, kuna meil on kuju ∞-∞ määramatus. Teisendame üldtermini valemi:
Näide 3.5. Funktsioon f(x)=2 1/x on antud. Tõesta, et piire pole.
Kasutades arvujada piiri definitsiooni, tõesta, et jada x n =(n-1)/n piirväärtus on võrdne 1-ga. Kasutame funktsiooni piiri definitsiooni 1 jada kaudu. Võtame jada ( x n ), mis koondub 0-le, st. Näitame, et väärtus f(x n)= käitub erinevate jadade puhul erinevalt. Olgu x n = 1/n. Ilmselgelt siis piir 
Valime nüüd kui x n jada ühise liikmega x n = -1/n, mis kaldub samuti nulli. 
Seetõttu pole piirangut.
Näide 3.6. Tõesta, et piire pole.
Kasutades arvujada piiri definitsiooni, tõesta, et jada x n =(n-1)/n piirväärtus on võrdne 1-ga. Olgu x 1 , x 2 ,..., x n ,... jada, mille jaoks
. Kuidas jada (f(x n)) = (sin x n) käitub erinevate x n → ∞ korral
Kui x n = p n, siis sin x n = sin (lk n) = 0 kõigi jaoks n ja limiit Kui
x n =2 p n+ p /2, siis sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 kõigi jaoks n ja seega ka piir. Nii et seda pole olemas.
Antakse jada lõpliku piiri definitsioon. Arutatakse seotud omadusi ja samaväärset määratlust. Antakse definitsioon, et punkt a ei ole jada piir. Vaadeldakse näiteid, kus piiri olemasolu on definitsiooni abil tõestatud.
SisuVaata ka: Jada piirang – põhiteoreemid ja omadused
Peamised ebavõrdsuse liigid ja nende omadused
Siin vaatleme jada lõpliku piiri määratlust. Lõpmatusse koonduva jada juhtumist on juttu leheküljel “Lõpmatult suure jada definitsioon”.
Jada piiriks on arv a kui iga positiivse arvu ε korral > 0 eksisteerib naturaalarv N ε, mis sõltub ε-st nii, et kõigi naturaalarvude n > N ε korral on ebavõrdsus| x n - a|< ε .
Siin on x n jada element numbriga n. Järjestuse piirang tähistatakse järgmiselt:
.
Või kell .
Teisendame ebavõrdsust:
;
;
.
kuni a.
Lahknev jada on jada, millel pole piire.
Definitsioonist järeldub, et kui jadal on piir a, siis olenemata sellest, millise punkti a ε naabruse me valime, võib väljaspool selle piire olla ainult piiratud arv jada elemente või üldse mitte (tühi komplekt). Ja iga ε-naabruskond sisaldab lõpmatu arvu elemente. Tegelikult, olles andnud teatud arvu ε, on meil seega arv .
(1)
.
Seega kõik arvudega jada elemendid asuvad definitsiooni järgi punkti a ε naabruses.
Esimesed elemendid võivad asuda kõikjal. See tähendab, et väljaspool ε-naabrust ei saa olla rohkem kui elemente - see tähendab lõplik arv.
Samuti märgime, et erinevus ei pea monotoonselt nulli minema, st kogu aeg vähenema. See võib mitte-monotoonselt nullida: see võib kas suureneda või väheneda, omades lokaalseid maksimume. Kuid need maksimumid peaksid n suurenedes kalduma nulli (võimalik, et ka mitte monotoonselt). Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab piiri määratluse kirjutada järgmiselt: Selle kindlaksmääramine, et a ei ole piir Vaatleme nüüd vastupidist väidet, et arv a ei ole jada piir. Number a
.
ei ole järjestuse piir
(2)
.
, kui on olemas selline, et mis tahes naturaalarvu n korral on selline naturaalne m > n, Mida
Kirjutame selle väite loogilisi sümboleid kasutades..
Väide, et arv a ei ole jada piir
(3)
, tähendab seda 1
saab valida sellise ε - punkti a naabruskonna, millest väljaspool on lõpmatu arv jada elemente (-1, +1)
. > 2
Kõik elemendid, välja arvatud esimene paarisarvuga n, kuuluvad sellesse intervalli. Kuid kõik paaritu n-ga elemendid jäävad sellest intervallist välja, kuna need rahuldavad ebavõrdsust x n
.
.
Kuna paaritute elementide arv on lõpmatu, on väljaspool valitud ümbrust lõpmatu arv elemente. Seetõttu ei ole punkt järjestuse piir.
Nüüd näitame seda, järgides täpselt väidet (2). Punkt ei ole jada (3) piir, kuna on olemas selline, et iga loomuliku n korral on paaritu, mille puhul ebavõrdsus kehtib
Samuti saab näidata, et ükski punkt a ei saa olla selle jada piiriks. Alati saame valida ε – punkti a naabruskonna, mis ei sisalda ei punkti 0 ega punkti 2. Ja siis väljaspool valitud naabruskonda on lõpmatu arv jada elemente. Samaväärne järjestuse piiri määratlus Samaväärse definitsiooni jada piirile saame anda, kui laiendame mõistet ε - naabrus. Samaväärse definitsiooni saame siis, kui ε-naabruskonna asemel sisaldab see punkti a mis tahes naabrust. 1 Punkti naabrus on mis tahes avatud intervall, mis sisaldab seda punkti. Matemaatiliselt 2 punkti naabruses
on defineeritud järgmiselt: , kus ε
ja ε
- suvalised positiivsed arvud.
Siis on piirmäära samaväärne definitsioon järgmine.
.
Jada piiriks on arv a, kui selle mis tahes naabruskonnas on naturaalarv N, nii et kõik arvudega jada elemendid kuuluvad sellesse naabrusesse.
Seda määratlust võib esitada ka laiendatud kujul.
Jada piiriks on arv a kui mis tahes positiivsete arvude korral ja on olemas naturaalarv N, mis sõltub sellest ja selline, et võrratused kehtivad kõigi naturaalarvude puhul
(4)
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
Tõestame, et kaks ülaltoodud jada piiri definitsiooni on samaväärsed. 1
Olgu arv a jada piiriks esimese definitsiooni järgi. See tähendab, et on olemas funktsioon, nii et iga positiivse arvu ε korral on täidetud järgmised ebavõrdsused: 2
aadressil .
(5)
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
Näitame, et arv a on teise definitsiooni järgi jada piir. See tähendab, et peame näitama, et on olemas selline funktsioon, et mis tahes positiivsete arvude korral ε 1
Olgu arv a jada piiriks esimese definitsiooni järgi. See tähendab, et on olemas funktsioon, nii et iga positiivse arvu ε korral on täidetud järgmised ebavõrdsused: 2
.
.
Ja olgu ε neist väikseim: .
Siis ; ; 1
Olgu arv a jada piiriks esimese definitsiooni järgi. See tähendab, et on olemas funktsioon, nii et iga positiivse arvu ε korral on täidetud järgmised ebavõrdsused: 2
.
.
Kasutame seda punktis (5): 1
Olgu arv a jada piiriks esimese definitsiooni järgi. See tähendab, et on olemas funktsioon, nii et iga positiivse arvu ε korral on täidetud järgmised ebavõrdsused: 2
aadressil .
(5)
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
Kuid ebavõrdsus on rahuldatud.
.
Siis on ebavõrdsused (5) täidetud ka .
See tähendab, et oleme leidnud funktsiooni, mille võrratused (5) on täidetud mis tahes positiivsete arvude ε korral
Esimene osa on tõestatud.
Nüüd olgu arv a jada piiriks vastavalt teisele definitsioonile. See tähendab, et on olemas selline funktsioon, et mis tahes positiivsete arvude korral ε
Näitame, et arv a on esimese definitsiooni järgi jada piir. Selleks peate panema .
(1)
.
Siis, kui kehtivad järgmised ebavõrdsused:
.
.
See vastab esimesele määratlusele .
.
.
Määratluste samaväärsus on tõestatud.
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
Näited
.
Näide 1
Tõesta seda.
.
Meie puhul;
(1)
.
Kasutame võrratuste omadusi. Siis kui ja , siis
.
Siis
.
See vastab esimesele määratlusele .
.
See tähendab, et arv on antud jada piir:
.
Määratluste samaväärsus on tõestatud.
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
.
Näide 2
.
Kasutades jada piiri definitsiooni, tõesta see
Kirjutame üles jada piiri definitsiooni:
.
Meie puhul; = 1, 2, 3, ...
Sisestage positiivsed arvud ja:
.
Meie puhul;
(1)
.
See tähendab, et iga positiivse puhul võime võtta mis tahes naturaalarvu, mis on suurem või võrdne:
.
Näide 3
.
See tähendab, et arv on antud jada piir:
.
Tutvustame tähistust ,.
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
Teisendame erinevust:
.
Looduslikule n
meil on:
.
Meie puhul;
(1)
.
Kasutame võrratuste omadusi. Siis kui ja , siis
.
Siis
.
Näide 3
.
See tähendab, et arv on antud jada piir:
.
Määratluste samaväärsus on tõestatud.
Definitsioonide samaväärsuse tõendamine
Teisendame erinevust:
.
Sisestage positiivsed arvud ja:
Siis kui ja , siis Samal ajal See tähendab, et arv on jada piir:
Näide 4
Kasutatud kirjandus:
L.D. Kudrjavtsev. Noh
matemaatiline analüüs
. 1. köide. Moskva, 2003. CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.
Vaata ka:
Olgu funktsioon y = ƒ (x) defineeritud punkti x o mõnes naabruses, välja arvatud ehk punkt x o ise.
Sõnastame kaks samaväärset funktsiooni piiri definitsiooni punktis.
Arvu A nimetatakse funktsiooni piiriks punktis x o (või punktis x→x o), kui iga positiivse ε korral on positiivne arv δ, nii et kõigi x¹ x o korral, mis rahuldab võrratuse |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Funktsiooni piiri geomeetriline tähendus:
kui punkti A mis tahes ε-naabruses on punkti xo δ-naabrus, nii et kõigi selle δ-naabruse x¹ xo jaoks asuvad funktsiooni ƒ(x) vastavad väärtused punkti A ε-naabruses Teisisõnu, funktsiooni y = ƒ(x) graafiku punktid asuvad 2ε laiuse riba sees, mida piiravad sirged y=A+ ε, y=A-ε (vt joonis 110). Ilmselt sõltub δ väärtus ε valikust, seega kirjutame δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Tõesta seda
Lahendus: võtke suvaline ε>0, leidke δ=δ(ε)>0 nii, et kõigi x-de korral, mis rahuldavad võrratuse |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Võttes δ=ε/2, näeme, et kõigi x puhul, mis rahuldavad ebavõrdsust |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Ühepoolsed piirid
Funktsiooni piiri määratlemisel arvestatakse, et x kaldub igal viisil väärtusele x 0: jäädes väiksemaks kui x 0 (vasakul x 0-st), suurem kui x o (paremal x o-st) või võnkuma ümber punkt x 0.
On juhtumeid, kus argumendi x lähendamise meetod x o-le mõjutab oluliselt funktsioonipiirangu väärtust. Seetõttu võetakse kasutusele ühepoolsete piiride mõisted.
Arvu A 1 nimetatakse funktsiooni y=ƒ(x) piiriks vasakul punktis x o, kui mis tahes arvu ε>0 korral on arv δ=δ(ε)> 0, nii et punktis x є (x 0 -δ;x o), võrratus |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 või lühidalt: ƒ(x o- 0) = A 1 (Dirichlet' tähistus) (vt joonis 111).
Parempoolse funktsiooni piirang määratakse samamoodi, kasutades sümboleid:
Lühidalt, parempoolne piir on tähistatud ƒ(x o +0)=A.
Funktsiooni vasakut ja paremat piiri nimetatakse ühepoolseteks piirideks. Ilmselgelt, kui on olemas, siis eksisteerivad mõlemad ühepoolsed piirid ja A = A 1 = A 2.
Tõsi on ka vastupidine: kui mõlemad piirid ƒ(x 0 -0) ja ƒ(x 0 +0) on olemas ja need on võrdsed, siis on piir ja A = ƒ(x 0 -0).
Kui A 1 ¹ A 2, siis seda kabelit ei eksisteeri.
16.3. Funktsiooni piirväärtus x ® ∞
Olgu funktsioon y=ƒ(x) defineeritud intervallis (-∞;∞). Kutsutakse numbrit A funktsiooni piirƒ(x) juures x → ∞ , kui iga positiivse arvu ε korral on selline arv M=M()>0, et kõigi x-ide korral, mis rahuldavad võrratust |x|>M, on võrratus |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Selle definitsiooni geomeetriline tähendus on järgmine: kui " ε>0 $ M>0, siis x є(-∞; -M) või x є(M; +∞) korral vastavad funktsiooni ƒ( x) langevad punkti A ε naabrusesse, see tähendab, et graafiku punktid asuvad 2ε laiusel ribal, mida piiravad sirged y=A+ε ja y=A-ε (vt joonis 112) .
16.4. Lõpmatult suur funktsioon (b.b.f.)
Funktsiooni y=ƒ(x) nimetatakse lõpmata suureks x→x 0 korral, kui suvalise arvu M>0 korral on arv δ=δ(M)>0, mis kõigi x-de korral, mis rahuldavad ebavõrdsust 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.
Näiteks funktsioon y=1/(x-2) on b.b.f. x->2 jaoks.
Kui ƒ(x) kaldub lõpmatusse kui x→x o ja võtab ainult positiivseid väärtusi, siis nad kirjutavad
kui ainult negatiivsed väärtused, siis
Funktsioon y=ƒ(x), mis on defineeritud tervel arvureal, nimetatakse lõpmatult suureks kui x→∞, kui mis tahes arvu M>0 korral on arv N=N(M)>0, nii et kõigi x-ide korral, mis rahuldavad võrratust |x|>N, kehtib võrratus |ƒ(x)|>M. Lühike:
Näiteks y=2x on b.b.f. nagu x→∞.
Pange tähele, et kui lõpmatusse kalduv argument x võtab ainult loomulikud väärtused, st xєN, siis vastav b.b.f. muutub lõpmatult suureks jadaks. Näiteks jada v n =n 2 +1, n є N on lõpmatult suur jada. Ilmselgelt iga b.b.f. punkti x o naabruses on selles naabruses piiramatu. Vastupidine pole tõsi: piiramata funktsioon ei pruugi olla b.b.f. (Näiteks y=xsinx.)
Kui aga limƒ(x)=A x→x 0, kus A on lõplik arv, siis funktsioon ƒ(x) on punkti x o läheduses piiratud.
Tõepoolest, funktsiooni piiri definitsioonist järeldub, et kui x→ x 0 on tingimus |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Laadimine...