Moebiuse riba on hämmastav avastus. Möbiuse funktsioon

Lemma.

Tõestus. Väide on ilmne. Laskma ja olema arvu kanooniline laiend . Siis, võttes arvesse, et jagajad on kujul , kus , ,…, ; , saame

sest

Teoreem. (Additiivne Möbiuse inversioonivalem.) Olgu ja on loomuliku argumendi funktsioonid. Siis kui

Tõestus. Meil on

Laske . Seejärel jookseb fikseeritud läbi kõik arvu jagajate väärtused. See tähendab, et viimases topeltsummas olevaid liitmismärke saab ümber pöörata, s.t.

Nüüd, arvestades seda

saame

Tõestatud teoreemil on veel üks vorm:

Teoreem. (Korrutav Möbiuse inversioonivalem.) Lase

kus sümbol tähistab korrutist, mis on laiendatud arvu kõikidele jagajatele.

Tõestus:

Näited Möbiuse inversioonivalemi kasutamisest:

Probleem helinajadade arvuga. Vaata: Hall M. Kombinatoorika. M.: Mir, , § .

Teatud astmega taandamatute polünoomide arv elementide lõplikul väljal. Vaata: Berlekamp E. Algebraline kodeerimise teooria. − M.: Mir, 1970, Ch. 3.

Gluhhov M. M., Elizarov V. P., Netšajev A. A. Algebra. Aastal t M.: Helios,. T. , § .

Iseõppimiseks:

Möbiuse inversioon osaliselt tellitud komplektidel. Kaasamise-välistamise põhimõte erijuhtum Möbiuse inversioonivalemid. Vaata: Hall M. Kombinatoorika. M.: Mir, , § ; Bender E., Goldman J. Möbiuse inversiooni rakendustest kombinatoorses analüüsis. Raamatus: Kombinatoorse analüüsi loendavad probleemid. M.: Mir, 1971. S. - .

Numbrikombinatsioonide võrdlused

Olgu algarv.

Lemma.

Tõestus. Kui lugeja valemis

Tagajärg.

Tõestus.

Lemma. Olgu , , , mittenegatiivsed täisarvud ja olgu , . Siis

Tõestus. Meil on

Teisel pool,

Võrreldes koefitsiente samadel kraadidel, saame vajaliku tulemuse. ∎

− mittenegatiivsete täisarvude ja radiksi esitused. (Siin on iga täisarv, mille puhul , ). Mittenegatiivsete täisarvude hulgal defineerime osalise järjestuse seose (relatsioon eelisjärjekorras), eeldades , siis ja ainult siis

Lucase teoreem ( ).

Tõestus. Eelmise lemma järgi

Kus,. Rakendades lemmat korduvalt sobiva arvu kordi, saame vajaliku tulemuse. ∎

Kommenteeri. Teoreem ei kehti algarvude puhul. Näiteks (vt Berlekamp, lk),

Tagajärg.

II . Algebralised struktuurid

II. 1. Komplektid kahendtehtetega. Gruppoidid, poolrühmad, monoidid

Kahendalgebraline tehe(või koosseisu seadus) mittetühjal komplektil S nimetatakse kaardistamiseks : , sobitades elementide paari unikaalselt määratletud elemendiga. Komplektis saab määrata palju toiminguid. (Kui näiteks muidugi, siis mooduste arv on võrdne , kus on elementide arv.) Kui soovid näiteks üht neist esile tõsta, kirjuta , . Sellist objekti nimetatakse kahendalgebra, või grupoid. Tihti kirjutavad nad asemele , ja operatsiooni ennast tähistatakse mõne sümboliga ( , , jne).

Kommenteeri. Koos kahendtehtetega arvestatakse ka üldisemaid -aartehteid (unary at , ternary at , jne). Nendega seotud algebralised struktuurid (süsteemid) moodustavad uurimisobjekti nn. universaalsed algebrad.

Kutsutakse binaartehte hulgaga assotsiatiivne, Kui

, mis tahes , , .

Nimetatakse assotsiatiivse tehtega grupoidi poolrühm.

Näide mitteassotsiatiivsest grupoidist. Komplektis määratleme operatsiooni kui . Tehe on mitteassotsiatiivne: , kuid .

Teoreem. Kui kahendtehte hulgaga on assotsiatiivne, siis avaldise väärtus ei sõltu sulgude paigutusest selles.

Tõestus., või abil on väide ilmne. Sest piisab, kui näidata, kasutades induktsiooni, et

mis tahes , . Induktsioonihüpoteesi järgi on sulgude paigutamine sisse

Ei ole oluline; eelkõige,.

Kui, siis.

Kui, siis

Ka tõestatava võrdsuse (1) parem pool taandatakse samale kujule. ∎

Elementi nimetatakse neutraalne operatsiooni kohta, kui

kellelegi.

Nimetatakse elemendiga poolrühma monoidne(või identiteediga poolrühm) ja tähistab , , .

Poolrühmal (groupoidil) võib olla maksimaalselt üks neutraalne element: kui

, on siis neutraalsed elemendid

Gruppoidi (poolrühma) nimetatakse alamrühm (alampoolrühm) grupoid (poolrühm), , kui

Ja mis tahes , .

Sel juhul öeldakse, et alamhulk töökorras suletud. Monoidi nimetatakse submonoid monoid , , , kui ja .

Nimetatakse monoidi elementi pööratav, kui on olemas selline element, et (ilmselgelt pöörame selle tagasi). Kui elemendil on sama omadus, s.t. , siis võrdsustest järeldub, et element on tegelikult unikaalne ( suhtes ). See võimaldab meil rääkida vastupidine element , (pööratavaks) elemendiks , omadustega: , .

Kui , on monoidi , , pööratavad elemendid, siis on ka nende korrutis inverteeritav element, kuna , . Ilmselgelt on see ümberpööratav element. Seetõttu on olemas

Teoreem. Monoidi , , kõigi inverteeritavate elementide hulk on tehte ∗ all suletud ja moodustab alammonoidi , , .

Rühmad

Rühma määratlus. Nimetatakse monoidi , , , mille kõik elemendid on pööratavad rühm.

Teisisõnu on rühm binaartehtega hulk, mille jaoks kehtivad järgmised aksioomid:

. (Suletud tegevus.) , .

. (Operatsiooni assotsiatiivsus.) ,

. (Neutraalse elemendi olemasolu.) ∃ .

. (Pöördelemendi olemasolu.) .

Kommenteeri. Tulles tagasi ülaltoodud algebraliste struktuuride juurde, jälgime nende vahel järgmist hierarhiat: paar , on grupoid, kui aksioom on täidetud; poolrühm, kui aksioomid ja ; monoidne, kui aksioomid ja ; rühm, kui aksioomid , , ja .

Ilmsete omadustega elementide astmed määratakse loomulikul viisil:

(üks kord),

; , ( , , .

Üldiselt on võimatu avaldises elemente ümber paigutada (st. ). Kui , siis nimetatakse elemente muutlik, või pendelränne. Kui rühma suvalised kaks elementi liiguvad edasi, kutsutakse rühma kommutatiivne, või Abeli(Norra matemaatiku Riehl Henrik Abeli ( - ) auks).

Tehet rühmas tähistatakse enamasti kas sümboliga (liitmine) või sümboliga (korrutamine). Sel juhul kutsutakse rühma vastavalt lisand või korduv, on selle neutraalne element vastavalt null() või üksus(). Lisandrühmas nimetatakse elementi, elemendi pöördväärtust vastupidine ja on määratud , kuid selle asemel kirjutatakse . Korrutavas rühmas kirjutavad nad tavaliselt selle asemel, jättes välja tehte sümboli.

Lisandite rühmade näited. 1) , , , , , , , – rõnga ja väljade liitrühmad , , . Nad lihtsalt kirjutavad , , , . 2) Iga rõngas liitmise teel on Abeli rühm. Täpsemalt on polünoomide ring ,…, ] ja maatriksite rõngas väljal on Abeli rühmad. 3) Iga vektorruum, mis paikneb väljal liitmise suhtes, on Abeli rühm. 4) , 1,…, – kõige vähem mittenegatiivsete jääkide terviklik süsteem modulo koos operatsiooniga add modulo .

Näited multiplikatiivsetest rühmadest. 1) , , on väljade , , korduvad rühmad. 2) on mis tahes ringi ümberpööratavate elementide hulk, mille korrutamisel on ühtsus. Eelkõige = ; , on ümberpööratavate maatriksite kogum alates . 3) − kõik (päris- ja komplekssed) juured

, , 1,…, , − kujuteldav ühik,

võrrand on korduv Abeli rühm. 4) - korrapärase -goni pöörlemiste hulk tasapinnas ja ruumis - mittekommutatiivne rühm (for ).

Lisaks kasutatakse sagedamini operatsiooni salvestamise multiplikatiivset vormi. Tavaliselt tähistatakse rühma ühe tähega ilma toimingut täpsustamata. Rühma kõigi elementide hulka nimetatakse rühma põhikomplekt ja seda tähistatakse sama tähega. Kui baashulk on lõplik, kutsutakse rühma ülim; muidu nimetatakse seda lõputu. Lõpliku rühma arvelementi nimetatakse selle järjekorras. Nimetatakse 1. järku rühma vallaline või t riviaal. Väidetavalt on lõpmatul rühmal lõpmatu kord. Rühma järjestuse (põhikomplekti kardinaalsuse) märkimiseks kasutatakse võrdseid sümboleid Card (kardinaalnumber) ja ().

Kui , on rühma alamhulgad (põhihulgast), siis paneme

, , .

Alarühm rühm on alamhulk, milles on ise rühm sama operatsiooni suhtes nagu . Teisisõnu, alamhulk on alamrühm siis ja ainult siis, kui ( one in ) ning on korrutamise ja vastastikuse arvu all suletud, st. , (tegelikult on siin isegi võrdsusi). Kui on alarühm , siis kirjuta ; kui samal ajal, siis kutsutakse oma alarühm ja see on tähistatud kui .

Peaaegu kõik teavad, kuidas välja näeb lõpmatuse sümbol, mis meenutab ümberpööratud kaheksat. Seda märki nimetatakse ka "lemniscate", mis tähendab vanakreeka keelest linti. Kujutage ette, et lõpmatuse sümbol on väga sarnane päriselus oleva matemaatilise figuuriga. Tutvuge Mobiuse Stripiga!

Mis on Mobiuse riba?

Mobiuse riba(või seda nimetatakse ka Mobiuse silmuseks, Mobiuse ribaks või isegi Mobiuse rõngaks) on matemaatika üks kuulsamaid pindu. Möbiuse silmus on ühe pinna ja ühe servaga silmus.

Et mõista, millest me räägime ja kuidas see võib olla, võta paberitükk, lõigake välja ristkülikukujuline riba ja keerake selle otste ühendamise hetkel ühte neist 180 kraadi ja seejärel ühendage. Allolev pilt aitab teil aru saada, kuidas Mobiuse riba teha.

Mis on Mobiuse riba juures nii tähelepanuväärset?

Mobiuse riba- näide mitteorienteeruvast ühepoolsest pinnast ühe servaga tavalises kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis. Enamik objekte on orienteeritavad ja neil on kaks külge, näiteks paberitükk.

Kuidas saab siis Möbiuse riba olla mitteorienteeruv, ühepoolne pind - ütlete, sest paberil, millest see on tehtud, on kaks poolt. Ja proovite võtta markerit ja täita lindi üks külg värviga, lõpuks tabate algasendit ja kogu teip värvitakse täielikult üle, mis kinnitab, et sellel on ainult üks külg.

Uskumaks, et Mobiuse aasal on ainult üks serv, tõmmake näpuga katkematult mööda ühte lindi servadest ja te, nagu ka värvimise puhul, tabate punkti, kust liikuma hakkasite. Hämmastav, kas pole?

Ta uurib Möbiuse riba ja palju muid huvitavaid objekte - topoloogia, matemaatika haru, mis uurib objekti muutumatuid omadusi selle pideval deformatsioonil – venitamisel, kokkusurumisel, painutamisel, ilma selle terviklikkust rikkumata.

August Moebiuse avastus

Selle ebatavalise lindi "isaks" tunnistatakse saksa matemaatikut. August Ferdinand Mobius, Gaussi õpilane, kes kirjutas rohkem kui ühe geomeetriatöö, kuid sai kuulsaks peamiselt ühepoolse pinna avastamisega 1858. aastal.

Üllatav on asjaolu, et ühe pinnaga lindi avastas samal 1858. aastal teine Gaussi õpilane – andekas matemaatik. Johanni nimekiri, kes lõi termini "topoloogia" ja kirjutas selle matemaatika haru kohta põhjapanevaid töid. Ebatavaline film sai oma nime siiski Moebiuse perekonnanime järgi.

Levinud on arvamus, et “lõputu aasa” mudeli prototüübiks oli professor August Mobiuse neiu poolt valesti õmmeldud lint.

Tegelikult, lint avati tükk aega tagasi sisse iidne maailm. Üheks kinnituseks on Prantsusmaal Arles'i linna muuseumis asuv sama keerutatud lindiga Vana-Rooma mosaiik. Sellel on kujutatud Orpheust harfi häältega loomi lummas. Taustal on korduvalt kujutatud keerutatud paelaga ornament.

Mobiuse riba "maagia".

Hoolimata Mobiuse riba kahe külje näilisest olemasolust, on tegelikult ainult üks külg ja riba pole võimalik kahes värvitoonis värvida.
Kui tõmbate pliiatsi või pliiatsiga joone kogu silmuse pikkuses, ilma kätt lehelt tõstmata, peatub pliiats lõpuks kohas, kust alustasite joont tõmbama;
Lindi lõikamisel saadakse märkimisväärseid kogemusi, mis võivad üllatada nii täiskasvanut kui ka last eelkõige.

Kõigepealt liimime Mobiuse riba kokku, nagu varem kirjeldatud. Seejärel lõikasime selle kogu pikkuses täpselt keskelt, nagu allpool näidatud:

Sa oled tulemusest üsna üllatunud, sest vastupidiselt ootustele ei jää sinu kätte mitte kaks teibitükki või isegi kaks eraldi ringi, vaid hoopis teine, veelgi pikem teip. See ei ole enam 180 kraadi võrra keeratud Mobiuse riba, vaid 360 kraadi pööratud riba.

Nüüd teeme veel ühe katse - teeme veel ühe Moebiuse silmuse, mille järel mõõdame 1/3 lindi laiusest ja lõikame mööda seda joont. Tulemus hämmastab teid veelgi – teie kätte jäävad kaks eraldiseisvat erineva suurusega paela, mis on omavahel justkui ketti ühendatud: üks väike lint ja teine pikem.

Väiksemal Möbiuse ribal on 1/3 riba algsest laiusest, pikkus L ja pöördenurk 180 kraadi. Teise pikema lindi laius on samuti 1/3 esialgsest, kuid pikkus 2L ja pöördenurk 360 kraadi.

Võid katset jätkata, lõigates saadud paelad veelgi kitsamateks, näed tulemust ise.

Miks me vajame Mobiuse silmust? Rakendus

Möbiuse riba pole sugugi abstraktne kujund, vajalik vaid matemaatilistel eesmärkidel, see on leidnud rakendust ka päriselus. igapäevaelu. Selle vöö põhimõttel toimib lennujaamas olev lint kohvrite pagasiruumist teisaldamiseks. Selline disain võimaldab ühtlase kulumise tõttu kauem vastu pidada. August Mobiuse avastust kasutatakse laialdaselt tööpinkide tööstuses. Disaini kasutatakse pikemate salvestusaegade jaoks filmile, samuti printerites, mis kasutavad printimiseks teipi.

Tänu oma selgusele võimaldab Mobiuse silmus kaasaegsetel teadlastel teha üha uusi avastusi. Alates silmuse hämmastavate omaduste avastamisest on kogu maailmas levinud uute patenteeritud leiutiste laine. Näiteks Moebiuse meetodil keritud ferromagnetlindist valmistatud magnetsüdamike omaduste märkimisväärne paranemine.

N. Tesla sai patendi mitmefaasilisele vahelduvvoolusüsteemile, kasutades generaatoripoolide mähist nagu Mobiuse silmust.

Ameerika teadlane Richard Davis konstrueeris mittereaktiivse Moebiuse takisti, mis on võimeline kustutama reaktiivse (mahtuvusliku ja induktiivse) takistuse ilma elektromagnetilisi häireid tekitamata.

Mobiuse riba - lai väli Inspiratsiooni jaoks

Raske on hinnata Mobiuse silmuse avastamise tähtsust, mis ei inspireerinud mitte ainult suurt hulka teadlasi, vaid ka kirjanikke ja kunstnikke.

Tuntuimaks Moebiuse ribale pühendatud teoseks peetakse hollandi graafiku Maurits Escheri maali Moebius Strip II, Red Ants ehk Punased sipelgad. Maalil on näha sipelgaid, kes ronivad mööda Mobiuse aasa mõlemalt poolt, tegelikult on ainult üks pool. Sipelgad roomavad lõputus aasas, üksteise järel, samal pinnal.

Kunstnik ammutas oma ideid matemaatikateemalistest artiklitest ja töödest. Seetõttu sisaldavad tema litograafiad ja gravüürid sageli mitmesuguseid geomeetrilisi kujundeid, fraktaleid ja vapustavaid optilisi illusioone.

Siiani on huvi Mobiuse loopi vastu väga kõrge. kõrgel tasemel, tutvustasid isegi sportlased samanimelist vigurlennukuju.

Ulmekirjaniku Armin Deitchi teose “The Mobius Strip” põhjal on tehtud rohkem kui üks film. Mobiuse aasa kujul luuakse tohutult erinevaid ehteid, kingi, skulptuure ja palju muid esemeid ja kujundeid.

Möbiuse riba jättis jälje tootmisele, disainile, kunstile, teadusele, kirjandusele ja arhitektuurile.

Paljude inimeste meel oli mures DNA molekuli ja Mobiuse ahela kuju sarnasuse pärast. Nõukogude tsütoloog Navašin püstitas hüpoteesi, et vorm rõnga kromosoom selle struktuur sarnaneb Möbiuse ribaga. Teadlase ajendas seda mõtet tegema asjaolu, et tsükli kromosoom paljunedes muutub pikemaks rõngaks kui päris alguses või kaheks väikeseks rõngaks, aga justkui üksteise sisse keermestatud ketis, mis meenutab väga eelkirjeldatud katsetusi Mobiuse ribaga.

2015. aastal sai keerutada rühm Euroopa ja USA teadlasi valgus Mobiuse rõngasse. Teaduslikes katsetes kasutasid teadlased optilisi läätsi ja struktureeritud valgust - fokuseeritud laserkiirt, mille intensiivsus ja polarisatsioon on igas liikumise punktis etteantud. Selle tulemusena saadi Möbiuse valgusribad.

On veel üks suurem teooria. Universum on tohutu Mobiuse silmus. Einstein järgis seda ideed. Ta tegi ettepaneku, et universum on suletud ja kosmoselaev, alustades kindlast punktist ja lennates kogu aeg otse, naaseb samasse ruumi ja aja punkti, kust liikumine algas.

Praegu on need vaid hüpoteesid, millel on nii pooldajaid kui ka vastaseid. Kes teab, millise avastuseni selline pealtnäha lihtne objekt nagu Mobiuse riba teadlasi viib.

μ( n) on defineeritud kõigi naturaalarvude jaoks n ja võtab väärtusi sõltuvalt arvu laienemise olemusest n lihtsatele teguritele:

μ( n) = 1 kui n vaba ruutudest (st ükski algarv ei jagu ruuduga) ja dekompositsioonist n paarisarv tegureid;
μ( n) = − 1, kui n vaba ruutudest ja lagunemisest n algteguriteks koosneb paaritu arvu teguritest;
μ( n) = 0, kui n ei ole ruutudest vaba.

Definitsiooni järgi eeldame ka μ(1) = 1.

Omadused ja rakendused

Möbiuse funktsioon on kordatav: mis tahes koalgarvude korral a Ja b võrdsus kehtib μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Möbiuse funktsiooni väärtuste summa täisarvu kõigi jagajate kohta n, Mitte võrdne ühega, võrdne nulliga

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Eelkõige siit järeldub, et iga mittetühja lõpliku hulga jaoks on erinevate alamhulkade arv, mis koosneb mitte paarisarv elemente võrdub paarisarvust elementidest koosnevate erinevate alamhulkade arvuga – tõestuses kasutatud fakt.

Möbiuse funktsioon on seose kaudu seotud Mertensi funktsiooniga

Mertensi funktsioon on omakorda tihedalt seotud Riemanni zeta funktsiooni nullpunktide probleemiga, vt artiklit Mertensi hüpotees.

Mobiuse inversioon

Esimene Möbiuse inversioonivalem

Aritmeetiliste funktsioonide jaoks f Ja g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d \| n

siis ja ainult siis

Teine Möbiuse inversioonivalem

Reaalse väärtusega funktsioonide jaoks f(x) Ja g(x) määratletud aadressil ,

siis ja ainult siis

Siin tõlgendatakse summat kui .

Wikimedia sihtasutus.

2010. aasta.

Vaadake, mis on "Mobiuse funktsioon" teistes sõnaraamatutes:

Möbiuse funktsioon μ(n) on arvuteoorias ja kombinatoorikas kasutatav korduv aritmeetiline funktsioon, mis sai nime saksa matemaatiku Möbiuse järgi, kes käsitles seda esmakordselt 1831. aastal. Sisu 1 Definitsioon 2 Omadused ja rakendused ... Wikipedia

Teisenduste tüüp komplekstasandil (hall) ja Riemanni sfääril (must) Sisu 1 Definitsioon 2 Algebralised omadused ... Wikipedia

Murdline lineaarfunktsioon on funktsioon kujul, kus z = (z1,...,zn) on kompleks- või reaalmuutujad, ai,b,ci,d on kompleks- või reaalkoefitsiendid. Sageli kasutatakse terminit "fraktsionaalne lineaarne funktsioon" selle teisenduse erijuhtumi kohta... ... Wikipedia

Möbiuse seeria on vormi funktsionaalne jada Seda seeriat uuris Möbius, kes leidis selle seeria jaoks inversioonivalemi: kus μ(s) on Möbiuse funktsioon ... Wikipedia - І. MEDITSIINIUURINGUTE MEETODIDÜldpõhimõtted meditsiinilised uuringud. Meie teadmiste kasv ja süvendamine, üha enam kliinikumi tehniline varustus, mis põhineb füüsika, keemia ja tehnoloogia uusimate saavutuste kasutamisel, sellega kaasnev meetodite keerukus... ...

Suur meditsiiniline entsüklopeedia Patoloogiline seisund, mis tekkis sünnituse ajal ja mida iseloomustab lapse kudede ja elundite kahjustus, millega kaasneb reeglina nende funktsioonide häire. R. arengut soodustavad tegurid nn on valed... ...

Meditsiiniline entsüklopeedia  (n Möbiuse funktsioon n), Kus

– naturaalarv, mille väärtused on järgmised:

Möbiuse funktsioon võimaldab kirjutada Euleri funktsiooni summana:

Summeerimine toimub kõigi n-i jagajate (ja mitte ainult algjagajate) üle. Näide. φ Arvutame

(100), kasutades Möbiuse funktsiooni.

(2) = (-1) 1 = -1 (kahel on üks algjagaja – 2)

(4) = 0 (4 jagatakse kahe ruuduga)

(5) = (-1) 1 = -1 (5-l on üks algjagaja – 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10-l on kaks algtegurit – 2 ja 5)

(20) = 0 (20 jagatud kahe ruuduga)

(25) = 0 (25 jagatud ruuduga viiega)

(50) = 0 (50 jagub nii 2 2 kui 5 5-ga)

(100) = 0 (100 jagub nii 2 2 kui ka 5 5-ga)

Seega

Möbiuse funktsiooni omadus:.

Näiteks n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Teoreem selle kohta, mitu võimalust valida k-elemendid, mille hulgas pole kahte kõrvuti asetsevat, n järjestatud elemendi hulgast. Tõestage, saades kordusvalemi.

17 Kordustega kombinatsioonide arv

Number r-kombinatsioonid kordustega alates n-komplektid on võrdsed

– tõestus kordusvalemi abil.

Meetod põhineb valemi saamisel, mis võimaldab teil teadaolevate algväärtuste ja eelmistes etappides arvutatud väärtuste põhjal järk-järgult arvutada soovitud koguse väärtused.

Kordumise valemr - järjekorras– vormi valem

a n = f(n, a n- 1 , a n- 2 , … , a n-r).

Valem väljendab at n>r jada iga liige ( a i) läbi eelmiste r liikmed. Korduva valemi konstrueerimine koosneb järgmistest sammudest.

1. Algtingimuste väljatöötamine mis tahes ilmselgete suhete põhjal.

Tähistagem poolt f(n,r). See on ilmne

2. Loogiline arutluskäik. Parandame komplektis mõne elemendi S. Siis mis tahes suhtes r- kombinatsioonid kordustega alates n-komplektid S saame öelda, kas see sisaldab antud fikseeritud elementi või mitte.

Kui sisaldab, siis ülejäänud ( r-1) elementi saab valida f(n,r-1) viisid.

Kui ei sisalda(seda elementi valikus ei ole), siis r- elementidest koosnev kombinatsioon ( n-1)-komplektid (komplekt S välja arvatud see fikseeritud element). Selliste kombinatsioonide arv f(n-1,r).

Sest need juhtumid on üksteist välistavad, siis vastavalt summareeglile

3. Mõne väärtuse valemi kontrollimine ja üldise mustri tuletamine.

1) Arvutame f (n ,0) . (2) järeldub

Siis f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Alates (1) f(n,1)=n, f(n-1,1)=n-1.

Seega f(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) f (n ,1) =f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n- 1 =n==.

3) f (n ,2) =f(n,1)+f(n-1,2) =n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 =.

(aritmeetilise progressiooni summa)

4) f (n ,3) =f(n,2)+f(n-1,3) =+f(n-1,2)+f(n-2,3) =++f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

(geomeetrilise progressiooni summa)

5) f (n ,4) =

Konkreetsete juhtumite põhjal võib eeldada, et

4. Algtingimuste kontrollimine saadud valemi abil.

mis on kooskõlas punktiga (1) #

19, 20) N tipuga kahendpuude arv on võrdne C(n), kus C(n) on n-s katalaani arv.

N tipuga kahendpuude arvu nimetatakse katalaani numbriks, millel on palju huvitavaid omadusi. N-nda katalaani arv arvutatakse valemi (2n) abil! / (n+1)!n!, mis kasvab eksponentsiaalselt. (Wikipedia pakub mitmeid tõendeid selle kohta, et see on katalaani arvu vorm.) Antud suurusega kahendpuude arv 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Asendamine

Mine: navigeerimine, otsida

See artikkel räägib asendamisest kui süntaktilisest operatsioonisttermid . Teid võib huvitadaümberkorraldamine .

IN matemaatika Ja arvutiteadus asendamine- see on operatsioon süntaktiline antud alamterminite asendamine terma muud tingimused, vastavalt teatud reeglitele. Tavaliselt räägime selle asemel termini asendamisest muutuv.

Definitsioonid ja tähistused

Asenduse kohta ei ole universaalset, kokkulepitud tähistust ega ka standardset määratlust. Asenduse mõiste ei erine mitte ainult rubriikide piires, vaid ka üksikute väljaannete tasandil. Üldiselt võime esile tõsta konteksti asendamine Ja asendus "selle asemel". Esimesel juhul on märgitud koht, kus asendamine toimub konteksti, st osa seda kohta "ümbritsevast" terminist. Eelkõige kasutatakse seda asendamise mõistet ümberkirjutamine. Teine võimalus on tavalisem. Sel juhul määrab asendus tavaliselt mingi funktsiooniga muutujate hulgast terminite hulka. Et näidata asendustoimingud, reeglina kasutada postfiksi märge. Näiteks tähendab termini asendustoimingu tulemust.

Enamikul juhtudel nõutakse, et asendusel oleks piiratud kandja, st et komplekt oli lõplik. Sel juhul saab seda täpsustada paarid lihtsalt loetledes "muutuv väärtus". Kuna iga sellist asendust saab taandada asenduste jadaks, mis asendab ainult ühte muutujat, võime üldistust kaotamata eeldada, et asendus on antud ühe paariga. "muutuv väärtus", mida tavaliselt tehakse.

Viimane asendusmääratlus on ilmselt kõige tüüpilisem ja sagedamini kasutatav. Kuid ka selle kohta pole ühtset üldtunnustatud tähistust. Kõige sagedamini kasutatakse asendamise tähistamiseks a asemel x V t kasutatakse salvestust t[a/x], t[x:=a] või t[x←a].

Muutuja asendus sisseλ-arvutus

λ-arvutuses määratakse asendus struktuurse induktsiooniga. Suvaliste objektide ja suvalise muutuja puhul arvutatakse suvalise vaba esinemise asendamise tulemus asendamine ja see määratakse konstruktsiooni induktsiooniga:

i) alus:: objekt sobib muutujale. Siis;

ii) alus:: objekt vastab konstandile. Siis suvaliste aatomite jaoks;

iii) samm: : objekt on mitteaatomiline ja sellel on rakenduse välimus. Siis;

iv) samm:: objekt on mitteaatomiline ja on abstraktsioon. Siis [;

(v) samm:: objekt on mitteaatomiline ja on pealegi abstraktsioon. Seejärel:

andor jaoks;

Muutujate asendamine programmeerimises

Asendamine muutuja ( inglise keel asendamine) V rakenduslik programmeerimine mõistetakse järgmiselt. Funktsiooni väärtuse arvutamiseks f argumendi kohta v kannet rakendatakse f(v)), Kus f määratud disaini järgi f(x) = e. Salvestus f(v) antud juhul tähendab seda väljendis e toimub asendamine või muutuja asendus x sisse v. Asendamine toimub vastavalt.

Asendamine muutuja ( inglise keel arvutuste semantika) V ülesanne programmeerimine mõistetakse kuiülesanne . Määramisoperaator on von Neumanni pudelikaela efekti ilming traditsiooniliste programmeerimiskeelte jaoks.

21 Vaba sellestrakenduslikud arvutussüsteemid

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf …………*)

Funktsioonide genereerimine. Genereerimisfunktsioon (lugeja) ja loendusfunktsioon kombinatsioonide jaoks ilma kordusteta. Funktsioonide genereerimine: 1) Z-teisendus 2) generaator 3) genereerimisfunktsioon 4) jada (a r ) genereerimise funktsioon (g r ) alusel - funktsioon f, kui see on laiendatud kindla aluse (g r ) funktsioonide seeriaks, see koefitsientide jada (a r ) moodustub

See sari on ametlik. Nimi formaalne tähendab, et me tõlgendame valemit *) kui meie jada jaoks mugavat tähistust - in

22 antud juhul

pole vahet, milliste (toimingute ja keerukate) väärtuste jaoks see läheneb. t roll taandub jada A0, A1,...Ar... koefitsientide eristamisele. Seetõttu ei arvutata funktsioonide genereerimise teoorias selle seeria väärtusi kunagi konkreetse jada väärtuse jaoks. muutuja t. Selliste jadatega tehakse ainult osa tehteid ja seejärel määratakse ainult mõned tehted sellistele seeriatele ning seejärel määratakse muutuja t üksikute astmete koefitsiendid.

Tavaliselt nagu

Genereerimisfunktsioon. Kordustega kombinatsioonide genereerimisfunktsioon (lugeja) ja loendamisfunktsioon.

Tootmisrajatis:

Ehituse reegel

1) Kui i tüüpi elementi saab K 1 või K 2 või... K i korda kaasata kombinatsioonidesse, siis on sellel vastav kordaja 3) Jääb üle leida koefitsient. juures esimest ja teist tüüpi. Need arvud on defineeritud koefitsientidena võrdsustes

ja neil on lihtne kombinatoorne tähendus – võrdne permutatsioonirühma elementide arvuga, mis on täpselt korrutised k disjunkt tsüklid ja võrdne partitsioonide arvuga n- element sisse lülitatud k mittetühjad alamhulgad. Ilmselgelt. Nimetatakse teist tüüpi Stirlingi arvude sarnast summat n- Kella number ja võrdne kõigi vaheseinte arvuga n-elementide komplekt. Kordumise valem kehtib Belli numbrite puhul.

Kombinatoorsete ülesannete lahendamisel on see sageli kasulik kaasamise-välistamise valem

mis võimaldab leida hulkade liidu kardinaalsust, kui on teada nende lõikepunktide kardinaalsus. Kasutame kaasamise-välistamise valemit, et saada selgesõnaline valem teist tüüpi Stirlingi numbrite jaoks.

Esimest tüüpi Stirlingi numbrid

Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast

Mine: navigeerimine, otsida

Esimest tüüpi Stirlingi numbrid(allkirjata) - kogus permutatsioonid tellida n Koos k tsüklid.

Definitsioon

Esimest tüüpi Stirlingi numbrid(märgiga) s(n, k) nimetatakse koefitsientideks polünoom:

Kus ( x) n - Pochhammeri sümbol (kahanev faktoriaal):

Nagu definitsioonist näha, on numbritel vahelduv märk. Nende absoluutväärtused määravad arvu permutatsioonid komplekt, mis koosneb n elemendid koos k tsüklid.

Korduv seos

Esitatakse esimest tüüpi Stirlingi numbrid korduv suhe:

s(n,n) = 1, kui n ≥ 0,

s(n,0) = 0, kui n > 0,

0 eest< k < n.

Tõestus.

Sest n=1 seda võrdsust kontrollitakse otse. Laske permutatsioonil ( n-1) järk laguneb k tsüklid. Number n saab lisada mis tahes numbri järele vastavas tsüklis. Kõik saadud permutatsioonid on erinevad ja sisaldavad k tsüklit, nende arv ( n-1)· s(n-1, k). Mis tahes permutatsioonist ( n-1) järjekord, mis sisaldab k-1 tsükkel, saab moodustada ühe permutatsiooni n tellimus, mis sisaldab k tsüklid, lisades ainsuse arvust moodustatud tsükli n. Ilmselgelt kirjeldab see konstruktsioon kõiki permutatsioone n-ndas järjekord, mis sisaldab k tsüklid. Seega on võrdsus tõestatud.

Näide

Esimesed read:

IN kombinatoorika Teist tüüpi Stirlingi number alates n poolt k, mida tähistab või, on järjestamata arv vaheseinad n- elementaarne komplektid sisse k mittetühjad alamhulgad.

Kordumise valem

Teist tüüpi Stirlingi numbrid rahuldavad korduv suhe:

Kui n ≥ 0,

n > 0 korral

Selge valem

Näide

Teist tüüpi Stirlingi numbrite algväärtused on toodud tabelis:

Omadused

Bijektiiv Kaardistamine on kaardistus, millel on samaaegselt injektiivne ja sürjektiivne omadus.