Sirge joon tasapinnal ja ruumis.
Geomeetriliste kujundite omaduste uurimist algebra abil nimetatakse analüütiline geomeetria , ja sel juhul kasutame nn koordinaatide meetod .
Tasapinnal olevat joont määratletakse tavaliselt punktide kogumina, millel on neile ainulaadsed omadused. Asjaolu, et sellel sirgel asuva punkti x ja y koordinaadid (arvud) kirjutatakse analüütiliselt mingi võrrandi kujul.
Def.1 Joone võrrand (kõvera võrrand) Oxy tasapinnal nimetatakse võrrandit (*), mis on rahuldatud antud sirge iga punkti x ja y koordinaatidega ja ei ole rahuldatud ühegi teise punkti koordinaatidega, mis sellel sirgel ei asu.
Definitsioonist 1 järeldub, et iga tasapinna sirge vastab mõnele võrrandile praeguste koordinaatide vahel ( x,y ) selle sirge punktid ja vastupidi, iga võrrand vastab üldiselt teatud sirgele.
Sellest tuleneb tasapinnal kaks peamist analüütilise geomeetria probleemi.
1. Sirge on antud punktide hulga kujul. Peame selle joone jaoks looma võrrandi.
2. Sirge võrrand on antud. On vaja uurida selle geomeetrilisi omadusi (kuju ja asukohta).
Näide. Kas punktid valetavad A(-2;1) Ja IN (1;1) real 2 X +juures +3=0?
Kahe võrrandiga antud sirge lõikepunktide leidmise probleem taandub koordinaatide leidmisele, mis rahuldavad mõlema sirge võrrandit, s.t. kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendamiseks.
Kui sellel süsteemil pole reaalseid lahendusi, siis sirged ei ristu.
Sarnasel viisil tutvustatakse liini mõistet UCS-is.
Tasapinnal olevat sirget saab määratleda kahe võrrandiga
Kus X Ja juures – suvalised punkti koordinaadid M(x;y), sellel joonel lamades ja t - muutuja nimega parameeter , määrab parameeter punkti asukoha tasapinnal.
Näiteks kui , siis parameetri väärtus t=2 vastab punktile (3;4) tasapinnal.
Kui parameeter muutub, liigub tasapinna punkt, kirjeldades see rida. Seda joone määratlemise meetodit nimetatakse parameetriline ja võrrand (5.1) on sirge parameetriline võrrand.
Parameetrilistelt võrranditelt üldvõrrandile (*) liikumiseks tuleb parameeter kahest võrrandist kuidagi elimineerida. Siiski märgime, et selline üleminek ei ole alati soovitatav ja mitte alati võimalik.
Tasapinnal oleva joone saab määrata vektori võrrand , kus t on skalaarmuutuja parameeter. Iga parameetri väärtus vastab kindlale tasapinnalisele vektorile. Parameetri muutmisel kirjeldab vektori lõpp teatud rida.
Vektorvõrrand DSC-s vastab kahele skalaarvõrrandile
(5.1), s.o. sirge vektorvõrrandi koordinaattelgede projektsioonide võrrand on selle
parameetriline võrrand.
Vektorvõrrand ja sirge parameetrilistel võrranditel on mehaaniline tähendus. Kui punkt liigub tasapinnal, nimetatakse näidatud võrrandeid liikumisvõrrandid , ja joon on punkti trajektoor, parameeter t on aeg.
Järeldus: iga tasapinna sirge vastab vormi võrrandile.
Üldjuhul vastab MIS TAHES VAATE VÕRRANDile teatud sirge, mille omadused on määratud antud võrrandiga (erandiks on see, et tasapinnal olevale võrrandile ei vasta ükski geomeetriline kujutis).
Olgu valitud tasapinnal koordinaatsüsteem.
Def. 5.1. Joone võrrand Seda tüüpi võrrandit nimetatakseF(x;y) =0, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega ja mitte ühegi sellel mitte asuva punkti koordinaatidega.
Vormi võrrandF(x;y )=0 – kutsutud üldvõrrand joon või võrrand kaudsel kujul.
Seega on joon Г seda võrrandit rahuldavate punktide asukoht Г=((x, y): F(x;y)=0).
Liini nimetatakse ka kõverad.
Kui on ette nähtud reegel, mille kohaselt on tasandi iga punktiga M (või mõne tasandi osaga) seotud teatud arv u, siis öeldakse, et tasapinnal (või tasandi osal) "punktifunktsioon on antud”; funktsiooni spetsifikatsioon on sümboolselt väljendatud võrdsusega kujul u=f(M). Punktiga M seotud arvu u nimetatakse selle funktsiooni väärtuseks punktis M. Näiteks kui A on tasapinna fikseeritud punkt, M on suvaline punkt, siis kaugus A-st M-ni on punkti M funktsioon. B antud juhul f(m) = AM.
Olgu antud mingi funktsioon u=f(M) ja samas tutvustatakse koordinaatsüsteemi. Seejärel määratakse suvaline punkt M koordinaatidega x, y. Vastavalt sellele määratakse selle funktsiooni väärtus punktis M koordinaatidega x, y või, nagu öeldakse, u=f(M) on kahe muutuja x ja y funktsioon. Kahe muutuja x ja y funktsiooni tähistatakse sümboliga f(x; y): kui f(M)=f(x;y), siis valemit u=f(x; y) nimetatakse selle väljenduseks. funktsioon valitud koordinaatsüsteemis. Niisiis, eelmises näites f(M)=AM; kui tutvustame Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis A, saame selle funktsiooni avaldise:
u=sqrt(x^2 + y^2)
ÜLESANNE 3688 Antud on funktsioon f (x, y)=x^2–y^2–16.
Antud funktsioon f (x, y)=x^2–y^2–16. Määrake selle funktsiooni avaldis uues koordinaatsüsteemis, kui koordinaatteljed on pööratud –45 kraadise nurga võrra.Parameetriliste joonte võrrandid
Tähistame teatud punkti M koordinaate tähtedega x ja y; Vaatleme argumendi t kahte funktsiooni:
x=φ(t), y=ψ(t) (1)
Kui t muutub, siis üldiselt muutuvad väärtused x ja y, seega liigub punkt M. Nimetatakse võrrandeid (1). parameetrilised joonvõrrandid, mis on punkti M trajektoor; argumenti t nimetatakse parameetriks. Kui parameetri t saab võrranditest (1) välja jätta, siis saame punkti M trajektoori võrrandi kujul
Tasapinna joon on sellel tasapinnal olevate punktide kogum, millel on teatud omadused, samas kui punktidel, mis ei asu antud sirgel, neid omadusi ei ole. Sirge võrrand määratleb analüütiliselt väljendatud seose sellel sirgel asuvate punktide koordinaatide vahel. Olgu see seos antud võrrandiga
F( x,y)=0. (2.1)
(2.1) rahuldav arvupaar ei ole meelevaldne: kui X antud siis juures ei saa olla midagi, tähendus juures seotud X. Muutmisel X muudatusi juures, ja punkt koordinaatidega ( x,y) kirjeldab seda rida. Kui punkti M koordinaadid 0 ( X 0 ,juures 0) rahuldada võrrand (2.1), s.o. F( X 0 ,juures 0)=0 on tõeline võrdsus, siis punkt M 0 asub sellel sirgel. Ka vastupidine on tõsi.
Definitsioon. Tasapinna sirge võrrand on võrrand, mis on rahuldatud sellel sirgel asuva mis tahes punkti koordinaatidega, mitte aga sellel sirgel mitte asuvate punktide koordinaatidega..
Kui teatud sirge võrrand on teada, võib selle sirge geomeetriliste omaduste uurimise taandada selle võrrandi uurimisele – see on analüütilise geomeetria üks peamisi ideid. Võrrandite uurimiseks on hästi välja töötatud meetodid matemaatiline analüüs, mis lihtsustavad joone omaduste uurimist.
Ridade kaalumisel kasutatakse seda terminit praegune punkt sirge – muutuja punkt M( x,y), liikudes mööda seda joont. Koordinaadid X Ja juures praegust punkti nimetatakse praegused koordinaadid joonepunktid.
Kui võrrandist (2.1) saame eksplitsiitselt väljendada juures
läbi X, ehk kirjutada võrrand (2.1) kujul , siis sellise võrrandiga defineeritud kõverat nimetatakse ajakava funktsioonid f(x).
1. Võrrand on antud: , või . Kui X võtab siis suvalised väärtused juures võtab väärtused võrdsed X. Järelikult koosneb selle võrrandiga defineeritud sirge punktidest, mis on koordinaattelgedest Ox ja Oy võrdsel kaugusel – see on I–III koordinaatnurkade poolitaja (sirge joonisel 2.1).
Võrrand või määrab II–IV koordinaatnurkade poolitaja (sirge joonisel 2.1).
0 x 0 x C 0 x
riis. 2.1 joon. 2.2 joon. 2.3
2. Võrrand on antud: , kus C on mingi konstant. Seda võrrandit saab kirjutada erinevalt: . Seda võrrandit rahuldavad need ja ainult need punktid, ordinaadid juures mis on mis tahes abstsissi väärtuse korral võrdsed C-ga X. Need punktid asuvad sirgel, mis on paralleelne Ox-teljega (joonis 2.2). Samamoodi määratleb võrrand sirge, teljega paralleelne Oy (joonis 2.3).
Mitte iga võrrand kujul F( x,y)=0 defineerib tasapinna sirge: võrrandit täidab üks punkt – O(0,0) ja võrrandit ei rahulda ükski tasandi punkt.
Toodud näidetes kasutasime antud võrrandit selle võrrandiga määratud sirge konstrueerimiseks. Vaatleme pöördülesannet: koostage selle võrrand antud sirge abil.
3. Loo võrrand ringi jaoks, mille keskpunkt on punktis P( a,b) Ja
raadius R .
○ Ringjoon, mille keskpunkt on punktis P ja raadius R, on punktide kogum, mis asuvad punktist P kaugusel R. See tähendab, et mis tahes ringil asuva punkti M korral on MP = R, kuid kui punkt M ei asu sellel ring, siis MP ≠ R.. ●
Võrrandit kujul F(x, y) = 0 nimetatakse võrrandiks kahe muutujaga x, y, kui see ei ole tõene kõikide arvude x, y paaride puhul. Nad ütlevad, et kaks arvu x = x 0, y = y 0 vastavad mõnele võrrandile kujul F(x, y) = 0, kui nende arvude asendamisel võrrandisse muutujate x ja y asemel muutub selle vasak pool nulliks. .
Antud sirge võrrand (määratud koordinaatsüsteemis) on kahe muutujaga võrrand, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega ja mitte kõigi sellel mitte asuvate punktide koordinaatidega.
Järgnevalt ütleme avaldise "arvestades sirge F(x, y) = 0 võrrandit" asemel sageli lühidalt: antud sirgele F(x, y) = 0.
Kui on antud kahe sirge võrrandid: F(x, y) = 0 ja Ф(x, y) = 0, siis süsteemi liitlahend
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
annab kõik nende ristumispunktid. Täpsemalt, iga arvupaar, mis on selle süsteemi ühislahendus, määrab ühe lõikepunktidest,
157. Antud punktid *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Määrake, millised antud punktidest asuvad võrrandiga x + y = 0 määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)
158. Leia võrrandiga x 2 + y 2 = 25 määratletud sirgelt punktid, mille abstsissid on võrdsed järgmiste arvudega: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; Leia samalt sirgelt punktid, mille ordinaadid on võrdsed järgmiste arvudega: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)
159. Määrake, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega (konstrueerige need joonisel): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + võrra + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3a 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Antud read: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Määrake, millised neist läbivad alguspunkti.
161. Antud read: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Leidke nende lõikepunktid: a) Ox-teljega; b) Oy teljega.
162. Leia kahe sirge lõikepunktid:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y = 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4 a + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8 a + 10 a + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. Polaarkoordinaatide süsteemis on punktid M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) ja M 5 (1; 2/3π). Määrake, millised neist punktidest asuvad polaarkoordinaatides võrrandiga p = 2cosΘ määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Millise sirge määrab see võrrand? (Joonista see joonisele.)
164. Võrrandiga p = 3/cosΘ defineeritud sirgelt leidke punktid, mille polaarnurgad on võrdsed järgmiste arvudega: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)
165. Leia võrrandiga p = 1/sinΘ määratletud sirgelt punktid, mille polaarraadiused on võrdsed järgmiste arvudega: a) 1 6) 2, c) √2. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)
166. Tee kindlaks, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (konstrueeri need joonisel): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Ehitage joonisele järgmised Archimedese spiraalid: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. Koostage joonisel järgmised hüperboolsed spiraalid: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) p= - π/Θ
169. Ehitage joonisel järgmised logaritmilised spiraalid: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.
170. Määrake nende lõikude pikkused, millesse Archimedese spiraal p = 3Θ on lõigatud poolusest väljuva ja polaartelje suhtes nurga Θ = π/6 all oleva kiirga. Tee joonistus.
171. Archimedese spiraalil p = 5/πΘ võetakse punkt C, mille polaarraadius on 47. Määrake, mitu osa see spiraal lõikab punkti C polaarraadiuse. Koostage joonis.
172. Leidke hüperboolsel spiraalil P = 6/Θ punkt P, mille polaarraadius on 12. Koostage joonis.
173. Leidke logaritmilisel spiraalil p = 3 Θ punkt P, mille polaarraadius on 81. Koostage joonis.
Vaatame üle * Millist võrrandit nimetatakse ruutkeskseks? * Milliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks? * Milline ruutvõrrand nimetatakse vähendatud? * Mida nimetatakse ruutvõrrandi juureks? * Mida tähendab ruutvõrrandi lahendamine? Millist võrrandit nimetatakse ruutväärtuseks? Milliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks? Millist ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks? Mis on ruutvõrrandi juur? Mida tähendab ruutvõrrandi lahendamine? Millist võrrandit nimetatakse ruutväärtuseks? Milliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks? Millist ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks? Mis on ruutvõrrandi juur? Mida tähendab ruutvõrrandi lahendamine?
Ruutvõrrandi lahendamise algoritm: 1. Leia kõige ratsionaalsem viis ruutvõrrandi lahendamiseks 2. Vali kõige ratsionaalsem lahendusviis 3. Ruutvõrrandi juurte arvu määramine 4. Ruutvõrrandi juurte leidmine Paremaks päheõppimine, täitke tabel... Parema meeldejätmise jaoks täitke tabel... Parema meeldejätmise jaoks täitke tabel...
Lisatingimus Võrrandi juured Näited 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1,2 = ±(c/a), kus c/a 0. b) kui c/a 0, siis lahendeid pole 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, kus D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – paarisarv(в = 2k), а 0, в 0, с 0 ах 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, kus k = 6. Lause pöördväärtus Vieta teoreem x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
II. Erimeetodid 7. Binoomi ruudu eraldamise meetod. Eesmärk: taandada üldvõrrand mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Märkus: meetod on rakendatav kõigi ruutvõrrandite puhul, kuid seda pole alati mugav kasutada. Kasutatakse ruutvõrrandi juurte valemi tõestamiseks. Näide: lahendage võrrand x 2 -6 x+8=0 8. Kõrgeima koefitsiendi “ülekandmise” meetod. Ruutvõrrandite ax 2 + bx + c = 0 ja y 2 +by+ac=0 juured on omavahel seotud seostega: ja Märkus: meetod sobib hästi “mugavate” koefitsientidega ruutvõrrandite jaoks. Mõnel juhul võimaldab see ruutvõrrandi suuliselt lahendada. Näide: lahenda võrrand 2 x 2 -9 x-5=0 Teoreemide põhjal: Näide: lahenda võrrand 157 x x-177=0 9. Kui ruutvõrrandis a+b+c=0, siis üks juur on 1 ja teine vastavalt Vieta teoreemile on võrdne c / a 10. Kui ruutvõrrandis a + c = b, siis on üks juurtest võrdne -1 ja teine vastavalt Vieta teoreemile. teoreem, on võrdne -c / a Näide: lahendage võrrand 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a
III. Üldised meetodid võrrandite lahendamiseks 11. Faktoriseerimise meetod. Eesmärk: Taandada üldruutvõrrand kujule A(x)·B(x)=0, kus A(x) ja B(x) on polünoomid x suhtes. Meetodid: Ühise teguri väljavõtmine sulgudest; Kasutades lühendatud korrutusvalemeid; Rühmitamise meetod. Näide: lahendage võrrand 3 x 2 +2 x-1=0 12. Uue muutuja sisestamise meetod. Uue muutuja hea valik muudab võrrandi struktuuri läbipaistvamaks Näide: lahendage võrrand (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8
Laadimine...