Vektorite lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus.
Vektorite alused. Afiinne koordinaatsüsteem

Auditooriumis on käru šokolaadiga ja iga tänane külastaja saab endale magusapaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel hõlmab kahte osa korraga. kõrgem matemaatika, ja vaatame, kuidas nad ühes ümbrises läbi saavad. Tehke paus, sööge Twixi! ...kurat, milline jama. Kuigi, okei, ma ei löö, peaks lõpuks õppimisse suhtuma positiivselt.

Vektorite lineaarne sõltuvus, lineaarvektori sõltumatus, vektorite alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid eelkõige algebraline tähendus. Lineaaralgebra seisukohast ei ole „vektori” mõiste alati see „tavaline” vektor, mida saaksime tasapinnal või ruumis kujutada. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteosse läksin: vastavalt temperatuur ja õhurõhk. Näide on muidugi vektoriruumi omaduste seisukohalt vale, kuid sellegipoolest ei keela keegi neid parameetreid vektorina vormistada. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on aru saada definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarsõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, alus jne) kehtivad algebralisest vaatepunktist kõikidele vektoritele, kuid tuuakse geomeetrilised näited. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja selge. Lisaks analüütilise geomeetria probleemidele käsitleme ka mõningaid tüüpilisi algebra ülesandeid. Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid Ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapinnaline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelgem teie arvutilaua tasapinnale (ainult laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes teile meeldib). Ülesanne koosneb järgmistest toimingutest:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivne, et aluse loomiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli objektidele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppu. Pealegi sinu omal. Palun asetage vasak nimetissõrm lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht väike sõrm parem käsi laua servale samamoodi - nii, et see on suunatud monitori ekraanile. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida me saame vektorite kohta öelda? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarne väljendatakse üksteise kaudu:
, hästi või vastupidi: , kus mõni arv erineb nullist.

Pilti sellest tegevusest näete klassis. Mannekeenide vektorid, kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi risti üksi suunas ning tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarne" tähistavad tõsiasja, et matemaatilistes võrrandites ja avaldistes puuduvad ruudud, kuubikud, muud astmed, logaritmid, siinused jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks mis tahes nurk peale 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarne Mitte sõltuvad siis ja ainult siis, kui need ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega “viltuks”. Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatakse vastavalt alusele:
, kus on reaalarvud. Numbritele helistatakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Samuti öeldakse, et vektoresitatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealusel või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võime öelda, et vektor on lagundatud piki tasandi ortonormaalset alust, või võime öelda, et see on esitatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: Lennuki alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paariks, , samal ajal ükskõik milline tasapinnaline vektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni oluline punkt on asjaolu, et vektorid on võetud kindlas järjekorras. Alused – need on kaks täiesti erinevat alust! Nagu öeldakse, ei saa te vasaku käe väikest sõrme parema käe väikese sõrme asemel asendada.

Oleme aluse välja mõelnud, kuid sellest ei piisa koordinaatide ruudustiku seadmisest ja igale arvutilaua elemendile koordinaatide määramisest. Miks sellest ei piisa? Vektorid on vabad ja liiguvad läbi kogu tasapinna. Kuidas siis määrata koordinaadid neile väikestele määrdunud kohtadele laual, mis pärast metsikut nädalavahetust üle jäävad? Lähtepunkti on vaja. Ja selline maamärk on kõigile tuttav punkt – koordinaatide päritolu. Saame aru koordinaatide süsteemist:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui nad räägivad ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need alguspunkti, koordinaattelgesid ja skaalat piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada "ristkülikukujuline koordinaatsüsteem" ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest tundub, et ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi saab täielikult määratleda ortonormaalse aluse kaudu. Ja see on peaaegu tõsi. Sõnastus on järgmine:

päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline tasapinnaline koordinaatide süsteem . See tähendab, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Sellepärast näete joonist, mille ma ülal andsin - geomeetrilistes ülesannetes joonistatakse sageli (kuid mitte alati) nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad aru, et kasutada punkti (päritolu) ja ortonormaalset alust MIS TAHES PUNKTI lennukis ja mistahes VEKTOR lennukis koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada."

Kas koordinaatvektorid peavad olema ühikulised? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Vaatleme punkti ja kahte suvalise nullist erineva pikkusega ortogonaalvektorit:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunktid vektoritega on määratletud koordinaatide ruudustikuga ja igal tasapinna punktil, igal vektoril on oma koordinaadid etteantud alusel. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid üldiselt on erineva pikkusega peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühtsusega, siis saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märkus : ortogonaalsel alusel ja ka allpool sisse afiinsed alused vaadeldakse tasapinna ja ruumi ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik piki x-telge sisaldab 4 cm, üks ühik piki ordinaattelge sisaldab 2 cm Sellest teabest piisab, et vajaduse korral "mittestandardsed" koordinaadid "meie tavalisteks sentimeetriteks" teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele tegelikult juba vastatud on, kas baasvektorite vaheline nurk peab olema võrdne 90 kraadiga? Ei! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu, Ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt afiintasandi koordinaatide süsteem :

Mõnikord nimetatakse sellist koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Näidetena on joonisel näidatud punktid ja vektorid:

Nagu te mõistate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida me õppetunni teises osas käsitlesime, selles ei tööta; Mannekeenide vektorid, palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis. Kuid kehtivad vektorite lisamise ja vektori arvuga korrutamise reeglid, segmendi jagamise valemid selles osas, aga ka mõned muud tüüpi probleemid, mida peagi käsitleme.

Ja järeldus on, et kõige mugavam afiinse koordinaatsüsteemi erijuhtum on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Sellepärast pead sa teda kõige sagedamini nägema, mu kallis. ...Kõik siin elus on aga suhteline - on palju olukordi, kus kaldus nurk (või mõni muu nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Ja humanoididele võivad sellised süsteemid meeldida =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik selle õppetüki ülesanded kehtivad nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on kättesaadav isegi koolilapsele.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit olid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed Põhimõtteliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval üksikasjalik kirjeldus.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Lahendus:
a) Uurime, kas vektorite jaoks on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Ma räägin teile kindlasti selle reegli rakendamise "lobavast" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Mõte on kohe proportsioon välja mõelda ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Suhe võib olla vastupidine, see on samaväärne variant:

Enesetesti jaoks saate kasutada tõsiasja, et kollineaarsed vektorid väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt. IN antud juhul on võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida vektoritega tehtavate elementaarsete toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et teisest võrrandist järeldub, et mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Teeme vektorite vastavatest koordinaatidest proportsiooni :
, mis tähendab, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt ei lükka arvustajad seda võimalust tagasi, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on võrdsed nulliga. nagu see: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (tõepoolest, te ei saa nulliga jagada). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline näide teie enda lahenduse jaoks:

Näide 2

Millise parameetri väärtuse juures on vektorid kas need on kollineaarsed?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need viienda punktina:

Kahe tasapinnalise vektori puhul on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga.

Ma väga-väga loodan, et nüüdseks olete juba aru saanud kõikidest mõistetest ja väidetest, millega olete kokku puutunud.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni rakendamiseks peate loomulikult suutma seda teha leidma determinante.

Otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude ja sirgete paralleelsust. Vaatleme paari probleemi konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist luua, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Meenutagem rööpküliku määratlust:
Parallelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja.

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor (“kooli järgi” – võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on otsus vormistada selgelt, kokkuleppega. Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: nelinurga vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, mis tähendab, et see on definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel häid ja erinevaid figuure:

Näide 4

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui lihtsalt meeles pidada, kuidas see välja näeb.

See on ülesanne, mille peate ise lahendama. Täislahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Selleks, et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid võrdelised.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

A) ;
b)
V)

Lahendus:
a) Kontrollime, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsustegur:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

“Lihtsustatud” vormistatakse proportsiooni kontrollimisega. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

On olemas meetod ruumiliste vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks kolmandat järku determinandi abil. Seda meetodit käsitletakse artiklis Vektorite vektorkorrutis.

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise sektsiooni:

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus kolmemõõtmelises ruumis.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud mustrid, mida me lennukis uurisime, kehtivad ruumi jaoks. Püüdsin teooriamärkmeid minimeerida, kuna lõviosa teabest on juba näritud. Sissejuhatav osa soovitan siiski hoolega läbi lugeda, sest ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutilaua tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei pääse me kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu on aluse loomiseks vaja kolme ruumivektorit. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame end sõrmedel. Tõstke käsi üles ja sirutage seda eri suundades pöial, nimetissõrm ja keskmine sõrm. Need on vektorid, nad näevad eri suundades, on erineva pikkusega ja nende vahel on erinevad nurgad. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, seda pole vaja õpetajatele demonstreerida, kuidas sa sõrmi väänatad, aga definitsioonidest pole pääsu =)

Järgmiseks küsime endalt ühe olulise küsimuse: kas mis tahes kolm vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse? Vajutage kolm sõrme tugevalt arvutilaua ülaosale. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samal tasapinnal ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtme - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja on täiesti ilmne, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et samatasandilised vektorid ei pea asuma samal tasapinnal, nad võivad olla paralleelsetel tasapindadel (ära tee seda sõrmedega, seda tegi ainult Salvador Dali =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne, kui on tasapind, millega nad on paralleelsed. Siin on loogiline lisada, et kui sellist tasapinda ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm samatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutame taas ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid ei ole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise jaotise materjalide põhjal).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud, see tähendab, et need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, ja mis tahes ruumivektorit ainus viis laguneb antud alusel, kus on selle aluse vektori koordinaadid

Tuletan teile meelde, et võime ka öelda, et vektor on esitatud kujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste võetakse kasutusele täpselt samamoodi nagu tasapinnalise juhtumi puhul, piisab ühest punktist ja mis tahes kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist:

päritolu, Ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

Muidugi on koordinaatide ruudustik "kaldus" ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta mõned valemid, mida ma juba mainisin, ruumi afiinses koordinaatsüsteemis.

Nagu kõik arvavad, on afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

Punkt ruumis nimega päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem . Tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Kolme ruumivektori jaoks on järgmised väited samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Ma arvan, et vastupidised väited on arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust/sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilised ülesanded on selgelt algebralist laadi. On aeg riputada geomeetriapulk ja näppida lineaaralgebra pesapallikurikat:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin teie tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus sellest ei muutu - vt determinantide omadused). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või võivad neist vähe aru saada, soovitan ühte oma vanimat õppetundi: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Lahendus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi (determinant selgub esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Samuti on loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Lahendus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt peate lahendama võrrandi determinandiga. Hüppame nullidele alla nagu tuulelohed jerboadele - kõige parem on avada determinant teisel real ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsama lineaarvõrrandini:

Vastus: kell

Seda on siin lihtne kontrollida. Selleks peate asendama saadud väärtuse algse määrajaga ja veenduma selles , avage see uuesti.

Kokkuvõtteks käsitleme veel ühte tüüpilist probleemi, mis on olemuselt rohkem algebraline ja mis traditsiooniliselt sisaldub lineaaralgebra kursuses. See on nii tavaline, et väärib oma teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida sellel alusel 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad aluse kolmemõõtmelises ruumis ja leidke selles baasis vektori koordinaadid.

Lahendus: Esiteks käsitleme tingimust. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis see alus on, meid ei huvita. Ja järgmine asi pakub huvi: kolm vektorit võivad moodustada uue aluse. Ja esimene etapp langeb täielikult kokku näite 6 lahendusega, on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid Tingimataüles kirjutama veergudeks determinant, mitte stringides. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.

Vormi väljendamine helistas vektorite lineaarne kombinatsioon A 1, A 2,...,A n koefitsientidega λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse määramine

Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltuv, kui on nullist erinev arvude hulk λ 1, λ 2,...,λ n, milles vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga, see tähendab võrrandisüsteemi: on nullist erinev lahendus.
Numbrite komplekt λ 1, λ 2,...,λ n on nullist erinev, kui vähemalt üks arvudest λ 1, λ 2,...,λ n nullist erinev.

Vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse määramine

Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltumatu, kui nende vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga ainult nullarvude hulga puhul λ 1, λ 2,...,λ n , see tähendab võrrandisüsteemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ omab ainulaadset nulllahendust.

Näide 29.1

Kontrollige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv

Lahendus:

1. Koostame võrrandisüsteemi:

2. Lahendame selle Gaussi meetodil. Süsteemi Jordanano teisendused on toodud tabelis 29.1. Arvutamisel süsteemi paremaid külgi üles ei kirjutata, kuna need on võrdsed nulliga ega muutu Jordani teisenduste käigus.

3. Tabeli kolmest viimasest reast kirjutage üles lahendatud süsteem, mis on samaväärne algse süsteemiga süsteem:

4. Me saame üldine lahendus süsteemid:

5. Olles määranud vaba muutuja väärtuse x 3 =1 oma äranägemise järgi, saame konkreetse nullist erineva lahenduse X=(-3,2,1).

Vastus: Seega nullist erineva arvude hulga (-3,2,1) korral võrdub vektorite lineaarne kombinatsioon nullvektoriga -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Seega vektorsüsteem lineaarselt sõltuv.

Vektorsüsteemide omadused

Vara (1)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, siis vähemalt ühte vektorit laiendatakse teiste suhtes ja vastupidi, kui vähemalt ühte süsteemi vektorit laiendatakse teiste suhtes, siis vektorite süsteem. on lineaarselt sõltuv.

Vara (2)
Kui mis tahes vektorite alamsüsteem on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv kogu süsteem.

Vara (3)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis on iga selle alamsüsteem lineaarselt sõltumatu.

Vara (4)
Iga nullvektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Kinnisvara (5)
M-mõõtmeliste vektorite süsteem on alati lineaarselt sõltuv, kui vektorite arv n on suurem kui nende mõõde (n>m)

Vektorsüsteemi alused

Vektorsüsteemi alus A 1 , A 2 ,..., A sellist alamsüsteemi B 1 , B 2 ,...,B r nimetatakse(iga vektorid B 1, B 2,..., B r on üks vektoritest A 1, A 2,..., A n), mis vastab järgmistele tingimustele:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem;
2. mis tahes vektor A j Süsteemi A 1 , A 2 ,..., A n väljendatakse lineaarselt läbi vektorite B 1 , B 2 ,..., B r

r— baasis sisalduvate vektorite arv.

Teoreem 29.1 Vektorite süsteemi ühiku alusel.

Kui m-mõõtmeliste vektorite süsteem sisaldab m erinevat ühikvektorit E 1 E 2 ,..., E m , siis moodustavad need süsteemi aluse.

Algoritm vektorite süsteemi aluse leidmiseks

Vektorite süsteemi A 1 ,A 2 ,...,A n aluse leidmiseks on vaja:

• Looge vastav vektorsüsteem homogeenne süsteem võrrandid A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Tooge see süsteem

Loengud algebrast ja geomeetriast. 1. semester.

Loeng 9. Vektorruumi alused.

Kokkuvõte: vektorite süsteem, vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon, vektorite süsteemi lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid, alus sirgel, tasapinnal ja ruumis, vektoriruumide mõõtmed sirgel, tasapinnal ja ruumis, dekomponeerimine vektor piki baasi, vektori koordinaadid baasi suhtes, võrduslause kaks vektorit, lineaartehted vektoritega koordinaatide tähistuses, vektorite ortonormaalne kolmik, vektorite parem- ja vasakkolmik, ortonormaalne alus, vektori algebra põhiteoreem.

Peatükk 9. Vektorruumi alused ja vektori lagunemine baasi suhtes.

punkt 1. Alusel sirgjoonel, tasapinnal ja ruumis.

Definitsioon. Igasugust lõplikku vektorite hulka nimetatakse vektorite süsteemiks.

Definitsioon. Väljend kus
nimetatakse vektorite süsteemi lineaarseks kombinatsiooniks
ja numbrid
nimetatakse selle lineaarse kombinatsiooni koefitsientideks.

Olgu L, P ja S vastavalt sirgjoon, tasapind ja punktide ruum ning
. Siis
– vektorite vektorruumid suunatud lõikudena vastavalt sirgel L, tasapinnal P ja ruumis S.

kutsutakse mis tahes nullist erinevat vektorit
, st. mis tahes nullist erinev vektor, mis on sirge L suhtes kollineaarne:
Ja
.

Aluse määramine
:
– alus
.

Definitsioon. Vektorruumi alused
on mis tahes järjestatud mittekollineaarsete vektorite paar ruumis
.

, Kus
,
– alus
.

Definitsioon. Vektorruumi alused
on ruumi mis tahes järjestatud kolmik mitte-tasapinnaliste vektorite (st ei asu samal tasapinnal)
.

– alus
.

Kommenteeri. Vektorruumi alus ei saa sisaldada nullvektorit: ruumis
määratluse järgi ruumis
kaks vektorit on ruumis kollineaarsed, kui vähemalt üks neist on null
kolm vektorit on tasapinnalised, st nad asuvad samal tasapinnal, kui vähemalt üks kolmest vektorist on null.

punkt 2. Vektori lagunemine baasi järgi.

Definitsioon. Lase - suvaline vektor,
– suvaline vektorite süsteem. Kui võrdsus kehtib

siis nad ütlevad, et vektor esitatakse antud vektorite süsteemi lineaarse kombinatsioonina. Kui antud vektorite süsteem
on vektorruumi alus, siis võrdsust (1) nimetatakse vektori lagunemiseks alusel
. Lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid
nimetatakse sel juhul vektori koordinaatideks aluse suhtes
.

Teoreem. (Vektori lagunemise kohta aluse suhtes.)

Iga vektorruumi vektorit saab laiendada selle baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.

Tõestus. 1) Olgu L suvaline sirge (või telg) ja
– alus
. Võtame suvalise vektori
. Kuna mõlemad vektorid Ja kollineaarne samale sirgele L, siis
. Kasutame teoreemi kahe vektori kollineaarsuse kohta. Sest
, siis on (olemas) selline arv
, Mida
ja seega saime vektori lagunemise alusel
vektorruum
.

Nüüd tõestame sellise lagunemise unikaalsust. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni alusel
vektorruum
:

Ja
, Kus
. Siis
ja jaotusseadust kasutades saame:

Sest
, siis viimasest võrdsusest järeldub, et
jne.

2) Olgu nüüd P suvaline tasapind ja
– alus
. Lase
selle tasandi suvaline vektor. Joonistame kõik kolm vektorit selle tasandi mis tahes punktist. Ehitame 4 sirget. Teeme otse , millel vektor asub , sirge
, millel vektor asub . Läbi vektori otsa tõmmake vektoriga paralleelne sirgjoon ja vektoriga paralleelne sirge . Need 4 sirget nikerdavad rööpküliku. Vaata allpool joon. 3. Rööpkülikureegli järgi
, Ja
,
,
– alus ,
– alus
.

Nüüd, selle tõestuse esimeses osas juba tõestatu kohaselt on sellised arvud olemas
, Mida

Ja
. Siit saame:

ja baasi laiendamise võimalus on tõestatud.

Nüüd tõestame laienduse unikaalsust aluse osas. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni alusel
vektorruum
:
Ja
. Saame võrdsuse

Kust see tuleb?
. Kui
, See
, ja sellepärast
, See
ja laienduskoefitsiendid on võrdsed:
,
. Las see nüüd
. Siis
, Kus
. Kahe vektori kollineaarsuse teoreemist järeldub, et
. Oleme saanud vastuolu teoreemi tingimustega. Seega
Ja
jne.

3) Lase
– alus
ja lase
suvaline vektor. Teeme järgmised konstruktsioonid.

Jätame kõrvale kõik kolm baasvektorit
ja vektor ühest punktist ja konstrueerida 6 tasapinda: tasapind, millel asuvad baasvektorid
, lennuk
ja lennuk
; edasi läbi vektori lõpu Joonistame kolm tasandit paralleelselt kolme äsja konstrueeritud tasapinnaga. Need 6 tasapinda nikerdavad rööptahuka:

Kasutades vektorite liitmise reeglit, saame võrdsuse:

. (1)

Ehituse järgi
. Siit järeldub kahe vektori kollineaarsuse teoreemiga, et on olemas arv
, selline
. Samamoodi
Ja
, Kus
. Nüüd, asendades need võrdsused (1), saame:

ja baasi laiendamise võimalus on tõestatud.

Tõestame sellise lagunemise unikaalsust. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni alusel
:

JA . Siis

Pange tähele, et tingimuse järgi vektorid
mittekoplanaarsed, seega on nad paarikaupa mittekollineaarsed.

Võimalikud on kaks juhtumit:
või
.

a) Lase
, siis võrdsusest (3) järeldub:

. (4)

Võrdusest (4) järeldub, et vektor laieneb vastavalt alusele
, st. vektor asub vektortasandil
ja seega ka vektorid
koplanaarne, mis on tingimusega vastuolus.

b) Juhtum jääb alles
, st.
.

Sest
Siis võrdsusest (3) saame või
Ja
jne.

on tasapinnal asuvate vektorite ruumi alus ja me oleme juba tõestanud tasandi vektorite baasi laienemise unikaalsust, siis võrdsusest (5) järeldub, et

Teoreem on tõestatud.

Tagajärg.
1) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus

ja reaalarvude hulk R.
2) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus

ja Descartes'i väljak
3) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus
ja Descartes'i kuubik

reaalarvude komplekt R.

Tõestus. Tõestame kolmandat väidet. Kaks esimest on tõestatud sarnasel viisil.
Valige ja fikseerige ruumis
mingi alus
ja korraldada väljapanek

vastavalt järgmisele reeglile:

need. Seostame iga vektori selle koordinaatide järjestatud hulgaga.

Kuna fikseeritud alusega on igal vektoril üks koordinaatide komplekt, on reegliga (6) määratud vastavus tõepoolest vastendus.

Teoreemi tõestusest järeldub, et erinevatel vektoritel on sama aluse suhtes erinevad koordinaadid, s.t. kaardistamine (6) on süstimine.
Lase

Mõelge vektorile
. Ehituse järgi on sellel vektoril koordinaadid
. Järelikult on kaardistamine (6) surjektsioon.

Kaardistus, mis on nii injektiivne kui ka sürjektiivne, on bijektiivne, st. üks-ühele jne.

Uurimine on tõestatud.

Teoreem. (Kahe vektori võrdsuse kohta.)

Kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende koordinaadid sama aluse suhtes on võrdsed.

Tõestus tuleneb vahetult eelmisest järeldusest.

punkt 3. Vektorruumi mõõde.

Definitsioon. Vektorruumi baasil olevate vektorite arvu nimetatakse selle dimensiooniks.

Nimetus:
– vektorruumi V mõõde.

Seega on meil vastavalt sellele ja eelmistele määratlustele:

1)
– sirge L vektorite vektorruum.

– alus
,
,
,
– vektori lagunemine
alusel
,
- vektori koordinaat aluse suhtes
.

2)
– tasandi R vektorite vektorruum.

– alus
,
,
,
– vektori lagunemine
alusel
,
- vektori koordinaadid aluse suhtes
.

3)
– vektorite vektorruum punktide S ruumis.

– alus
,
,
– vektori lagunemine
alusel
,
- vektori koordinaadid aluse suhtes
.

Kommenteeri. Kui
, See
ja saate valida aluse
ruumi
Niisiis
– alus
Ja
– alus
. Siis
, Ja
, .

Seega saab mistahes sirge L, tasandi P ja ruumi S vektorit alusele laiendada
:

Määramine. Vektorite võrdsuse teoreemi alusel saame tuvastada mis tahes vektori reaalarvude järjestatud kolmikuga ja kirjutada:

See on võimalik ainult siis, kui alus
fikseeritud ja pole ohtu sassi minna.

Definitsioon. Vektori kirjutamist reaalarvude järjestatud kolmiku kujul nimetatakse vektori kirjutamise koordinaatvormiks:
.

punkt 4. Lineaartehted vektoritega koordinaatide tähistuses.

Teoreemi tõestusest järeldub, et erinevatel vektoritel on sama aluse suhtes erinevad koordinaadid, s.t. kaardistamine (6) on süstimine.
– ruumi alus
Ja
on kaks selle suvalist vektorit. Lase
Ja
– nende vektorite salvestamine koordinaatide kujul. Lase edasi,
on suvaline reaalarv. Seda tähistust kasutades kehtib järgmine teoreem.

Teoreem. (Koordinaadikujuliste vektoritega lineaarsete operatsioonide kohta.)

2)
.

Teisisõnu, kahe vektori liitmiseks tuleb lisada neile vastavad koordinaadid ja vektori arvuga korrutamiseks tuleb antud vektori iga koordinaat antud arvuga korrutada.

Tõestus. Kuna vastavalt teoreemi tingimustele, siis kasutades vektorruumi aksioome, mis juhivad vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise toiminguid, saame:

See tuleneb siit.

Teine võrdsus on tõestatud sarnaselt.

on tasapinnal asuvate vektorite ruumi alus ja me oleme juba tõestanud tasandi vektorite baasi laienemise unikaalsust, siis võrdsusest (5) järeldub, et

punkt 5. Ortogonaalsed vektorid. Ortonormaalne alus.

Definitsioon. Kaht vektorit nimetatakse ortogonaalseteks, kui nendevaheline nurk on võrdne täisnurgaga, s.t.
.

Nimetus:
- vektorid Ja ortogonaalne.

Definitsioon. Vektorite troika
nimetatakse ortogonaalseks, kui need vektorid on paarikaupa üksteise suhtes ortogonaalsed, s.t.
,
.

Definitsioon. Vektorite troika
nimetatakse ortonormaalseks, kui see on ortogonaalne ja kõigi vektorite pikkused on võrdsed ühega:
.

Kommenteeri. Definitsioonist järeldub, et vektorite ortogonaalne ja seega ka ortonormaalne kolmik on mittetasapinnaline.

Definitsioon. Järjestatud vektorite mittetasapinnaline kolmik
ühest punktist joonistatud nimetatakse paremale (paremale orienteeritud), kui vaadeldakse kolmanda vektori lõpust tasapinnale, millel asuvad kaks esimest vektorit Ja , esimese vektori lühim pöörlemine teisele toimub vastupäeva. Vastasel juhul nimetatakse vektorite kolmikut vasakpoolseks (vasakule orienteeritud).

Siin, joonisel 6, on näidatud parempoolsed kolm vektorit
. Järgmine joonis 7 näitab vektorite vasakpoolset kolme
:

Definitsioon. Alus
vektorruum
nimetatakse ortonormaalseks, kui
vektorite ortonormaalne kolmik.

Määramine. Järgnevalt kasutame õiget ortonormaalset alust
, vaata järgmist joonist.

Leidke vektorite ja baasi mittekuuluvate vektorite süsteemi alus, laiendage neid vastavalt alusele:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Lahendus. Mõelge homogeensele süsteemile lineaarvõrrandid

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

või laiendatud kujul.

Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil, ridu ja veerge vahetamata ning lisaks valides põhielemendi mitte vasakus ülanurgas, vaid kogu rea ulatuses. Väljakutse on vali teisendatud vektorite süsteemi diagonaalosa.

~ ~

~ ~ ~ .

Algse vektorite lubatud süsteemil on vorm

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Kus A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektorid A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 moodustavad diagonaalsüsteemi. Seega vektorid A 1 , A 3 , A 4 moodustavad vektorsüsteemi aluse A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Laiendame nüüd vektoreid A 2 Ja A 5 alusel A 1 , A 3 , A 4. Selleks laiendame esmalt vastavaid vektoreid A 2 1 Ja A 5 1 diagonaalsüsteem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, pidades silmas, et vektori piki diagonaalsüsteemi laienemise koefitsiendid on selle koordinaadid x i.

Alates (1) on meil:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 · 1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 · 2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektorid A 2 Ja A 5 on laiendatud A 1 , A 3 , A 4 samade koefitsientidega kui vektorid A 2 1 Ja A 5 1 diagonaalsüsteem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (need koefitsiendid x i). Seega

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Ülesanded. 1.Leia vektorite ja baasi mittekuuluvate vektorite süsteemi alus, laiendada neid vastavalt alusele:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Leia kõik vektorsüsteemi alused:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Artiklis n-mõõtmeliste vektorite kohta jõudsime n-mõõtmeliste vektorite komplekti poolt genereeritud lineaarse ruumi mõisteni. Nüüd peame arvestama sama oluliste mõistetega, nagu vektorruumi mõõde ja alus. Need on otseselt seotud lineaarselt sõltumatu vektorite süsteemi kontseptsiooniga, seega on lisaks soovitatav meelde tuletada selle teema põhitõed.

Tutvustame mõningaid määratlusi.

Definitsioon 1

Vektorruumi mõõde– arv, mis vastab maksimaalsele lineaarselt sõltumatute vektorite arvule selles ruumis.

2. definitsioon

Vektorruumi alus– lineaarselt sõltumatute vektorite kogum, mis on järjestatud ja arvult võrdne ruumi mõõtmega.

Vaatleme teatud n -vektorite ruumi. Selle mõõde on vastavalt võrdne n-ga. Võtame n-ühikuliste vektorite süsteemi:

e (1) = (1, 0, . . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Me kasutame neid vektoreid maatriksi A komponentidena: see on ühik mõõtmetega n korda n. Selle maatriksi auaste on n. Seetõttu on vektorsüsteem e (1) , e (2) , . . . , e(n) on lineaarselt sõltumatu. Sel juhul on võimatu süsteemile lisada ühte vektorit, ilma et see rikuks selle lineaarset sõltumatust.

Kuna vektorite arv süsteemis on n, siis n-mõõtmeliste vektorite ruumi mõõde on n ja ühikvektoriteks on e (1), e (2), . . . , e (n) on määratud ruumi aluseks.

Saadud definitsioonist võime järeldada: iga n-mõõtmeliste vektorite süsteem, milles vektorite arv on väiksem kui n, ei ole ruumi baas.

Kui vahetame esimese ja teise vektori, saame vektorite süsteemi e (2) , e (1) , . . . , e (n) . See on ka n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Koostame maatriksi, võttes selle ridadeks saadud süsteemi vektorid. Maatriksi saab identiteedimaatriksist, kui vahetada kaks esimest rida, selle järjestus on n. Süsteem e (2) , e (1) , . . . , e(n) on lineaarselt sõltumatu ja on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks.

Teisi vektoreid algses süsteemis ümber paigutades saame teise aluse.

Võime võtta lineaarselt sõltumatu mitteühikvektorite süsteemi ja see esindab ka n-mõõtmelise vektorruumi alust.

3. määratlus

Vektorruumil mõõtmega n on nii palju aluseid, kui on lineaarselt sõltumatuid arvu n n-mõõtmeliste vektorite süsteeme.

Tasapind on kahemõõtmeline ruum - selle aluseks on mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit. Kolmemõõtmelise ruumi aluseks on mis tahes kolm mittetasatasandilist vektorit.

Vaatleme selle teooria rakendamist konkreetsete näidete abil.

Näide 1

Algandmed: vektorid

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

On vaja kindlaks teha, kas määratud vektorid on kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks.

Lahendus

Ülesande lahendamiseks uurime antud lineaarse sõltuvuse vektorite süsteemi. Koostame maatriksi, kus read on vektorite koordinaadid. Määrame maatriksi auastme.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Järelikult on ülesande tingimusega määratud vektorid lineaarselt sõltumatud ning nende arv võrdub vektorruumi mõõtmega - need on vektorruumi aluseks.

Vastus: näidatud vektorid on vektorruumi aluseks.

Näide 2

Algandmed: vektorid

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Tuleb kindlaks teha, kas antud vektorite süsteem saab olla kolmemõõtmelise ruumi aluseks.

Lahendus

Ülesande püstituses määratud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, sest lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv on 3. Seega ei saa näidatud vektorite süsteem olla aluseks kolmemõõtmelisele vektorruumile. Kuid tasub märkida, et algsüsteemi alamsüsteem a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) on aluseks.

Vastus: näidatud vektorite süsteem ei ole aluseks.

Näide 3

Algandmed: vektorid

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Kas need võivad olla neljamõõtmelise ruumi aluseks?

Lahendus

Koostame maatriksi, kasutades ridadena etteantud vektorite koordinaate

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gaussi meetodi abil määrame maatriksi auastme:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Järelikult on antud vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu ja nende arv võrdub vektorruumi mõõtmega - need on neljamõõtmelise vektorruumi aluseks.

Vastus: antud vektorid on neljamõõtmelise ruumi aluseks.

Näide 4

Algandmed: vektorid

a (1) = (1, 2, -1, -2) a (2) = (0, 2, 1, -3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Kas need moodustavad 4. mõõtmega ruumi aluse?

Lahendus

Algne vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, kuid vektorite arv selles ei ole piisav, et saada neljamõõtmelise ruumi aluseks.

Vastus: ei, nad ei tee seda.

Vektori dekomponeerimine baasiks

Oletame, et suvalised vektorid e (1) , e (2) , . . . , e (n) on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Lisame neile teatud n-mõõtmelise vektori x →: saadud vektorite süsteem muutub lineaarselt sõltuvaks. Lineaarse sõltuvuse omadused väidavad, et vähemalt ühte sellise süsteemi vektoritest saab teiste kaudu lineaarselt väljendada. Selle väite ümbersõnastamisel võime öelda, et vähemalt ühte lineaarselt sõltuva süsteemi vektoritest saab laiendada ülejäänud vektoriteks.

Nii jõudsime kõige olulisema teoreemi sõnastamiseni:

4. definitsioon

Iga n-mõõtmelise vektorruumi vektori saab unikaalselt lagundada baasiks.

Tõendid 1

Tõestame selle teoreemi:

defineerime n-mõõtmelise vektorruumi baasi - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Muudame süsteemi lineaarselt sõltuvaks, lisades sellele n-mõõtmelise vektori x →. Seda vektorit saab lineaarselt väljendada algsete vektoritega e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , kus x 1 , x 2 , . . . , x n - mõned arvud.

Nüüd tõestame, et selline lagunemine on ainulaadne. Oletame, et see pole nii ja on veel üks sarnane lagunemine:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , kus x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - mõned arvud.

Lahutame selle võrrandi vasakust ja paremast poolest vastavalt võrrandi x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + vasak ja parem pool. . . + x n · e (n) . Saame:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Alusvektorite süsteem e (1) , e (2) , . . . , e (n) on lineaarselt sõltumatu; vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse definitsiooni järgi on ülaltoodud võrdsus võimalik ainult siis, kui kõik koefitsiendid on (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) on võrdne nulliga. Millest see on õiglane: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Ja see tõestab ainsat võimalust vektori baasiks lagundamiseks.

Sel juhul on koefitsiendid x 1, x 2, . . . , x n nimetatakse vektori x → koordinaatideks aluses e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Tõestatud teooria teeb selgeks avaldise "antud n-mõõtmelise vektori x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": vaadeldakse vektorit x → n-mõõtmelist vektorruumi ja selle koordinaadid määratakse a. teatud alus. Samuti on selge, et samal vektoril n-mõõtmelise ruumi teises aluses on erinevad koordinaadid.

Vaatleme järgmist näidet: oletame, et n-mõõtmelise vektorruumi mõnes aluses on antud n lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev süsteem

ja samuti on antud vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vektorid e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) on antud juhul ka selle vektorruumi aluseks.

Oletame, et on vaja määrata vektori x → koordinaadid aluses e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , tähistatud kui x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → esitatakse järgmiselt:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Kirjutame selle avaldise koordinaatide kujul:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1, e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , e n (1) + x e n (2) +.

Saadud võrdsus on samaväärne n lineaarse algebralise avaldise süsteemiga n tundmatu lineaarse muutujaga x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Selle süsteemi maatriks on järgmisel kujul:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Olgu selleks maatriks A ja selle veerud on lineaarselt sõltumatu vektorisüsteemi e 1 (1), e 2 (2), vektoriteks. . . , e n (n) . Maatriksi auaste on n ja selle determinant on nullist erinev. See näitab, et võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus, mis määratakse mis tahes mugava meetodiga: näiteks Crameri meetod või maatriksmeetod. Nii saame määrata koordinaadid x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → baasis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Rakendame vaadeldavat teooriat konkreetse näite puhul.

Näide 6

Algandmed: vektorid määratakse kolmemõõtmelise ruumi alusel

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, -5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

On vaja kinnitada tõsiasja, et vektorite süsteem e (1), e (2), e (3) toimib ka antud ruumi alusena, ning määrata ka vektori x koordinaadid antud aluses.

Lahendus

Vektorite süsteem e (1), e (2), e (3) on kolmemõõtmelise ruumi aluseks, kui see on lineaarselt sõltumatu. Selgitame selle võimaluse välja, määrates maatriksi A järgu, mille ridadeks on antud vektorid e (1), e (2), e (3).

Kasutame Gaussi meetodit:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Seega on vektorite süsteem e (1), e (2), e (3) lineaarselt sõltumatu ja on aluseks.

Olgu vektoril x → baasis koordinaadid x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Nende koordinaatide vaheline seos määratakse võrrandiga:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Kasutame väärtusi vastavalt probleemi tingimustele:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Lahendame võrrandisüsteemi Crameri meetodi abil:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Seega vektor x → baasis e (1), e (2), e (3) on koordinaatidega x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Vastus: x = (1, 1, 1)

Aluste vaheline seos

Oletame, et mingis n-mõõtmelise vektorruumi baasis on antud kaks lineaarselt sõltumatut vektorisüsteemi:

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1) , . . ., e n (1) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2) , ..., e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Need süsteemid on ka antud ruumi alused.

Olgu c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - vektori c (1) koordinaadid baasis e (1) , e (2) , . . . , e (3) , siis antakse koordinaatide seos lineaarvõrrandisüsteemiga:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Süsteemi saab esitada maatriksina järgmiselt:

(c 1 (1) , c 2 (1) , ... , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Teeme analoogia põhjal sama kirje vektori c (2) jaoks:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Kombineerime maatriksi võrdsused üheks avaldiseks:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

See määrab seose kahe erineva aluse vektorite vahel.

Sama printsiipi kasutades on võimalik väljendada kõiki baasvektoreid e(1), e(2), . . . , e (3) läbi aluse c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Anname järgmised määratlused:

Definitsioon 5

Maatriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) on üleminekumaatriks baasist e (1) , e (2) , . . . , e (3)

alusele c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definitsioon 6

Maatriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) on üleminekumaatriks alustest c (1) , c (2) , . . . , c(n)

alusele e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Nendest võrdsustest on ilmne, et

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

need. üleminekumaatriksid on vastastikused.

Vaatame teooriat konkreetse näite abil.

Näide 7

Algandmed: baasist on vaja leida üleminekumaatriks

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Samuti tuleb näidata suvalise vektori x → koordinaatide vaheline seos antud alustes.

Lahendus

1. Olgu T üleminekumaatriks, siis on võrdus tõene:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Korrutage võrdsuse mõlemad pooled arvuga

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ja saame:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Määratlege üleminekumaatriks:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Defineerime vektori x → koordinaatide vahelise seose:

Oletame, et aluses c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektoril x → on koordinaadid x 1 , x 2 , x 3 , siis:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

ja aluses e (1) , e (2) , . . . , e (3) koordinaadid on x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, siis:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Sest Kui nende võrduste vasakpoolsed küljed on võrdsed, saame võrdsustada ka paremad pooled:

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Korrutage mõlemad parempoolsed küljed arvuga

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ja saame:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Teisel pool

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Viimased võrdsused näitavad seost vektori x → koordinaatide vahel mõlemas aluses.

Vastus:üleminekumaatriks

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Vektori x → koordinaadid antud alustes on seotud seosega:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter