Kuidas lahendada parabooli võrrandit. Kuidas joonistada ruutfunktsioone (paraboolid)? IV juhtum, ilmub "b".

Ruutfunktsioon on vormi funktsioon:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kus a on tundmatu x kõrgeima astme koefitsient,
b - tundmatu x koefitsient,
ja c on vabaliige.
Ruutfunktsiooni graafik on kõver, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli üldvaade on näidatud alloleval joonisel.

Joonis 1 Parabooli üldvaade.

Neid on mitu erinevatel viisidel ruutfunktsiooni joonistamine. Vaatleme neist peamisi ja üldisemaid.

Algoritm ruutfunktsiooni y=a*(x^2)+b*x+c joonistamiseks

1. Koostage koordinaatsüsteem, märkige üksuslõik ja märgistage koordinaatide teljed.

2. Määrake parabooli harude suund (üles või alla).
Selleks tuleb vaadata koefitsiendi a märki. Kui on pluss, siis on oksad suunatud ülespoole, kui on miinus, siis oksad on suunatud alla.

3. Määrake parabooli tipu x koordinaat.
Selleks tuleb kasutada valemit Xvertex = -b/2*a.

4. Määrata koordinaat parabooli tipus.
Selleks asendage võrrandis Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c, mitte x, eelmises etapis leitud Xverhiny väärtus.

5. Joonistage saadud punkt graafikule ja tõmmake läbi selle sümmeetriatelg, mis on paralleelne Oy koordinaatteljega.

6. Leia graafiku lõikepunktid Ox-teljega.
Selleks peate lahendama ruutvõrrandi a*(x^2)+b*x+c = 0, kasutades ühte järgmistest tuntud meetodid. Kui võrrandil pole reaaljuuri, siis funktsiooni graafik ei ristu Ox-teljega.

7. Leia graafiku ja Oy telje lõikepunkti koordinaadid.
Selleks asendame võrrandisse väärtuse x=0 ja arvutame y väärtuse. Märgime selle ja sellega sümmeetrilise punkti graafikule.

8. Leidke suvalise punkti A(x,y) koordinaadid
Selleks valige x-koordinaadile suvaline väärtus ja asendage see meie võrrandiga. Selles punktis saame y väärtuse. Joonistage punkt graafikule. Ja märgi graafikul ka punkt, mis on sümmeetriline punktiga A(x,y).

9. Ühendage saadud punktid graafikul sujuva joonega ja jätkake graafikut edasi äärmuslikud punktid, koordinaattelje lõpuni. Märgistage graafik kas liidrile või, kui ruum võimaldab, piki graafikut ennast.

Joonistamise näide

Näitena joonistame ruutfunktsiooni võrrandiga y=x^2+4*x-1
1. Joonistage koordinaatteljed, märgistage need ja märkige ühikuline segment.
2. Koefitsiendi väärtused a=1, b=4, c= -1. Kuna a=1, mis on suurem kui null, on parabooli harud suunatud ülespoole.
3. Määrake parabooli tipu X-koordinaat Xtipud = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Määrake parabooli tipu koordinaat Y
Tipud = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Märgi tipp ja joonesta sümmeetriatelg.
6. Leia ruutfunktsiooni graafiku lõikepunktid Ox-teljega. Lahendame ruutvõrrandi x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Saadud väärtused märgime graafikule.
7. Leia graafiku lõikepunktid Oy teljega.
x=0; y=-1
8. Vali suvaline punkt B. Olgu selle koordinaat x=1.
Siis y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Ühendage saadud punktid ja allkirjastage graafik.

  • Keskenduge paraboolile- see on punkt, millest kõik paraboolil asuvad punktid on võrdsel kaugusel.
  • Parabooli suund- see on sirgjoon, millest kõik paraboolil asuvad punktid on võrdsel kaugusel.
  • Parabooli sümmeetriatelg on vertikaaljoon, mis läbib fookust ja parabooli tippu, mis on risti selle suunaga.
  • Parabooli tipp- parabooli ja sümmeetriatelje lõikepunkt. Kui parabool on suunatud ülespoole, siis on tipp parabooli madalaim punkt; kui parabool on suunatud alla, siis on tipp parabooli kõrgeim punkt.

Parabooli võrrand. Parabooli võrrand on järgmine: y=ax 2 +bx+c. Paraboolvõrrandi saab kirjutada ka järgmiselt y = a(x – h)2 + k.

  • Kui koefitsient “a” on positiivne, siis on parabool suunatud ülespoole ja kui koefitsient “a” on negatiivne, siis on parabool suunatud alla. Selle reegli meeldejätmiseks: positiivse ( positiivne) koefitsient parabool “naeratab” (suunatud üles) ja vastupidi negatiivsega ( negatiivne) koefitsient.
  • Näiteks: y = 2x2 -1. Selle võrrandi parabool on suunatud ülespoole, kuna a = 2 (positiivne koefitsient).
  • Kui võrrandis on ruudus pigem y kui x, siis parabool asub küljel ja osutab paremale või vasakule. Näiteks parabool y 2 = x + 3 on suunatud paremale.

  • Leia sümmeetriatelg. Parabooli sümmeetriatelg on vertikaaljoon, mis läbib parabooli tippu. Sümmeetriatelg määratakse funktsiooniga x = n, kus n on parabooli tipu “x” koordinaat. Sümmeetriatelje arvutamiseks kasutage valemit x = -b/2a.

    • Meie näites a = 2, b = 0. Ühendage need väärtused valemisse: x = -0/(2 x 2) = 0.
    • Sümmeetriatelg x = 0.

  • Leia tipp. Pärast sümmeetriatelje arvutamist olete leidnud parabooli tipu koordinaadi “x”. Ühendage leitud väärtus algsesse võrrandisse, et leida "y". Need kaks koordinaati on parabooli tipu koordinaadid. Meie näites asendage x = 0 väärtusega y = 2x 2 -1 ja saage y = -1. Parabooli tipul on koordinaadid (0, -1). Pealegi on see parabooli ja Y-telje lõikepunkt (kuna x = 0).

    • Mõnikord tähistatakse tipu koordinaate kui (h,k). Meie näites h = 0, k = -1. Kui ruutvõrrand on antud kujul y = a(x – h)2 + k, siis leiad lihtsalt võrrandist otse (ilma arvutusteta) tipu koordinaadid.

  • Pakun, et ülejäänud lugejad laiendaksid oluliselt oma kooliteadmisi paraboolide ja hüperboolide kohta. Hüperbool ja parabool – kas need on lihtsad? ...ei jõua ära oodata =)

    Hüperbool ja selle kanooniline võrrand

    Üldine struktuur materjali esitlus sarnaneb eelmise lõiguga. Alustame hüperbooli üldisest mõistest ja selle konstrueerimise ülesandest.

    Hüperbooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud. Pange tähele, et erinevalt ellips, tingimust siin ei kehtestata, see tähendab, et väärtus "a" võib olla väärtusest väiksem"bae".

    Pean ütlema, et üsna ootamatult... "kooli" hüperbooli võrrand ei sarnane isegi kanoonilise tähistusega. Kuid see mõistatus peab meid veel ootama, kuid nüüd kratsigem kukalt ja tuletagem meelde, millised on kõnealusel kõveral iseloomulikud tunnused? Laotame selle oma kujutlusvõime ekraanile funktsiooni graafik ….

    Hüperboolil on kaks sümmeetrilist haru.

    Pole paha edu! Igal hüperboolil on need omadused ja nüüd vaatame tõelise imetlusega selle joone kaelust:

    Näide 4

    Koostage võrrandiga antud hüperbool

    Lahendus: esimese sammuna anname antud võrrand kanoonilisele kujule. Pidage meeles standardprotseduuri. Paremal peate saama "ühe", nii et jagame algse võrrandi mõlemad pooled 20-ga:

    Siin saate mõlemat fraktsiooni vähendada, kuid optimaalsem on teha igaüks neist kolmekorruseline:

    Ja alles pärast seda tehke vähendamine:

    Valige nimetajates ruudud:

    Miks on niimoodi transformatsioone parem läbi viia? Vasakul pool olevaid fraktsioone saab ju kohe vähendada ja saada. Fakt on see, et vaadeldavas näites meil veidi vedas: arv 20 jagub nii 4 kui ka 5-ga. Üldjuhul selline arv ei tööta. Vaatleme näiteks võrrandit . Siin on kõik kurvem jagatavusega ja ilma kolmekorruselised murded pole enam võimalik:

    Niisiis, kasutame oma töö vilja – kanoonilist võrrandit:

    Kuidas konstrueerida hüperbooli?

    Hüperbooli konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline.
    Praktilise poole pealt kompassiga joonistamine... ütleks isegi, et utoopiline, nii et palju tulusam on taaskord appi võtta lihtsad arvutused.

    Kõigepealt on soovitatav järgida järgmist algoritmi valmis joonistamine, siis kommentaarid:

    Praktikas esineb sageli suvalise nurga võrra pööramise ja hüperbooli paralleelse translatsiooni kombinatsiooni. Seda olukorda arutatakse klassis 2. järku joone võrrandi taandamine kanoonilisele kujule.

    Parabool ja selle kanooniline võrrand

    See on lõppenud! Ta on see. Valmis paljastama palju saladusi. Parabooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on reaalarv. Lihtne on märgata, et standardasendis parabool “lebab külili” ja selle tipp on algpunktis. Sel juhul määrab funktsioon selle rea ülemise haru ja funktsioon alumise haru. On ilmne, et parabool on telje suhtes sümmeetriline. Tegelikult, milleks vaeva näha:

    Näide 6

    Ehitage parabool

    Lahendus: tipp on teada, leiame lisapunkte. Võrrand määrab parabooli ülemise kaare, võrrand määrab alumise kaare.

    Arvutuste salvestamise lühendamiseks teostame arvutused “ühe harjaga”:

    Kompaktse salvestamise jaoks võiks tulemused kokku võtta tabelis.

    Enne elementaarse punkt-punkti joonise sooritamist sõnastagem range

    parabooli määratlus:

    Parabool on kõigi tasandi punktide hulk, mis on võrdsel kaugusel antud punktist ja antud sirgest, mis punkti ei läbi.

    Punkti nimetatakse keskenduda paraboolid, sirgjoon - koolijuhataja (kirjutatud ühe "es"-ga) paraboolid. Kanoonilise võrrandi konstantset "pe" nimetatakse fookusparameeter, mis on võrdne kaugusega fookusest otsesuunani. IN antud juhul. Sel juhul on fookusel koordinaadid ja suund on antud võrrandiga .
    Meie näites:

    Parabooli määratlust on veelgi lihtsam mõista kui ellipsi ja hüperbooli määratlusi. Parabooli mis tahes punkti puhul on lõigu pikkus (kaugus fookusest punktini) võrdne risti pikkusega (kaugus punktist sihikuni):

    Palju õnne! Paljud teist on täna teinud tõelise avastuse. Selgub, et hüperbool ja parabool pole üldse “tavaliste” funktsioonide graafikud, vaid neil on selgelt väljendunud geomeetriline päritolu.

    Ilmselt "tõusevad" fookusparameetri suurenemisega graafiku harud üles ja alla, lähenedes teljele lõpmatult lähedale. Kui “pe” väärtus väheneb, hakkavad need piki telge kokku suruma ja venima

    Mis tahes parabooli ekstsentrilisus võrdne ühega:

    Parabooli pöörlemine ja paralleeltõlge

    Parabool on matemaatikas üks levinumaid jooni ja peate seda sageli ehitama. Seetõttu pöörake erilist tähelepanu õppetunni viimasele lõigule, kus käsitlen selle kõvera asukoha tüüpilisi võimalusi.

    ! Märkus : nagu eelmiste kõverate puhul, on õigem rääkida pöörlemisest ja koordinaatide telgede paralleeltransleerimisest, kuid autor piirdub esitluse lihtsustatud versiooniga, et lugejal oleks nendest teisendustest elementaarne arusaam.

    Tõenäoliselt teavad kõik, mis on parabool. Kuid me vaatame allpool, kuidas seda õigesti ja asjatundlikult kasutada erinevate praktiliste probleemide lahendamisel.

    Kõigepealt kirjeldame põhimõisteid, mille algebra ja geomeetria sellele terminile annavad. Vaatleme selle graafiku kõiki võimalikke tüüpe.

    Uurime välja kõik selle funktsiooni peamised omadused. Saame aru kõvera ehitamise (geomeetria) põhitõdedest. Õppime, kuidas leida seda tüüpi graafiku tippväärtusi ja muid põhiväärtusi.

    Uurime välja: kuidas soovitud kõverat võrrandi abil õigesti konstrueerida, millele peate tähelepanu pöörama. Vaatame põhitõdesid praktiline rakendus see ainulaadne väärtus inimelus.

    Mis on parabool ja kuidas see välja näeb?

    Algebra: see termin viitab ruutfunktsiooni graafikule.

    Geomeetria: see on teist järku kõver, millel on mitmeid spetsiifilisi omadusi:

    Kanooniline parabooli võrrand

    Joonisel on kujutatud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (XOY), ekstreemum, funktsiooni harude suund, mis on joonistatud piki abstsisstelge.

    Kanooniline võrrand on järgmine:

    y 2 = 2 * p * x,

    kus koefitsient p on parabooli (AF) fookusparameeter.

    Algebras kirjutatakse see erinevalt:

    y = a x 2 + b x + c (äratuntav muster: y = x 2).

    Ruutfunktsiooni omadused ja graafik

    Funktsioonil on sümmeetriatelg ja keskpunkt (äärmus). Määratluspiirkond on kõik abstsisstelje väärtused.

    Funktsiooni väärtuste vahemik – (-∞, M) või (M, +∞) sõltub kõvera harude suunast. Parameeter M tähendab siin rea ülaosas oleva funktsiooni väärtust.

    Kuidas teha kindlaks, kuhu on suunatud parabooli harud

    Seda tüüpi kõvera suuna leidmiseks avaldisest peate määrama algebralise avaldise esimese parameetri ees oleva märgi. Kui a ˃ 0, siis on need suunatud ülespoole. Kui see on vastupidi, siis alla.

    Kuidas leida valemi abil parabooli tipp

    Ekstreemumi leidmine on paljude praktiliste probleemide lahendamise peamine samm. Muidugi saate avada spetsiaalse Interneti-kalkulaatorid, kuid parem on seda ise teha.

    Kuidas seda kindlaks teha? On olemas spetsiaalne valem. Kui b ei ole võrdne 0-ga, peame otsima selle punkti koordinaate.

    Valemid tipu leidmiseks:

    • x0 = -b/(2*a);
    • y 0 = y (x 0).

    Näide.

    On olemas funktsioon y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Leiame selle funktsiooni tipud.

    Sellise rea jaoks:

    • x = -16 / (2 * 4) = -2;
    • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

    Saame tipu koordinaadid (-2, -41).

    Parabooli nihe

    Klassikaline juhtum on see, kui ruutfunktsioonis y = a x 2 + b x + c on teine ​​ja kolmas parameeter võrdsed 0-ga ja = 1 - tipp asub punktis (0; 0).

    Liikumine mööda abstsissi või ordinaattelge on tingitud vastavalt parameetrite b ja c muutustest. Tasapinnal olevat joont nihutatakse täpselt parameetri väärtusega võrdse ühikute arvu võrra.

    Näide.

    Meil on: b = 2, c = 3.

    See tähendab, et kõvera klassikaline vorm nihkub piki abstsisstellge 2 ühiku võrra ja ordinaattelge 3 ühiku võrra.

    Kuidas ehitada ruutvõrrandi abil parabooli

    Koolilastel on oluline õppida etteantud parameetrite abil parabooli õigesti joonistama.

    Avaldiste ja võrrandite analüüsimisel näete järgmist.

    1. Soovitud sirge ja ordinaatvektori lõikepunkti väärtus on võrdne c-ga.
    2. Kõik graafiku punktid (piki x-telge) on funktsiooni peamise ekstreemumi suhtes sümmeetrilised.

    Lisaks saab OX-iga ristumispunkte leida, teades sellise funktsiooni diskriminanti (D):

    D = (b 2 - 4 * a * c).

    Selleks peate avaldise võrdsustama nulliga.

    Parabooli juurte olemasolu sõltub tulemusest:

    • D ˃ 0, siis x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
    • D = 0, siis x 1, 2 = -b / (2 * a);
    • D ˂ 0, siis puuduvad lõikepunktid vektoriga OX.

    Saame parabooli koostamise algoritmi:

    • määrata okste suund;
    • leida tipu koordinaadid;
    • leida ristumiskoht ordinaatteljega;
    • leida ristumiskoht x-teljega.

    Näide 1.

    Antud funktsioon y = x 2 - 5 * x + 4. On vaja konstrueerida parabool. Järgime algoritmi:

    1. a = 1, seega on oksad suunatud ülespoole;
    2. äärmuslikud koordinaadid: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
    3. lõikub ordinaatteljega väärtusel y = 4;
    4. leiame diskriminandi: D = 25 - 16 = 9;
    5. otsin juuri:
    • X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
    • X2 = (5-3) / 2 = 1; (1, 0).

    Näide 2.

    Funktsiooni y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 jaoks peate konstrueerima parabooli. Tegutseme antud algoritmi järgi:

    1. a = 3, seega on oksad suunatud ülespoole;
    2. äärmuslikud koordinaadid: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
    3. lõikub y-teljega väärtusel y = -1;
    4. leiame diskriminandi: D = 4 + 12 = 16. Nii et juured on:
    • X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
    • X2 = (2-4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

    Saadud punktide abil saate konstrueerida parabooli.

    Parabooli suund, ekstsentrilisus, fookus

    Kanoonilise võrrandi põhjal on F-i fookusel koordinaadid (p/2, 0).

    Sirge AB on suund (teatud pikkusega parabooli akord). Selle võrrand on x = -p/2.

    Ekstsentrilisus (konstant) = 1.

    Järeldus

    Vaatasime teemat, mida koolilapsed õpivad keskkooli. Nüüd teate parabooli ruutfunktsiooni vaadates, kuidas leida selle tipp, millises suunas oksad suunatakse, kas piki telge on nihkunud ja konstrueerimisalgoritmi olemasolul saate joonistada selle graafiku.

    Parabooli konstrueerimine on üks tuntumaid matemaatilisi tehteid. Üsna sageli kasutatakse seda mitte ainult teaduslikel eesmärkidel, vaid ka puhtalt praktilistel eesmärkidel. Uurime, kuidas seda protseduuri Exceli rakendustööriistade abil läbi viia.

    Parabool on järgmist tüüpi ruutfunktsiooni graafik f(x)=ax^2+bx+c. Üks selle tähelepanuväärseid omadusi on asjaolu, et parabool on sümmeetrilise kujundi kuju, mis koosneb punktide komplektist, mis asuvad otsejoonest võrdsel kaugusel. Üldiselt ei erine parabooli koostamine Excelis palju selle programmi mis tahes muu graafiku koostamisest.

    Tabeli koostamine

    Esiteks tuleks enne parabooli ehitamisega alustamist ehitada tabel, mille alusel see luuakse. Võtame näiteks funktsiooni graafiku konstrueerimise f(x)=2x^2+7.


    Graafiku joonistamine

    Nagu eespool mainitud, peame nüüd graafiku ise koostama.


    Diagrammi redigeerimine

    Nüüd saate saadud graafikut veidi muuta.


    Lisaks saate teostada saadud parabooli mis tahes muud tüüpi redigeerimist, sealhulgas muuta selle nime ja telgede nimesid. Need redigeerimismeetodid ei ületa muud tüüpi diagrammidega Excelis töötamise ulatust.

    Nagu näete, ei erine parabooli koostamine Excelis põhimõtteliselt teist tüüpi graafiku või diagrammi koostamisest samas programmis. Kõik toimingud tehakse eelnevalt loodud tabeli alusel. Lisaks tuleb arvestada, et parabooli konstrueerimiseks sobib kõige paremini hajuvusdiagramm.

    • Laadimine...
    Üles