Leidke vektorite ja baasi mittekuuluvate vektorite süsteemi alus, laiendage neid vastavalt alusele:
A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.
Lahendus. Mõelgem homogeenne süsteem lineaarvõrrandid
A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0
või laiendatud kujul 
.
Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil, ridu ja veerge vahetamata ning lisaks valides põhielemendi mitte vasakus ülanurgas, vaid kogu rea ulatuses. Väljakutse on vali teisendatud vektorite süsteemi diagonaalosa.
~ 
~
~ 
~ 
~ 
.
Algse vektorite lubatud süsteemil on vorm
A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,
Kus A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)
Vektorid A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 moodustavad diagonaalsüsteemi. Seetõttu vektorid A 1 , A 3 , A 4 moodustavad vektorsüsteemi aluse A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .
Laiendame nüüd vektoreid A 2 Ja A 5 alusel A 1 , A 3 , A 4. Selleks laiendame esmalt vastavaid vektoreid A 2 1 Ja A 5 1 diagonaalsüsteem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, pidades silmas, et vektori piki diagonaalsüsteemi laienemise koefitsiendid on selle koordinaadid x i.
Alates (1) on meil:
A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 · 1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .
A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 · 2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .
Vektorid A 2 Ja A 5 on laiendatud A 1 , A 3 , A 4 samade koefitsientidega kui vektorid A 2 1 Ja A 5 1 diagonaalsüsteem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (need koefitsiendid x i). Seega
A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .
Ülesanded. 1.Leia vektorite ja baasi mittekuuluvate vektorite süsteemi alus, laiendada neid vastavalt alusele:
1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.
2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.
3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
2. Leia kõik vektorsüsteemi alused:
1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.
2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.
Geomeetrias mõistetakse vektorit suunatud lõiguna ja üksteisest paralleeltranslatsiooni teel saadud vektoreid peetakse võrdseteks. Kõiki võrdseid vektoreid käsitletakse sama vektorina. Vektori alguspunkti saab paigutada mis tahes ruumi või tasapinna punkti.
Kui vektori otste koordinaadid on antud ruumis: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), siis
= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)
Sarnane valem kehtib ka lennukil. See tähendab, et vektori saab kirjutada koordinaatjoonena. Tehted vektoritega, nagu liitmine ja arvuga korrutamine, stringidega tehakse komponentide kaupa. See võimaldab laiendada vektori mõistet, mõistes vektorit kui mis tahes arvujada. Näiteks lineaarvõrrandisüsteemi lahendust, aga ka süsteemi muutujate mis tahes väärtuste komplekti saab vaadelda vektorina.
Sama pikkusega stringidel tehakse liitmisoperatsioon reegli järgi
(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+ b n). (2)
Stringi arvuga korrutamine järgib reeglit
l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)
Etteantud pikkusega reavektorite hulk n koos näidatud vektorite liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonidega moodustab algebralise struktuuri, mida nimetatakse n-mõõtmeline lineaarruum.
Lineaarne vektorite kombinatsioon on vektor 
, kus λ 1 , ... , λ m– suvalised koefitsiendid.
Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui selle lineaarne kombinatsioon on võrdne , milles on vähemalt üks nullist erinev koefitsient.
Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mis tahes lineaarses kombinatsioonis, mis on võrdne , on kõik koefitsiendid nullid.
Seega taandub vektorisüsteemi lineaarse sõltuvuse küsimuse lahendamine võrrandi lahendamiseks
x 1 + x 2 + … + x m = . (4)
Kui sellel võrrandil on nullist erinevad lahendid, siis on vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. Kui nulllahendus on unikaalne, siis on vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.
Süsteemi (4) lahendamiseks saab selguse huvides kirjutada vektorid mitte ridadena, vaid veergudena.
Seejärel, olles sooritanud vasakpoolsed teisendused, jõuame võrrandiga (4) võrdväärse lineaarvõrrandi süsteemini. Selle süsteemi põhimaatriksi moodustavad algsete vektorite koordinaadid, mis on paigutatud veergudesse. Siin pole vabade terminite veergu vaja, kuna süsteem on homogeenne.
Alus vektorite süsteem (lõplik või lõpmatu, eriti kogu lineaarruum) on selle mittetühi lineaarselt sõltumatu alamsüsteem, mille kaudu saab väljendada süsteemi mis tahes vektorit.
Näide 1.5.2. Leidke vektorite süsteemi alus = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ja väljendada ülejäänud vektorid aluse kaudu.
Lahendus. Koostame maatriksi, milles nende vektorite koordinaadid on paigutatud veergudesse. See on süsteemi maatriks x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Vähendame maatriksi astmelisele kujule:
~ 
~ 
~
Selle vektorite süsteemi aluse moodustavad vektorid , , , millele vastavad ringidena esile tõstetud ridade juhtelemendid. Vektori väljendamiseks lahendame võrrandi x 1 + x 2 + x 4 = . See taandub lineaarvõrrandisüsteemiks, mille maatriks saadakse originaalist, paigutades vabade terminite veeru asemele ümber väärtusele vastava veeru. Seetõttu tehakse maatriksil astmelisele kujule taandamisel samad teisendused nagu ülal. See tähendab, et saate saadud maatriksit kasutada astmeliselt, tehes selles vajalikud veergude ümberpaigutused: asetame veerud ringidega vertikaalse riba vasakule ja vektorile vastav veerg asetatakse paremale. baarist.
Leiame järjekindlalt:
x 4 = 0;
x 2 = 2;
x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;
Kommenteeri. Kui aluse kaudu on vaja väljendada mitut vektorit, siis igaühele neist konstrueeritakse vastav lineaarvõrrandisüsteem. Need süsteemid erinevad ainult tasuta liikmete veergudes. Pealegi lahendatakse iga süsteem teistest sõltumatult.
Harjutus 1.4. Leidke vektorite süsteemi alus ja väljendage ülejäänud vektorid aluse kaudu:
a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);
b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);
c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).
Teatud vektorite süsteemis saab baasi tavaliselt identifitseerida erineval viisil, kuid kõigil alustel on sama arv vektoreid. Lineaarruumi baasil olevate vektorite arvu nimetatakse ruumi dimensiooniks. Sest n-mõõtmeline lineaarruum n– see on ruumi mõõde, kuna sellel ruumil on standardbaas = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0) , ... , 1). Selle aluse kaudu on suvaline vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) väljendatakse järgmiselt:
= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =
A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .
Seega komponendid vektori reas = (a 1 , a 2 , … , a n) on selle koefitsiendid laienduses läbi standardaluse.
Sirged jooned tasapinnal
Analüütilise geomeetria ülesanne on koordinaatide meetodi rakendamine geomeetriliste ülesannete lahendamisel. Seega tõlgitakse ülesanne algebraliseks vormiks ja lahendatakse algebra abil.
Kui uurisime n-mõõtmelise vektori mõisteid ja tutvustasime vektoritega tehteid, saime teada, et kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulk genereerib lineaarse ruumi. Selles artiklis räägime kõige olulisematest seotud mõistetest - vektorruumi mõõtmest ja alusest. Vaatleme ka teoreemi suvalise vektori alusteks laiendamise ja n-mõõtmelise ruumi erinevate aluste vahelise seose kohta. Uurime üksikasjalikult tüüpiliste näidete lahendusi.
Leheküljel navigeerimine.
Vektorruumi ja aluse dimensiooni mõiste.
Vektorruumi mõõtme ja aluse mõisted on otseselt seotud lineaarselt sõltumatu vektorite süsteemi mõistega, seega soovitame vajadusel viidata artiklile vektorite süsteemi lineaarne sõltuvus, lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse omadused. .
Definitsioon.
Vektorruumi mõõde on arv, mis on võrdne selles ruumis olevate lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalse arvuga.
Definitsioon.
Vektorruumi alus on selle ruumi lineaarselt sõltumatute vektorite järjestatud kogum, mille arv on võrdne ruumi mõõtmega.
Toome nende definitsioonide põhjal mõned põhjendused.
Vaatleme n-mõõtmeliste vektorite ruumi.
Näitame, et selle ruumi mõõde on n.
Võtame n vormi ühikuvektori süsteemi
Võtame need vektorid maatriksi A ridadena. Sel juhul on maatriks A identsusmaatriks mõõtmetega n x n. Selle maatriksi auaste on n (vajadusel vaadake artiklit). Seetõttu vektorite süsteem 
on lineaarselt sõltumatu ja sellesse süsteemi ei saa lisada ühtegi vektorit ilma selle lineaarset sõltumatust rikkumata. Kuna vektorite arv süsteemis võrdub siis n-ga n-mõõtmeliste vektorite ruumi mõõde on n ja ühikvektorid on selle ruumi aluseks.
Viimasest väitest ja aluse määratlusest võime järeldada, et mis tahes n-mõõtmeliste vektorite süsteem, mille vektorite arv on väiksem kui n, ei ole aluseks.
Nüüd vahetame süsteemi esimese ja teise vektori . Lihtne on näidata, et saadud vektorite süsteem 
on ka n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Loome maatriksi, võttes selle süsteemi ridadeks vektorid. Selle maatriksi saab identiteedimaatriksist esimest ja teist rida vahetades, seega on selle auaste n. Seega n vektori süsteem on lineaarselt sõltumatu ja on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks.
Kui paigutame ümber süsteemi teised vektorid , siis saame teise aluse.
Kui võtta lineaarselt sõltumatu mitteühikvektorite süsteem, siis on see ka n-mõõtmelise vektorruumi aluseks.
Seega n-mõõtmelisel vektorruumil on nii palju aluseid, kui on lineaarselt sõltumatuid süsteeme n n-mõõtmelisest vektorist.
Kui me räägime kahemõõtmelisest vektorruumist (st tasapinnast), siis on selle aluseks suvalised kaks mittekollineaarset vektorit. Kolmemõõtmelise ruumi aluseks on mis tahes kolm mittetasatasandilist vektorit.
Vaatame mõnda näidet.
Näide.
Kas vektorid on kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks?
Lahendus.
Uurime seda vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse jaoks. Selleks loome maatriksi, mille read on vektorite koordinaadid, ja leiame selle järjestuse: 
Seega on vektorid a, b ja c lineaarselt sõltumatud ja nende arv on võrdne vektorruumi mõõtmega, seega on nad selle ruumi aluseks.
Vastus:
Jah, nad on.
Näide.
Kas vektorite süsteem võib olla vektorruumi aluseks?
Lahendus.
See vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kuna lineaarselt sõltumatute kolmemõõtmeliste vektorite maksimaalne arv on kolm. Järelikult ei saa see vektorite süsteem olla kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks (kuigi aluseks on algse vektorite süsteemi alamsüsteem).
Vastus:
Ei, ei saa.
Näide.
Veenduge, et vektorid 
võib olla neljamõõtmelise vektorruumi aluseks.
Lahendus.
Loome maatriksi, võttes selle ridadeks algsed vektorid: 
Leiame: 
Seega on vektorite süsteem a, b, c, d lineaarselt sõltumatu ja nende arv on võrdne vektorruumi mõõtmega, seetõttu on selle aluseks a, b, c, d.
Vastus:
Algsed vektorid on tõepoolest neljamõõtmelise ruumi aluseks.
Näide.
Kas vektorid moodustavad 4-mõõtmelise vektorruumi aluse?
Lahendus.
Isegi kui algne vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, ei piisa selles olevate vektorite arvust, et olla neljamõõtmelise ruumi aluseks (sellise ruumi alus koosneb 4 vektorist).
Vastus:
Ei, ei ole.
Vektori lagunemine vektoriruumi aluse järgi.
Olgu suvalised vektorid on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Kui lisada neile mingi n-mõõtmeline vektor x, siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. Lineaarse sõltuvuse omadustest teame, et vähemalt üks lineaarselt sõltuva süsteemi vektor väljendub lineaarselt teiste kaudu. Teisisõnu, vähemalt üks lineaarselt sõltuva süsteemi vektoritest laiendatakse ülejäänud vektoriteks.
See viib meid väga olulise teoreemi juurde.
Teoreem.
Iga n-mõõtmelise vektorruumi vektori saab unikaalselt lagundada baasiks.
Tõestus.
Lase - n-mõõtmelise vektorruumi alus. Lisame nendele vektoritele n-mõõtmelise vektori x. Siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltuv ja vektorit x saab lineaarselt väljendada vektorites : , kus on mõned numbrid. Nii saime vektori x laienduse aluse suhtes. Jääb üle tõestada, et see lagunemine on ainulaadne.
Oletame, et on veel üks lagunemine, kus 
- mõned numbrid. Viimase võrrandi vasakust ja paremast küljest lahutame vastavalt võrrandi vasak ja parem pool:
Kuna baasvektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse definitsiooni järgi on saadud võrdsus võimalik ainult siis, kui kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga. Seetõttu , mis tõestab vektori laienemise unikaalsust aluse osas.
Definitsioon.
Koefitsiente nimetatakse vektori x koordinaadid baasis .
Olles tutvunud teoreemiga vektori baasiks lagunemise kohta, hakkame mõistma avaldise "meile on antud n-mõõtmeline vektor" olemust. 
" See avaldis tähendab, et me käsitleme x n -mõõtmelise vektorruumi vektorit, mille koordinaadid on määratletud mingil alusel. Samal ajal saame aru, et n-mõõtmelise vektorruumi teises aluses oleva sama vektori x koordinaadid erinevad .
Vaatleme järgmist probleemi.
Olgu meile antud n lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev süsteem n-mõõtmelise vektorruumi mõnel alusel 
ja vektor . Siis vektorid on ka selle vektorruumi aluseks.
Peame leidma baasist vektori x koordinaadid . Tähistame need koordinaadid kui .
Vektor x baasis on idee. Kirjutame selle võrdsuse koordinaatide kujul:
See võrdsus on samaväärne n lineaarse süsteemiga algebralised võrrandid n tundmatu muutujaga :
Selle süsteemi põhimaatriksil on vorm 
Tähistame seda tähega A. Maatriksi A veerud tähistavad lineaarselt sõltumatu vektorisüsteemi vektoreid , seega on selle maatriksi auaste n, seega on selle determinant nullist erinev. See asjaolu näitab, et võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus, mille saab leida mis tahes meetodiga, näiteks või.
Nii leitakse vajalikud koordinaadid vektor x baasis .
Vaatame teooriat näidete abil.
Näide.
Mõnes kolmemõõtmelise vektorruumi aluses on vektorid antud 
Veendu, et vektorite süsteem on ühtlasi selle ruumi aluseks ja leia sellest baasist vektori x koordinaadid.
Lahendus.
Et vektorite süsteem oleks kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks, peab see olema lineaarselt sõltumatu. Selgitame selle välja maatriksi A astme määramisega, mille read on vektorid. Leiame auastme Gaussi meetodil 
seega Rank(A) = 3, mis näitab vektorite süsteemi lineaarset sõltumatust.
Niisiis, vektorid on aluseks. Olgu vektoril x selles baasis koordinaadid. Seejärel, nagu eespool näitasime, annab selle vektori koordinaatide vahelise seose võrrandisüsteem 
Asendades sellesse tingimusest teada olevad väärtused, saame 
Lahendame selle Crameri meetodil: 
Seega on vektoril x baasis koordinaadid 
.
Vastus:
Näide.
Mingil alusel 
neljamõõtmelisest vektorruumist on antud lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem 
On teada, et 
. Leia baasist vektori x koordinaadid .
Lahendus.
Kuna vektorite süsteem 
tingimuselt lineaarselt sõltumatu, siis on see neljamõõtmelise ruumi alus. Siis võrdsus tähendab, et vektor x baasis on koordinaadid. Tähistame vektori x koordinaadid baasis Kuidas .
Võrrandisüsteem, mis määratleb vektori x koordinaatide vahelise seose alustes Ja näeb välja nagu 
Me asendame selle teadaolevad väärtused ja leidke vajalikud koordinaadid: 
Vastus:
.
Aluste vaheline seos.
Olgu kaks lineaarselt sõltumatut vektorisüsteemi antud mingis n-mõõtmelise vektorruumi aluses 
Ja
ehk need on ka selle ruumi alused.
Kui 
- vektori koordinaadid baasis , siis koordinaatide ühendus 
Ja on antud lineaarsete võrrandite süsteemiga (me rääkisime sellest eelmises lõigus): 
, mille maatrikskujul saab kirjutada kui 
Samamoodi saame kirjutada vektori kohta 
Eelmised maatriksvõrdused saab ühendada üheks, mis sisuliselt määratleb kahe erineva aluse vektorite vahelise seose 
Samamoodi saame väljendada kõiki baasvektoreid aluse kaudu 
:
Definitsioon.
Maatriks 
helistas üleminekumaatriks aluselt alusele , siis on võrdsus tõsi 
Korrutades selle võrdsuse mõlemad pooled paremalt poolt
saame 
Leiame üleminekumaatriksi, kuid me ei peatu üksikasjalikult pöördmaatriksi leidmisel ja maatriksite korrutamisel (vt artikleid ja vajadusel): 
Jääb välja selgitada vektori x koordinaatide seos antud alustes.
Olgu siis vektoril x koordinaadid baasis 
ja aluses on vektoril x koordinaadid , siis 
Kuna kahe viimase võrdsuse vasakpoolsed küljed on samad, saame paremad pooled võrdsustada: 
Kui me korrutame mõlemad parempoolsed küljed arvuga
siis saame 
Teisel pool 
(leida pöördmaatriksüksinda).
Kaks viimast võrdsust annavad meile vajaliku seose vektori x koordinaatide vahel alustes ja .
Vastus:
Üleminekumaatriksil baasilt alusele on vorm 
;
vektori x koordinaadid alustes ja on seotud suhetega 
või .
Uurisime vektorruumi dimensiooni ja baasi mõisteid, õppisime vektorit baasiks lammutama ning avastasime üleminekumaatriksi kaudu seose n-mõõtmelise vektorruumi erinevate aluste vahel.
Loengud algebrast ja geomeetriast. 1. semester.
Loeng 9. Vektorruumi alused.
Kokkuvõte: vektorite süsteem, vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon, vektorite süsteemi lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid, alus sirgel, tasapinnal ja ruumis, vektoriruumide mõõtmed sirgel, tasapinnal ja ruumis, dekomponeerimine vektor piki baasi, vektori koordinaadid baasi suhtes, võrduslause kaks vektorit, lineaartehted vektoritega koordinaatide tähistuses, vektorite ortonormaalne kolmik, vektorite parem- ja vasakkolmik, ortonormaalne alus, vektori algebra põhiteoreem.
Peatükk 9. Vektorruumi alused ja vektori lagunemine baasi suhtes.
punkt 1. Alusel sirgjoonel, tasapinnal ja ruumis.
Definitsioon. Igasugust lõplikku vektorite hulka nimetatakse vektorite süsteemiks.
Definitsioon. Väljend kus 
nimetatakse vektorite süsteemi lineaarseks kombinatsiooniks 
ja numbrid 
nimetatakse selle lineaarse kombinatsiooni koefitsientideks.
Olgu L, P ja S vastavalt sirgjoon, tasapind ja punktide ruum ning 
. Siis 
– vektorite vektorruumid suunatud lõikudena vastavalt sirgel L, tasapinnal P ja ruumis S.
kutsutakse mis tahes nullist erinevat vektorit 
, st. mis tahes nullist erinev vektor, mis on sirge L suhtes kollineaarne: 
Ja 
.
Aluse määramine 
:
– alus 
.
Definitsioon. Vektorruumi alused 
on mis tahes järjestatud mittekollineaarsete vektorite paar ruumis 
.
, Kus 
,
– alus 
.
Definitsioon. Vektorruumi alused 
on ruumi mis tahes järjestatud kolmik mitte-tasapinnaliste vektorite (st ei asu samal tasapinnal) 
.
– alus 
.
Kommenteeri. Vektorruumi alus ei saa sisaldada nullvektorit: ruumis 
määratluse järgi ruumis 
kaks vektorit on ruumis kollineaarsed, kui vähemalt üks neist on null 
kolm vektorit on tasapinnalised, st nad asuvad samal tasapinnal, kui vähemalt üks kolmest vektorist on null.
punkt 2. Vektori lagunemine baasi järgi.
Definitsioon. Lase 
- suvaline vektor, 
– suvaline vektorite süsteem. Kui võrdsus kehtib
siis nad ütlevad, et vektor 
esitatakse antud vektorite süsteemi lineaarse kombinatsioonina. Kui antud vektorite süsteem 
on vektorruumi alus, siis võrdsust (1) nimetatakse vektori lagunemiseks 
alusel 
. Lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid 
nimetatakse sel juhul vektori koordinaatideks 
aluse suhtes 
.
Teoreem. (Vektori lagunemise kohta aluse suhtes.)
Iga vektorruumi vektorit saab laiendada selle baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.
Tõestus. 1) Olgu L suvaline sirge (või telg) ja 
– alus 
. Võtame suvalise vektori 
. Kuna mõlemad vektorid 
Ja 
kollineaarne samale sirgele L, siis 
. Kasutame teoreemi kahe vektori kollineaarsuse kohta. Sest 
, siis on (olemas) selline arv 
, Mida 
ja seega saime vektori lagunemise 
alusel 
vektorruum 
.
Nüüd tõestame sellise lagunemise unikaalsust. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni 
alusel 
vektorruum 
:
Ja 
, Kus 
. Siis 
ja jaotusseadust kasutades saame:
Sest 
, siis viimasest võrdsusest järeldub, et 
jne.
2) Olgu nüüd P suvaline tasapind ja 
– alus 
. Lase 
selle tasandi suvaline vektor. Joonistame kõik kolm vektorit selle tasandi mis tahes punktist. Ehitame 4 sirget. Teeme otse 
, millel vektor asub 
, sirge 
, millel vektor asub 
. Läbi vektori otsa 
tõmmake vektoriga paralleelne sirgjoon 
ja vektoriga paralleelne sirge 
. Need 4 sirget nikerdavad rööpküliku. Vaata allpool joon. 3. Rööpkülikureegli järgi 
, Ja 
,
,
– alus 
,
– alus 
.
Nüüd, selle tõestuse esimeses osas juba tõestatu kohaselt on sellised arvud olemas 
, Mida
Ja 
. Siit saame:
ja baasi laiendamise võimalus on tõestatud.
Nüüd tõestame laienduse unikaalsust aluse osas. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni 
alusel 
vektorruum 
:
Ja 
. Saame võrdsuse
Kust see tuleb? 
. Kui 
, See 
, ja sellepärast 
, See 
ja laienduskoefitsiendid on võrdsed: 
,
. Las see nüüd 
. Siis 
, Kus 
. Kahe vektori kollineaarsuse teoreemist järeldub, et 
. Oleme saanud vastuolu teoreemi tingimustega. Seega 
Ja 
jne.
3) Lase 
– alus 
ja lase 
suvaline vektor. Teostame järgmised konstruktsioonid.
Jätame kõrvale kõik kolm baasvektorit 
ja vektor 
ühest punktist ja konstrueerida 6 tasapinda: tasapind, millel asuvad baasvektorid 
, lennuk 
ja lennuk 
; edasi läbi vektori otsa 
Joonistame kolm tasandit paralleelselt kolme äsja konstrueeritud tasapinnaga. Need 6 tasapinda nikerdavad rööptahuka:
Kasutades vektorite liitmise reeglit, saame võrdsuse:
.
(1)
Ehituse järgi 
. Siit järeldub kahe vektori kollineaarsuse teoreemiga, et on olemas arv 
, selline 
. Samamoodi 
Ja 
, Kus 
. Nüüd, asendades need võrdsused (1), saame:
ja baasi laiendamise võimalus on tõestatud.
Tõestame sellise lagunemise unikaalsust. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni 
alusel 
:
JA . Siis
Pange tähele, et tingimuse järgi vektorid 
mittekoplanaarsed, seega on nad paarikaupa mittekollineaarsed.
Võimalikud on kaks juhtumit: 
või 
.
a) Lase 
, siis võrdsusest (3) järeldub:
.
(4)
Võrdusest (4) järeldub, et vektor 
laieneb vastavalt alusele 
, st. vektor 
asub vektortasandil 
ja seega ka vektorid 
koplanaarne, mis on tingimusega vastuolus.
b) Juhtum jääb alles 
, st. 
.
Sest 
Siis võrdsusest (3) saame või 
Ja 
jne.
on tasapinnal asuvate vektorite ruumi alus ja me oleme juba tõestanud tasandi vektorite baasi laienemise unikaalsust, siis võrdsusest (5) järeldub, et
Teoreem on tõestatud.
Tagajärg. 
1) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus
ja reaalarvude hulk R. 
2) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus 
3) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus 
ja Descartes'i kuubik 
reaalarvude komplekt R.
Tõestus. Tõestame kolmandat väidet. Kaks esimest on tõestatud sarnasel viisil.
Valige ja fikseerige ruumis 
mingi alus 
ja korraldada väljapanek 
vastavalt järgmisele reeglile:
need. Seostame iga vektori selle koordinaatide järjestatud hulgaga.
Kuna kindlal alusel on igal vektoril üks koordinaatide komplekt, on reegliga (6) määratud vastavus tõepoolest vastendus.
Teoreemi tõestusest järeldub, et erinevatel vektoritel on sama aluse suhtes erinevad koordinaadid, s.t. kaardistamine (6) on süstimine.
Lase 
suvaline järjestatud reaalarvude hulk.
Mõelge vektorile 
. Ehituse järgi on sellel vektoril koordinaadid 
. Järelikult on kaardistamine (6) surjektsioon.
Kaardistus, mis on nii injektiivne kui ka sürjektiivne, on bijektiivne, st. üks-ühele jne.
Uurimine on tõestatud.
Teoreem. (Kahe vektori võrdsuse kohta.)
Kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende koordinaadid sama aluse suhtes on võrdsed.
Tõestus tuleneb vahetult eelmisest järeldusest.
punkt 3. Vektorruumi mõõde.
Definitsioon. Vektorruumi baasil olevate vektorite arvu nimetatakse selle dimensiooniks.
Nimetus: 
– vektorruumi V mõõde.
Seega on meil vastavalt sellele ja eelmistele määratlustele:
1)
– sirge L vektorite vektorruum.
– alus 
,
,
,
– vektori lagunemine 
alusel 
,
– vektori koordinaat 
aluse suhtes 
.
2)
– tasandi R vektorite vektorruum.
– alus 
,
,
,
– vektori lagunemine 
alusel 
,
- vektori koordinaadid 
aluse suhtes 
.
3)
– vektorite vektorruum punktide S ruumis.
– alus 
,
,
– vektori lagunemine 
alusel 
,
- vektori koordinaadid 
aluse suhtes 
.
Kommenteeri. Kui 
, See 
ja saate valida aluse 
ruumi 
Niisiis 
– alus 
Ja 
– alus 
. Siis 
, Ja 
,
.
Seega saab mistahes sirge L, tasandi P ja ruumi S vektorit alusele laiendada 
:
Määramine. Vektorite võrdsuse teoreemi alusel saame identifitseerida mis tahes vektori, millel on järjestatud reaalarvude kolmik, ja kirjutada:
See on võimalik ainult siis, kui alus 
fikseeritud ja pole ohtu sassi minna.
Definitsioon. Vektori kirjutamist reaalarvude järjestatud kolmiku kujul nimetatakse vektori kirjutamise koordinaatvormiks: 
.
punkt 4. Lineaartehted vektoritega koordinaatide tähistuses.
Lase 
– ruumi alus 
Ja 
on kaks selle suvalist vektorit. Lase 
Ja 
– nende vektorite salvestamine koordinaatide kujul. Lase edasi, 
on suvaline reaalarv. Seda tähistust kasutades kehtib järgmine teoreem.
Teoreem. (Koordinaadikujuliste vektoritega lineaarsete operatsioonide kohta.)
2)
.
Teisisõnu, kahe vektori liitmiseks tuleb lisada neile vastavad koordinaadid ja vektori arvuga korrutamiseks tuleb antud vektori iga koordinaat antud arvuga korrutada.
Tõestus. Kuna vastavalt teoreemi tingimustele, siis kasutades vektorruumi aksioome, mis juhivad vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise toiminguid, saame:
Siit järeldub.
Teine võrdsus on tõestatud sarnaselt.
on tasapinnal asuvate vektorite ruumi alus ja me oleme juba tõestanud tasandi vektorite baasi laienemise unikaalsust, siis võrdsusest (5) järeldub, et
punkt 5. Ortogonaalsed vektorid. Ortonormaalne alus.
Definitsioon. Kaht vektorit nimetatakse ortogonaalseteks, kui nendevaheline nurk on võrdne täisnurgaga, s.t. 
.
Nimetus: 
- vektorid 
Ja 
ortogonaalne.
Definitsioon. Vektorite troika 
nimetatakse ortogonaalseks, kui need vektorid on paarikaupa üksteise suhtes ortogonaalsed, s.t. 
,
.
Definitsioon. Vektorite troika 
nimetatakse ortonormaalseks, kui see on ortogonaalne ja kõigi vektorite pikkused on võrdsed ühega: 
.
Kommenteeri. Definitsioonist järeldub, et vektorite ortogonaalne ja seega ka ortonormaalne kolmik on mittetasapinnaline.
Definitsioon. Järjestatud vektorite mittetasapinnaline kolmik 
ühest punktist joonistatud nimetatakse paremale (paremale orienteeritud), kui vaadeldakse kolmanda vektori lõpust 
tasapinnale, millel asuvad kaks esimest vektorit 
Ja 
, esimese vektori lühim pöörlemine 
teisele 
toimub vastupäeva. Vastasel juhul nimetatakse vektorite kolmikut vasakpoolseks (vasakule orienteeritud).
Siin, joonisel 6, on näidatud parempoolsed kolm vektorit 
. Järgmine joonis 7 näitab vektorite vasakpoolset kolme 
:
Definitsioon. Alus 
vektorruum 
nimetatakse ortonormaalseks, kui 
vektorite ortonormaalne kolmik.
Määramine. Järgnevalt kasutame õiget ortonormaalset alust 
, vaata järgmist joonist.
Vormi väljendamine helistas vektorite lineaarne kombinatsioon A 1, A 2,...,A n koefitsientidega λ 1, λ 2,...,λ n.
Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse määramine
Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltuv, kui on nullist erinev arvude hulk λ 1, λ 2,...,λ n, milles vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga, see tähendab võrrandisüsteemi: on nullist erinev lahendus.
Numbrite komplekt λ 1, λ 2,...,λ n on nullist erinev, kui vähemalt üks arvudest λ 1, λ 2,...,λ n nullist erinev.
Vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse määramine
Näide 29.1Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltumatu, kui nende vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga ainult nullarvude hulga puhul λ 1, λ 2,...,λ n , see tähendab võrrandisüsteemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ on ainulaadne nulllahendus.
Kontrollige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv
Lahendus:
1. Koostame võrrandisüsteemi:
2. Lahendame selle Gaussi meetodil. Süsteemi Jordanano teisendused on toodud tabelis 29.1. Arvutamisel süsteemi paremaid külgi üles ei kirjutata, kuna need on võrdsed nulliga ega muutu Jordani teisenduste käigus.
3. Tabeli kolmest viimasest reast kirjutage üles lahendatud süsteem, mis on samaväärne algse süsteemiga süsteem:
4. Me saame üldine lahendus süsteemid:
5. Olles määranud vaba muutuja väärtuse x 3 =1 oma äranägemise järgi, saame konkreetse nullist erineva lahenduse X=(-3,2,1).
Vastus: Seega nullist erineva arvude hulga (-3,2,1) korral võrdub vektorite lineaarne kombinatsioon nullvektoriga -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Seega vektorsüsteem lineaarselt sõltuv.
Vektorsüsteemide omadused
Vara (1)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, siis vähemalt ühte vektorit laiendatakse teiste suhtes ja vastupidi, kui vähemalt ühte süsteemi vektorit laiendatakse teiste suhtes, siis vektorite süsteem. on lineaarselt sõltuv.
Vara (2)
Kui mis tahes vektorite alamsüsteem on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv kogu süsteem.
Vara (3)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis on iga selle alamsüsteem lineaarselt sõltumatu.
Kinnistu (4)
Iga nullvektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.
Kinnisvara (5)
M-mõõtmeliste vektorite süsteem on alati lineaarselt sõltuv, kui vektorite arv n on suurem kui nende mõõde (n>m)
Vektorsüsteemi alused
Vektorsüsteemi alus A 1 , A 2 ,..., A sellist alamsüsteemi B 1 , B 2 ,...,B r nimetatakse(iga vektorid B 1, B 2,..., B r on üks vektoritest A 1, A 2,..., A n), mis vastab järgmistele tingimustele:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem;
2. mis tahes vektor A j Süsteemi A 1 , A 2 ,..., A n väljendatakse lineaarselt läbi vektorite B 1 , B 2 ,..., B rr— baasis sisalduvate vektorite arv.
Teoreem 29.1 Vektorite süsteemi ühiku alusel.Kui m-mõõtmeliste vektorite süsteem sisaldab m erinevat ühikvektorit E 1 E 2 ,..., E m , siis moodustavad need süsteemi aluse.
Algoritm vektorite süsteemi aluse leidmiseks
Vektorite süsteemi A 1 ,A 2 ,...,A n aluse leidmiseks on vaja:
- Loo homogeenne vektorisüsteemile vastav võrrandisüsteem A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- Tooge see süsteem
Laadimine...