Nurk vektorite vahel

Vaatleme kahte antud vektorit $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$. Lahutame suvaliselt valitud punktist $O$ vektorid $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ ja $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, siis nimetatakse nurka $AOB$ nurk vektorite $\overrightarrow( a)$ ja $\overrightarrow(b)$ vahel (joonis 1).

Pilt 1.

Pange tähele, et kui vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ on samasuunalised või üks neist on nullvektor, siis on vektorite vaheline nurk $0^0$.

Tähistus: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektorite skalaarkorrutise mõiste

Matemaatiliselt saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt:

Punktkorrutis võib olla null kahel juhul:

Kui üks vektoritest on nullvektor (Sellest ajast on selle pikkus null).

Kui vektorid on üksteisega risti (st $cos(90)^0=0$).

Pange tähele ka seda, et skalaarkorrutis on suurem kui null, kui nende vektorite vaheline nurk on terav (kuna $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , ja väiksem kui null, kui nende vektorite vaheline nurk on nüri (kuna $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Skalaarkorrutise mõistega on seotud skalaarruudu mõiste.

2. definitsioon

Vektori $\overrightarrow(a)$ skalaarruut on selle vektori skalaarkorrutis iseendaga.

Leiame, et skalaarruut on võrdne

Punktkorrutise arvutamine vektori koordinaatide järgi

Lisaks definitsioonist tulenevale standardsele skalaarkorrutise väärtuse leidmise viisile on veel üks viis.

Mõelgem sellele.

Olgu vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ koordinaadid vastavalt $\left(a_1,b_1\right)$ ja $\left(a_2,b_2\right)$.

1. teoreem

Vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ skalaarkorrutis on võrdne vastavate koordinaatide korrutistega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Tõestus.

Teoreem on tõestatud.

Sellel teoreemil on mitmeid tagajärgi:

Järeldus 1: Vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ on risti siis ja ainult siis, kui $a_1a_2+b_1b_2=0$

Järeldus 2: Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektorite skalaarkorrutise omadused

Mis tahes kolme vektori ja reaalarvu $k$ puhul kehtib järgmine:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

See omadus tuleneb skalaarruudu definitsioonist (Definitsioon 2).

Reisiseadus:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

See omadus tuleneb skalaarkorrutise definitsioonist (1. definitsioon).

Jaotusseadus:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(loetlema)

Teoreemi 1 järgi on meil:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Kombinatsiooni seadus:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(loetlema)

Teoreemi 1 järgi on meil:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Näide ülesandest vektorite skalaarkorrutise arvutamiseks

Näide 1

Leidke vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ skalaarkorrutis, kui $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ ja $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$ ja nende vaheline nurk on $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Lahendus.

Kasutades 1. definitsiooni, saame

$(30)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ paremal)=-3\sqrt(2)\]

Nurk vektorite vahel

Pilt 1.

Pange tähele, et kui vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ on samasuunalised või üks neist on nullvektor, siis on vektorite vaheline nurk $0^0$.

Tähistus: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektorite skalaarkorrutise mõiste

Matemaatiliselt saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt:

Punktkorrutis võib olla null kahel juhul:

Kui üks vektoritest on nullvektor (Sellest ajast on selle pikkus null).

Kui vektorid on üksteisega risti (st $cos(90)^0=0$).

Skalaarkorrutise mõistega on seotud skalaarruudu mõiste.

2. definitsioon

Vektori $\overrightarrow(a)$ skalaarruut on selle vektori skalaarkorrutis iseendaga.

Leiame, et skalaarruut on võrdne

Punktkorrutise arvutamine vektori koordinaatide järgi

Lisaks definitsioonist tulenevale standardsele skalaarkorrutise väärtuse leidmise viisile on veel üks viis.

Mõelgem sellele.

Olgu vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ koordinaadid vastavalt $\left(a_1,b_1\right)$ ja $\left(a_2,b_2\right)$.

1. teoreem

Vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ skalaarkorrutis on võrdne vastavate koordinaatide korrutistega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Tõestus.

Teoreem on tõestatud.

Sellel teoreemil on mitmeid tagajärgi:

Järeldus 1: Vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ on risti siis ja ainult siis, kui $a_1a_2+b_1b_2=0$

Järeldus 2: Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektorite skalaarkorrutise omadused

Mis tahes kolme vektori ja reaalarvu $k$ puhul kehtib järgmine:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

See omadus tuleneb skalaarruudu definitsioonist (Definitsioon 2).

Reisiseadus:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

See omadus tuleneb skalaarkorrutise definitsioonist (1. definitsioon).

Jaotusseadus:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(loetlema)

Teoreemi 1 järgi on meil:

Kombinatsiooni seadus:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(loetlema)

Teoreemi 1 järgi on meil:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Näide ülesandest vektorite skalaarkorrutise arvutamiseks

Näide 1

Lahendus.

Kasutades 1. definitsiooni, saame

$(30)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ paremal)=-3\sqrt(2)\]

Nurk vektorite vahel

Pilt 1.

Pange tähele, et kui vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ on samasuunalised või üks neist on nullvektor, siis on vektorite vaheline nurk $0^0$.

Tähistus: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektorite skalaarkorrutise mõiste

Matemaatiliselt saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt:

Punktkorrutis võib olla null kahel juhul:

Kui üks vektoritest on nullvektor (Sellest ajast on selle pikkus null).

Kui vektorid on üksteisega risti (st $cos(90)^0=0$).

Skalaarkorrutise mõistega on seotud skalaarruudu mõiste.

2. definitsioon

Vektori $\overrightarrow(a)$ skalaarruut on selle vektori skalaarkorrutis iseendaga.

Leiame, et skalaarruut on võrdne

Punktkorrutise arvutamine vektori koordinaatide järgi

Lisaks definitsioonist tulenevale standardsele skalaarkorrutise väärtuse leidmise viisile on veel üks viis.

Mõelgem sellele.

Olgu vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ koordinaadid vastavalt $\left(a_1,b_1\right)$ ja $\left(a_2,b_2\right)$.

1. teoreem

Vektorite $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ skalaarkorrutis on võrdne vastavate koordinaatide korrutistega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Tõestus.

Teoreem on tõestatud.

Sellel teoreemil on mitmeid tagajärgi:

Järeldus 1: Vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ on risti siis ja ainult siis, kui $a_1a_2+b_1b_2=0$

Järeldus 2: Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektorite skalaarkorrutise omadused

Mis tahes kolme vektori ja reaalarvu $k$ puhul kehtib järgmine:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

See omadus tuleneb skalaarruudu definitsioonist (Definitsioon 2).

Reisiseadus:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

See omadus tuleneb skalaarkorrutise definitsioonist (1. definitsioon).

Jaotusseadus:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(loetlema)

Teoreemi 1 järgi on meil:

Kombinatsiooni seadus:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(loetlema)

Teoreemi 1 järgi on meil:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Näide ülesandest vektorite skalaarkorrutise arvutamiseks

Näide 1

Lahendus.

Kasutades 1. definitsiooni, saame

$(30)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ eest

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ paremal)=-3\sqrt(2)\]

Vektorite punktkorrutis

Jätkame vektoritega tegelemist. Esimesel õppetunnil Mannekeenide vektorid Vaatasime vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate ja lihtsamaid ülesandeid vektoritega. Kui sattusite sellele lehele esimest korda otsingumootori kaudu, soovitan tungivalt lugeda ülaltoodud sissejuhatavat artiklit, kuna materjali valdamiseks peate teadma minu kasutatavaid termineid ja tähistusi, omama elementaarseid teadmisi vektorite ja oskama põhiprobleeme lahendada. See õppetund on teema loogiline jätk ja selles analüüsin üksikasjalikult tüüpilisi ülesandeid, mis kasutavad vektorite skalaarkorrutist. See on VÄGA OLULINE tegevus.. Proovige mitte jätta näiteid vahele; nendega on kaasas kasulik lisand – harjutamine aitab teil käsitletud materjali koondada ja paremini lahendada analüütilise geomeetria tavalisi probleeme.

Vektorite liitmine, vektori korrutamine arvuga.... Naiivne oleks arvata, et matemaatikud pole midagi muud välja mõelnud. Lisaks juba käsitletud toimingutele on mitmeid muid vektoritega toiminguid, nimelt: vektorite punktkorrutis, vektorite vektorkorrutis Ja vektorite segakorrutis . Vektorite skalaarkorrutis on meile koolist tuttav, ülejäänud kaks korrutist on traditsiooniliselt seotud kursusega kõrgem matemaatika. Teemad on lihtsad, paljude probleemide lahendamise algoritm on sirgjooneline ja arusaadav. Ainuke asi. Infot on korralik kogus, mistõttu pole soovitav püüda KÕIKE KORRAGA meisterdada ja lahendada. See kehtib eriti mannekeenide kohta, uskuge mind, autor ei taha absoluutselt tunda end matemaatikast pärit Chikatilona. Noh, muidugi ka mitte matemaatikast =) Ettevalmistumad õpilased saavad materjale valikuliselt kasutada, teatud mõttes "saada" puuduvad teadmised, teie jaoks olen ma kahjutu krahv Dracula =)

Avame lõpuks ukse ja vaatame entusiastlikult, mis juhtub siis, kui kaks vektorit kohtuvad...

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.
Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

Punkttoote kontseptsioon

Kõigepealt umbes nurk vektorite vahel. Ma arvan, et kõik saavad intuitiivselt aru, mis on vektorite vaheline nurk, aga igaks juhuks natuke täpsemalt. Vaatleme vabasid nullist erinevaid vektoreid ja . Kui joonistate need vektorid suvalisest punktist, saate pildi, mida paljud on juba vaimselt ette kujutanud:

Tunnistan, siin kirjeldasin olukorda ainult mõistmise tasemel. Kui vajate vektoritevahelise nurga ranget määratlust, vaadake praktilisi probleeme õpikust, põhimõtteliselt pole see meile kasulik. Ka SIIN JA SIIN jätan nullvektorid kohati tähelepanuta nende vähese praktilise tähtsuse tõttu. Tegin broneeringu spetsiaalselt edasijõudnutele saidi külastajatele, kes võivad mulle ette heita mõne järgneva väite teoreetilise ebatäielikkuse pärast.

võib võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 180 kraadi (0 kuni radiaanid), kaasa arvatud. Analüütiliselt on see fakt kirjutatud kahekordse ebavõrdsuse kujul:

või

(radiaanides).

Kirjanduses jäetakse nurga sümbol sageli vahele ja lihtsalt kirjutatakse.

Definitsioon: Kahe vektori skalaarkorrutis on ARV, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:

Nüüd on see üsna range määratlus.

Keskendume olulisele teabele:

Määramine: skalaarkorrutist tähistatakse või lihtsalt.

Operatsiooni tulemus on NUMBER: vektor korrutatakse vektoriga ja tulemuseks on arv. Tõepoolest, kui vektorite pikkused on arvud, nurga koosinus on arv, siis nende korrutis on ka number.

Paar näidet soojenduseks:

Näide 1

Lahendus: Me kasutame valemit . IN sel juhul:

Vastus:

Koosinusväärtused leiate siit trigonomeetriline tabel . Soovitan selle välja printida - seda läheb vaja peaaegu kõigis torni osades ja läheb vaja mitu korda.

Puhtalt matemaatilisest vaatenurgast on skalaarkorrutis mõõtmeteta, see tähendab, et tulemus on antud juhul vaid arv ja kõik. Füüsikaülesannete seisukohalt on skalaarkorrutis alati kindel füüsiline tähendus, see tähendab, et pärast tulemust peate märkima üht või teist füüsiline ühik. Kanoonilise näite jõu töö arvutamisest võib leida igast õpikust (valem on täpselt skalaarkorrutis). Jõu tööd mõõdetakse džaulides, seetõttu kirjutatakse vastus üsna konkreetselt, näiteks .

Näide 2

Leia, kui , ja vektorite vaheline nurk on võrdne .

See on näide, mille saate ise lahendada, vastus on tunni lõpus.

Nurk vektorite ja punktkorrutise väärtuse vahel

Näites 1 osutus skalaarkorrutis positiivseks ja näites 2 negatiivseks. Uurime, millest sõltub skalaarkorrutise märk. Vaatame oma valemit: . Nullist erineva vektorite pikkused on alati positiivsed: , seega saab märk sõltuda ainult koosinuse väärtusest.

Märge: Alltoodud teabe paremaks mõistmiseks on parem uurida juhendis koosinusgraafikut Funktsioonigraafikud ja omadused . Vaadake, kuidas koosinus segmendil käitub.

Nagu juba märgitud, võib vektorite vaheline nurk erineda ja võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui nurk vektorite vahel vürtsikas: (0 kuni 90 kraadi), siis , Ja punktkorrutis on positiivne kaasrežissöör, siis loetakse nendevaheline nurk nulliks ja skalaarkorrutis on samuti positiivne. Kuna , valem lihtsustab: .

2) Kui nurk vektorite vahel nüri: (90-180 kraadi), siis ja vastavalt punktkorrutis on negatiivne: . Erijuhtum: kui vektorid vastassuunas, siis arvestatakse nende vahelist nurka laiendatud: (180 kraadi). Ka skalaarkorrutis on negatiivne, kuna

Tõsi on ka vastupidised väited:

1) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk terav. Teise võimalusena on vektorid kaassuunalised.

2) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk nüri. Teise võimalusena on vektorid vastupidises suunas.

Kuid kolmas juhtum pakub erilist huvi:

3) Kui nurk vektorite vahel sirge: (90 kraadi), siis skalaarkorrutis on null: . Tõsi on ka vastupidine: kui , siis . Väite saab kompaktselt sõnastada järgmiselt: Kahe vektori skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis, kui vektorid on ortogonaalsed. Lühike matemaatiline tähistus:

! Märge : kordame matemaatilise loogika põhitõed : Kahepoolse loogilise tagajärje ikooni loetakse tavaliselt "kui ja ainult siis", "kui ja ainult siis". Nagu näete, on nooled suunatud mõlemas suunas - "sellest järgneb see ja vastupidi - sellest järgneb see." Mis vahe on muuseas ühesuunalise jälgimise ikoonist? Ikoon ütleb ainult et, et "sellest järeldub see", ja pole tõsi, et vastupidine on tõsi. Näiteks: , kuid mitte iga loom pole panter, nii et sel juhul ei saa te ikooni kasutada. Samal ajal ikooni asemel Saab kasutage ühepoolset ikooni. Näiteks ülesande lahendamisel saime teada, et jõudsime järeldusele, et vektorid on ortogonaalsed: - selline kanne on õige ja isegi sobivam kui .

Kolmandal juhtumil on suur praktiline tähendus, kuna see võimaldab teil kontrollida, kas vektorid on ortogonaalsed või mitte. See ülesanne lahendame tunni teises osas.

Punkttoote omadused

Pöördume tagasi olukorra juurde, kus kaks vektorit kaasrežissöör. Sel juhul on nende vaheline nurk null, ja skalaarkorrutise valem on kujul: .

Mis juhtub, kui vektor korrutatakse iseendaga? On selge, et vektor on joondatud iseendaga, seega kasutame ülaltoodud lihtsustatud valemit:

Numbrile helistatakse skalaarruut vektor ja on tähistatud kui .

Seega vektori skalaarruut on võrdne antud vektori pikkuse ruuduga:

Sellest võrdsusest saame valemi vektori pikkuse arvutamiseks:

Seni tundub ebaselge, kuid tunni eesmärgid panevad kõik oma kohale. Probleemide lahendamiseks, mida me ka vajame punkttoote omadused.

Suvaliste vektorite ja mis tahes arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) – kommutatiivne või kommutatiivne skalaarkorrutise seadus.

2) – levitamine või jaotav skalaarkorrutise seadus. Lihtsalt saate sulgud avada.

3) – assotsiatiivne või assotsiatiivne skalaarkorrutise seadus. Konstandi saab tuletada skalaarkorrutisest.

Tihtipeale tajuvad kõikvõimalikud omadused (mis vajavad ka tõestamist!) õpilased tarbetu prügina, mis tuleb vaid pärast eksamit pähe õppida ja turvaliselt unustada. Näib, et mis siin oluline on, kõik teavad juba esimesest klassist, et tegurite ümberpaigutamine ei muuda toodet: . Pean hoiatama, et kõrgemas matemaatikas on sellise lähenemisega lihtne asju sassi ajada. Nii et näiteks kommutatiivne omadus ei kehti algebralised maatriksid . See ei vasta ka tõele vektorite vektorkorrutis . Seetõttu on parem vähemalt süveneda kõigisse omadustesse, millega kõrgema matemaatika kursusel kokku puutute, et mõista, mida saab teha ja mida mitte.

Näide 3

Lahendus: Kõigepealt teeme olukorra selgeks vektoriga. Mis see ikkagi on? Vektorite summa on täpselt määratletud vektor, mida tähistatakse . Vektoritega toimingute geomeetrilise tõlgenduse leiate artiklist Mannekeenide vektorid . Sama petersell koos vektoriga on vektorite ja .

Seega on tingimuse järgi vaja leida skalaarkorrutis. Teoreetiliselt peate rakendama töövalemit , aga häda on selles, et me ei tea vektorite pikkusi ja nende vahelist nurka. Kuid tingimus annab vektorite jaoks sarnased parameetrid, seega valime teistsuguse marsruudi:

(1) Asendage vektorite avaldised.

(2) Avame sulud vastavalt polünoomide korrutamise reeglile, artiklist leiab vulgaarse keeleväänaja Kompleksarvud või Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine . Ma ei korda ennast =) Muide, skalaarkorrutise jaotusomadus võimaldab sulgusid avada. Meil on õigus.

(3) Esimeses ja viimases osas kirjutame kompaktselt vektorite skalaarruudud: . Teises liikmes kasutame skalaarkorrutise kommuteeritavust: .

(4) Esitame sarnased terminid: .

(5) Esimeses liikmes kasutame skalaarruutvalemit, mida mainiti mitte nii kaua aega tagasi. Viimasel ametiajal töötab vastavalt sama asi: . Laiendame teist terminit standardvalemi järgi .

(6) Asendage need tingimused , ja tehke lõplikud arvutused HOOLIKALT.

Vastus:

Skalaarkorrutise negatiivne väärtus näitab, et vektorite vaheline nurk on nüri.

Probleem on tüüpiline, siin on näide selle ise lahendamiseks:

Näide 4

Leidke vektorite skalaarkorrutis ja kui see on teada .

Nüüd veel üks levinud ülesanne, just uue vektori pikkuse valemi jaoks. Siinne märge kattub veidi, nii et selguse huvides kirjutan selle ümber teise tähega:

Näide 5

Leia vektori pikkus, kui .

Lahendus saab olema järgmine:

(1) Esitame vektori avaldise.

(2) Kasutame pikkuse valemit: , samas kui kogu avaldis ve toimib vektorina “ve”.

(3) Summa ruudu jaoks kasutame kooli valemit. Pange tähele, kuidas see siin kurioossel viisil toimib: – tegelikult on see erinevuse ruut ja nii see tegelikult on. Soovijad saavad vektoreid ümber paigutada: - juhtub sama, kuni terminite ümberpaigutamiseni.

(4) Järgnev on juba kahest eelnevast ülesandest tuttav.

Vastus:

Kuna me räägime pikkusest, ärge unustage märkida mõõdet - "ühikud".

Näide 6

Leia vektori pikkus, kui .

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Jätkame punktitootest kasulike asjade väljapressimist. Vaatame uuesti oma valemit . Kasutades proportsioonireeglit, lähtestame vektorite pikkused vasaku külje nimetaja järgi:

Vahetame osad ära:

Mis on selle valemi tähendus? Kui on teada kahe vektori pikkused ja nende skalaarkorrutis, siis saame arvutada nende vektorite vahelise nurga koosinuse ja sellest tulenevalt ka nurga enda.

Kas täpptoode on number? Number. Kas vektori pikkused on arvud? Numbrid. See tähendab, et ka murd on arv. Ja kui nurga koosinus on teada: , seejärel kasutades pöördfunktsioon Nurka ise on lihtne leida: .

Näide 7

Leia vektorite vaheline nurk ja kui on teada, et .

Lahendus: Kasutame valemit:

Arvutuste viimases etapis kasutati tehnilist tehnikat - nimetaja irratsionaalsuse kõrvaldamine. Irratsionaalsuse kõrvaldamiseks korrutasin lugeja ja nimetaja arvuga.

Nii et kui , See:

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtused leiate järgmiselt trigonomeetriline tabel . Kuigi seda juhtub harva. Analüütilise geomeetria ülesannetes meeldib palju sagedamini mõni kohmakas karu ja nurga väärtus tuleb kalkulaatori abil ligikaudselt leida. Tegelikult näeme sellist pilti rohkem kui üks kord.

Vastus:

Jällegi ärge unustage märkida mõõtmeid - radiaanid ja kraadid. Isiklikult eelistan ilmselgelt "kõikide küsimuste lahendamiseks" märkida mõlemad (kui tingimus muidugi ei nõua vastuse esitamist ainult radiaanides või ainult kraadides).

Nüüd saate iseseisvalt hakkama keerulisema ülesandega:

Näide 7*

Antud on vektorite pikkused ja nendevaheline nurk. Leia vektorite vaheline nurk , .

Ülesanne pole niivõrd raske, kuivõrd mitmeastmeline.
Vaatame lahendusalgoritmi:

1) Vastavalt tingimusele peate leidma nurga vektorite ja vahel, seega peate kasutama valemit .

2) Leidke skalaarkorrutis (vt näiteid nr 3, 4).

3) Leidke vektori pikkus ja vektori pikkus (vt näited nr 5, 6).

4) Lahenduse lõpp langeb kokku näitega nr 7 – me teame arvu , mis tähendab, et nurga enda leidmine on lihtne:

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Tunni teine osa on pühendatud samale skalaarkorrutisele. Koordinaadid. See on veelgi lihtsam kui esimeses osas.

vektorite punktkorrutis,
antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Vastus:

Ütlematagi selge, et koordinaatidega tegelemine on palju meeldivam.

Näide 14

Leia vektorite skalaarkorrutis ja kui

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin saab kasutada tehte assotsiatiivsust, st mitte arvestada , vaid viia kolmik kohe skalaarkorrutisest välja ja korrutada sellega viimaseks. Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Jaotise lõpus provokatiivne näide vektori pikkuse arvutamisest:

Näide 15

Leia vektorite pikkused , Kui

Lahendus: meetod soovitab ennast uuesti eelmine jaotis: , kuid on ka teine võimalus:

Leiame vektori:

Ja selle pikkus triviaalse valemi järgi :

Punkttoode pole siin üldse asjakohane!

Samuti pole see kasulik vektori pikkuse arvutamisel:
Peatus. Kas me ei peaks ära kasutama vektori pikkuse ilmset omadust? Mida saab öelda vektori pikkuse kohta? See vektor 5 korda pikem kui vektor. Suund on vastupidine, kuid see ei oma tähtsust, sest me räägime pikkusest. Ilmselgelt on vektori pikkus võrdne korrutisega moodul numbrid vektori pikkuse kohta:
– moodulmärk “sööb ära” arvu võimaliku miinuse.

Seega:

Vastus:

Koordinaatidega määratud vektorite vahelise nurga koosinuse valem

Nüüd on meil täielik teave, et kasutada varem tuletatud valemit vektoritevahelise nurga koosinuse jaoks väljendada vektori koordinaatide kaudu:

Tasapinnavektorite vahelise nurga koosinus ja , määratud ortonormaalsel alusel, väljendatakse valemiga:
.

Ruumivektorite vahelise nurga koosinus, määratud ortonormaalselt, väljendatakse valemiga:

Näide 16

Antud kolmnurga kolm tippu. Leia (tipunurk).

Lahendus: Tingimuste kohaselt pole joonist vaja, kuid siiski:

Vajalik nurk on tähistatud rohelise kaarega. Meenutagem kohe nurga koolitähistust: – erilist tähelepanu keskmine täht - see on meile vajaliku nurga tipp. Lühiduse huvides võite kirjutada ka lihtsalt .

Jooniselt on üsna ilmne, et kolmnurga nurk langeb kokku vektorite vahelise nurgaga ja teisisõnu: .

Soovitatav on õppida vaimselt analüüsi tegema.

Leiame vektorid:

Arvutame skalaarkorrutise:

Ja vektorite pikkused:

Nurga koosinus:

Just sellise ülesande täitmise järjekorda soovitan mannekeenidele. Kogenumad lugejad saavad arvutused kirjutada "ühele reale":

Siin on näide "halvast" koosinusväärtusest. Saadud väärtus ei ole lõplik, seega pole mõtet nimetaja irratsionaalsusest vabaneda.

Leiame nurga enda:

Kui vaadata joonist, on tulemus üsna usutav. Kontrollimiseks saab nurka mõõta ka nurgamõõturiga. Ärge kahjustage monitori katet =)

Vastus:

Vastuseks me ei unusta seda küsiti kolmnurga nurga kohta(ja mitte vektorite vahelise nurga kohta), ärge unustage näidata täpset vastust: ja nurga ligikaudset väärtust: , leitud kalkulaatori abil.

Need, kes on protsessi nautinud, saavad arvutada nurgad ja kontrollida kanoonilise võrdsuse kehtivust

Näide 17

Kolmnurk on ruumis määratletud selle tippude koordinaatidega. Leia külgede vaheline nurk ja

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Lühike viimane osa on pühendatud prognoosidele, mis hõlmavad ka skalaarkorrutist:

Vektori projektsioon vektorile. Vektori projekteerimine koordinaattelgedele.
Vektori suunakoosinused

Kaaluge vektoreid ja:

Projitseerime vektori selleks, vektori algusest ja lõpust perpendikulaarid vektoriks (rohelised punktiirjooned). Kujutage ette, et valguskiired langevad vektorile risti. Siis on segment (punane joon) vektori "vari". Sel juhul on vektori projektsioon vektorile lõigu PIKKUS. See tähendab, PROJEKTSIOON ON NUMBER.

See NUMBER on tähistatud järgmiselt: , "suur vektor" tähistab vektorit MIS projekt, "väike alamindeksi vektor" tähistab vektorit PEAL mis on prognoositud.

Kirje ise kõlab järgmiselt: "vektori "a" projekteerimine vektorile "olla".

Mis juhtub, kui vektor "olla" on "liiga lühike"? Joonistame sirge, mis sisaldab vektorit "olla". Ja vektor “a” projitseeritakse juba vektori "olema" suunas, lihtsalt - sirgele, mis sisaldab vektorit “olla”. Sama juhtub ka siis, kui vektorit “a” lükatakse edasi kolmekümnendas kuningriigis – see projitseeritakse ikkagi kergesti sirgele, mis sisaldab vektorit “olla”.

Kui nurk vektorite vahel vürtsikas(nagu pildil), siis

Kui vektorid ortogonaalne, siis (projektsioon on punkt, mille mõõtmeid loetakse nulliks).

Kui nurk vektorite vahel nüri(joonisel seadke vektori nool mõtteliselt ümber), seejärel (sama pikk, kuid võetud miinusmärgiga).

Joonistame need vektorid ühest punktist:

Ilmselgelt, kui vektor liigub, siis selle projektsioon ei muutu

Vektorite skalaarkorrutise mõiste

Punktkorrutise arvutamine vektori koordinaatide järgi

Vektorite skalaarkorrutise omadused

Näide ülesandest vektorite skalaarkorrutise arvutamiseks

Vektorite skalaarkorrutise mõiste

Punktkorrutise arvutamine vektori koordinaatide järgi

Vektorite skalaarkorrutise omadused

Näide ülesandest vektorite skalaarkorrutise arvutamiseks

Vektorite skalaarkorrutise mõiste

Punktkorrutise arvutamine vektori koordinaatide järgi

Vektorite skalaarkorrutise omadused

Näide ülesandest vektorite skalaarkorrutise arvutamiseks

Vektorite punktkorrutis

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

Punkttoote kontseptsioon

Nurk vektorite ja punktkorrutise väärtuse vahel

Punkttoote omadused

vektorite punktkorrutis, antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Koordinaatidega määratud vektorite vahelise nurga koosinuse valem

Vektori projektsioon vektorile. Vektori projekteerimine koordinaattelgedele.Vektori suunakoosinused

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.
Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

vektorite punktkorrutis,
antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Vektori projektsioon vektorile. Vektori projekteerimine koordinaattelgedele.
Vektori suunakoosinused