Mis on kõverjooneline liikumine füüsikas. Kiirus ja kiirendus kõvera liikumise ajal

Lihtsaim aine liikumise liik on mehaaniline liikumine, mis on kehade või nende osade liikumine ruumis üksteise suhtes.

Kehade mehaanilist liikumist on kolme tüüpi – translatsiooniline, pöörlev ja võnkuv. Kell edasi liikumine tahke kõik selle punktid kirjeldavad täpselt samu (kattuvad üksteise peale asetatud) jooni ning neil on sama kiirus ja sama kiirendus (antud ajahetkel). Definitsioon pöörlev liikumine keha on antud §-s 21, võnkuv §-s 27.

Kui keha kuju ja suurus ei mõjuta oluliselt selle liikumise olemust, siis võib sellist keha käsitleda kui materiaalset punkti. Materiaalne punkt on keha, mille kuju ja mõõtmed võib selles ülesandes tähelepanuta jätta. Viimane hoiatus on väga märkimisväärne: keha üht liikumist käsitledes võib seda pidada materiaalseks punktiks, samas kui sama keha teist liikumist käsitledes võib see osutuda vastuvõetamatuks. Näiteks Maa liikumist ümber Päikese uurides saame materiaalseteks punktideks pidada nii Maad kui Päikest. Uurides Maa liikumist ümber oma telje, ei saa Maad võtta materiaalse punktina, kuna Maa pöörlemisliikumise olemust mõjutavad oluliselt selle kuju ja suurus.

Keha liikumist saab käsitleda ainult mõne teise keha või kehade rühma suhtes. Seetõttu tuleb materiaalse punkti liikumist uurides valida ennekõike referentssüsteem, st koordinaatsüsteem, mis on seotud kehaga, mille suhtes materiaalse punkti liikumist vaadeldakse. Selline võrdlussüsteem võib olla näiteks ristkülikukujuline XYZ koordinaatsüsteem, mis on seotud mõne maapinna punktiga O (joonis 7). Seejärel määratakse materjali punkti A asukoht igal ajal xyz-koordinaatide järgi. Viitesüsteemide teema juurde tuleme tagasi §-s 14.

Liikuva materjali punktiga kirjeldatud joont nimetatakse trajektooriks. Trajektoori segment, mida punkt läbib teatud aja jooksul, tähistab punkti läbitud teed

selle aja jooksul (joonis 7). Liikumist nimetatakse sirgjooneliseks, kui trajektoor on sirgjoon, ja kõverjooneliseks, kui trajektoor on kõverjoon.

Laske materiaalsel punktil, mis liigub mööda kõverjoonelist trajektoori, läbida lühikese vahemaa lühikese aja jooksul (joonis 8). Joonistame trajektoori puutuja punktis A ja kõõl A punkti B. Materiaalse punkti läbitud tee ja ajaperioodi suhet, mille jooksul see tee läbiti, nimetatakse keskmiseks liikumiskiiruseks

Üldise kõverjoonelise (ja sirgjoonelise) liikumise korral võib keskmise kiiruse väärtus olla trajektoori erinevates lõikudes erinev ja sõltuda vaadeldava tee suurusest või, mis on sama, aja väärtusest intervall Me vähendame ajavahemikku lõpmatult, st paneme punkt B kalduma kaare punktikõlule ja mõlemad langevad kokku puutujaga piki trajektoori puutuja lõpmatult väikest lõiku punkti a lähedal keskmine kiirus lühikesel teel muutub hetkekiiruseks ehk tõeliseks kiiruseks punktis A. Seetõttu on hetkekiiruse väärtus

Nagu näha jooniselt fig. 8, hetkkiirus on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt.

Niisiis, hetkeline liikumiskiirus trajektoori mis tahes punktis on vektor, mis on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt ja mille suurus on võrdne keskmise kiiruse piiriga, kuna ajavahemik kipub nulli:

Valemitest (1) ja (2) järeldub, et kiirust mõõdetakse ühikutes. Materiaalse punkti liikumist nimetatakse ühtlaseks, kui selle kiirus ajas ei muutu; vastasel juhul nimetatakse liikumist ebaühtlaseks. Liikumise ebaühtlust iseloomustab füüsikaline suurus, mida nimetatakse kiirenduseks.

Laske materiaalsel punktil liikuda lühikese aja jooksul kohast, kus tal oli kiirus, punkti B, kus tal on kiirus (joonis 9). Joonisel on näha, et punkti kiiruse muutus (kasv) on vektor, mis võrdub lõpp- ja algkiiruse vektorite vahega:

Kiiruse muutuse ja ajaperioodi suhet, mille jooksul see muutus toimus, nimetatakse keskmiseks kiirenduseks

Vektori skalaariga jagamise reeglist järeldub, et keskmine kiirendus on suunatud samamoodi nagu kiiruse juurdekasv, st trajektoori suhtes nurga all selle nõgususe suunas (vt joonis 9).

Üldjuhul võib keskmise kiirenduse väärtus trajektoori erinevates lõikudes olla erinev ja sõltuda selle ajaintervalli pikkusest, mille jooksul keskmistamine läbi viiakse. Vähendame ajavahemikku. Piirväärtuses punktis B kipub osutama ja keskmine kiirendus mööda teed A B muutub hetke- ehk tõeliseks kiirenduseks a punktis Seetõttu

Niisiis on liikumise hetkeline kiirendus trajektoori mis tahes punktis vektor, mis on suunatud trajektoori suhtes selle nõgususe suunas nurga all ja suurusjärgus, mis on võrdne keskmise kiirenduse piiriga, kuna ajavahemik kipub nulli.

Valemitest (3) ja (4) järeldub, et kiirendust mõõdetakse

Kiirendusvektor jaguneb tavaliselt kaheks komponendiks, millest üks on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt ja seda nimetatakse tangentsiaalseks ehk tangentsiaalseks kiirenduseks, teine on suunatud trajektoori suhtes normaalkiirenduseks ja seda nimetatakse normaal- ehk tsentripetaalseks kiirenduseks (joon. 10). ). Kiirendus ja see

komponendid on omavahel seotud ilmsete seostega:

Tangentsiaalne kiirendus muudab ainult kiiruse suurust ja tsentripetaalne kiirendus ainult selle suunda. On ilmne, et kõverjooneline liikumine toimub alati kiirendusega, kuna sel juhul muutub kiirus tingimata (vähemalt suunas).

Mõistete kasutamine kõrgem matemaatika, saate valemite (2) ja (4) suhete piirid asendada tuletistega ja kirjutada:

Need tähendavad vastavalt nihke, kiiruse ja aja lõpmata väikseid muutusi (diferentsiaale). Seetõttu on kiirus aja suhtes nihke tuletis ja kiirendus kiiruse tuletis aja suhtes.

Saime tuttavaks materiaalse punkti ebaühtlase liikumise üldise juhtumiga mööda suvalise kujuga kõverjoonelist trajektoori. Järgmistes lõikudes käsitleme erijuhtumeid: sirgjooneline liikumine ja ringliikumine.

Kõverjoonelised liikumised– liigutused, mille trajektoorid ei ole sirged, vaid kõverad. Planeedid ja jõeveed liiguvad mööda kõverjoonelisi trajektoore.

Kurviline liikumine on alati kiirendusega liikumine, isegi kui kiiruse absoluutväärtus on konstantne. Konstantse kiirendusega kõverjooneline liikumine toimub alati tasapinnal, kus paiknevad punkti kiirendusvektorid ja algkiirused. Konstantse kiirendusega tasapinnas kõverjoonelise liikumise korral xOy prognoosid v x Ja v y selle kiirus teljel Ox Ja Oy ja koordinaadid x Ja y punktid igal ajal t määratud valemitega

Kõverajoonelise liikumise erijuhtum on ringliikumine. Ringliikumine, isegi ühtlane, on alati kiirendatud liikumine: kiirusmoodul on alati suunatud trajektoori tangentsiaalselt, muutes pidevalt suunda, seega toimub ringliikumine alati tsentripetaalkiirendusega, kus r– ringi raadius.

Ringjoonel liikudes on kiirendusvektor suunatud ringi keskpunkti poole ja risti kiirusvektoriga.

Kõverjoonelise liikumise korral saab kiirendust esitada normaal- ja tangentsiaalsete komponentide summana:

Tavaline (tsentripetaalne) kiirendus on suunatud trajektoori kõveruskeskme poole ja iseloomustab kiiruse muutumist suunas:

v – hetkkiiruse väärtus, r– trajektoori kõverusraadius antud punktis.

Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt ja iseloomustab kiiruse mooduli muutust.

Kogukiirendus, millega materiaalne punkt liigub, on võrdne:

Ühtlase ringliikumise olulisemateks tunnusteks on lisaks tsentripetaalsele kiirendusele pöörlemise periood ja sagedus.

Ringluse periood- see on aeg, mille jooksul keha teeb ühe pöörde .

Periood on märgitud kirjaga T c) ja määratakse järgmise valemiga:

Kus t- ringlusaeg, P- selle aja jooksul tehtud pöörete arv.

Sagedus- see on suurus, mis on arvuliselt võrdne ajaühikus sooritatud pöörete arvuga.

Sagedus on tähistatud kreeka tähega (nu) ja leitakse järgmise valemi abil:

Sagedust mõõdetakse 1/s.

Periood ja sagedus on vastastikku pöördsuurused:

Kui keha liigub ringis kiirusega v, teeb ühe pöörde, siis saab selle keha läbitud vahemaa leida kiiruse korrutamisega vühe revolutsiooni ajaks:

l = vT. Teisest küljest on see tee võrdne ringi ümbermõõduga 2π r. Sellepärast

vT = 2π r,

Kus w(s -1) - nurkkiirus.

Konstantsel pöörlemissagedusel on tsentripetaalne kiirendus otseselt võrdeline liikuva osakese ja pöörlemiskeskme vahelise kaugusega.

Nurkkiirus (w) – väärtus, mis on võrdne pöördepunkti asukoha raadiuse pöördenurga ja ajaperioodi suhtega, mille jooksul see pöörlemine toimus:

Lineaar- ja nurkkiiruse vaheline seos:

Keha liikumist saab lugeda teadaolevaks ainult siis, kui on teada, kuidas iga punkt liigub. Tahkete kehade lihtsaim liikumine on translatiivne. Progressiivne on jäiga keha liikumine, mille käigus mis tahes sellesse kehasse tõmmatud sirgjoon liigub endaga paralleelselt.

Plis V. Kõverjoonelise liikumise dünaamikast // Kvant. -·2005. - nr 2. - lk 30-31, 34-35.

Erikokkuleppel ajakirja “Kvant” toimetuse ja toimetajatega

Koolifüüsika kursusest on teada, et ühtlane liikumine ringis - nii nimetatakse materiaalse punkti liikumist ringis konstantse kiirusega - on liikumine kiirendusega.

See kiirendus on tingitud punkti kiiruse suuna ühtlasest muutumisest aja jooksul. Igal ajahetkel on kiirendusvektor suunatud ringi keskpunkti poole ning selle väärtus on konstantne ja võrdne

kus υ - punkti lineaarne kiirus, R- ringi raadius, ω - punkti raadiusvektori nurkkiirus, T - ringlusperiood. Sel juhul nimetatakse kiirendust tsentripetaalseks ehk normaalseks või radiaalseks.

On ilmne, et kõverjooneline liikumine on võimalik mitte ainult ringis ja mitte tingimata ühtlane. Räägime veidi suvalise kõverjoonelise liikumise kinemaatikast. Veelgi enam, eelmisel aastal füüsika sisseastumiseksamite programmis, näiteks Moskva Riiklikus Ülikoolis. M. V. Lomonosov, sisaldas küsimust materiaalse punkti kiirendusest suvalise liikumise ajal mööda kõverat rada.

Vaatleme kõigepealt materiaalse punkti ebaühtlast liikumist ümber ringi. Sellise liikumise korral ei muutu ajas mitte ainult kiirusvektori suund, vaid ka selle suurus. Sel juhul kiirusvektori juurdekasv lühikese aja jooksul alates t enne t+Δ t See on mugav esitada summana: (joonis 1). Siin on kiiruse juurdekasvu puutuja tangentsiaalne komponent, mis on samasuunaline kiirusvektoriga ja mis on tingitud kiiruse vektori suuruse suurenemisest , a on normaalkomponent (nagu ühtlase ringliikumise korral) kiirusvektori pöörlemisest. Siis on loomulik esitada kiirendus puutuja (tangentsiaalse) ja normaalkomponendi summana:

Kiirendusvektori projektsioonide puhul puutuja- ja normaalsuundadele kehtivad järgmised seosed:

Pange tähele, et puutuja komponent aτ kiirendus iseloomustab kiiruse väärtuse ja normaalkomponendi muutumise kiirust a n iseloomustab muutumise kiirust kiiruse suunas. Pythagorase teoreemi järgi

Suvalist kõverjoonelist trajektoori pidi liikumise korral kehtivad ka kõik ülaltoodud seosed, samas kui normaalkiirenduse valemis An väärtuse all R on vaja mõista sellise ringi raadiust, mille elementaarkaar langeb kokku kõverjoonelise trajektoori lõiguga liikuva materjali punkti asukoha väikeses läheduses. Suurus R nimetatakse trajektoori kõverusraadiuseks antud punktis.

Vaatame nüüd mitmeid konkreetseid kõverjoonelise liikumise probleeme, mida on viimastel aastatel riigi juhtivate ülikoolide sisseastumiseksamitel ja füüsikaolümpiaadidel välja pakutud.

Probleem 1. Kivi visatakse kiirusega υ 0 horisontaaltasapinna suhtes nurga α all. Leidke raadius R trajektoori kõverus lähtepunkti läheduses. Kiirendus vabalangus g teatud.

Probleemi küsimusele vastamiseks kasutame tavakiirenduse seost:

Algpunkti väikeses naabruses υ = υ 0 (joon. 2). Tavaline kiirendus An on olemas vabalangemise kiirenduse projektsioon g normaalsele trajektoorile: An= g cos α. See annab

Probleem 2. Määrake kaal P kehamass m geograafilisel laiuskraadil φ. Gravitatsiooni poolt antav kiirendus on g. Pidage Maad ühtlaseks raadiusega sfääriks R.

Meenutagem, et keha kaal on gravitatsioonist tulenev jõud, millega keha toele või vedrustusele mõjub. Oletame, et keha asub pöörleva Maa pinnal. Sellele mõjub Maa keskpunkti poole suunatud gravitatsioonijõud ja toe reaktsioonijõud (joon. 3). Vastavalt Newtoni kolmandale seadusele,. Seetõttu leiame kehakaalu määramiseks reaktsioonijõu.

Inertsiaalses tugisüsteemis, mille kese on Maa keskpunktis, liigub keha ühtlaselt raadiusega ringis r= R cos φ ühepäevase perioodiga, s.o. T= 86400 s ja tsükliline sagedus

7,3·10 –5 s –1.

Keha kiirendus on suurusjärgus võrdne

An= ω 2 · r= ω 2 · R cos φ

ja on suunatud Maa pöörlemistelje suunas. Sellest järeldub, et ka gravitatsioonijõudude resultant ja toe reaktsioon peaks olema suunatud Maa pöörlemistelje poole. Siis kell 0< φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠ φ. По второму закону Ньютона,

Liigume edasi jõudude ja kiirenduse projektsioonide juurde radiaalsuunas:

ja suunas, mis on risti selle tasapinnaga, millel liikumine toimub:

Kõrvaldades α kahest viimasest seosest, leiame pöörleval Maa peal puhkeasendis oleva keha massi:

Probleem 3. Kaugus Maast Kentauruse tähtkuju kaksiktäheni on L= 2,62·10 5 a.u. Täheldatud tähtede vaheline nurk muutub perioodiliselt perioodiliselt T= 80 aastat ja jõuab kõrgeim väärtusφ = 0,85·10 –5 rad. Määrake kogumass M tähed Universaalne gravitatsioonikonstant G= 6,67·10 –11 (N m 2 /kg 2), 1 a.e = 1,5·10 11 m Vaata tähtede orbiidid ringikujulisteks.

Gravitatsioonijõudude mõjul

tähed liiguvad ühtlaselt punktiga T mööda raadiusega ringe r 1 ja r 2 ümber süsteemi massikeskme kiirustega vastavalt υ 1 ja υ 2 (joonis 4).

Newtoni teise seaduse järgi

Nende võrdsuste lisamine (pärast vähendamist m 1 ja m 2 vastavalt), saame

Seega, võttes arvesse suhteid

jõuame vastuseni

= 3,5 10 27 kg.

Probleem 4. Horisontaalsel platvormil on anum veega (joon. 5). Anumasse on fikseeritud õhuke varras AB, kallutatud horisontaaltasapinnale nurga α all. Raadiusega homogeenne pall R võib hõõrdumiseta libiseda mööda selle keskpunkti läbivat varda. Kuuli materjali tihedus ρ 0, vee tihedus ρ, ρ 0< ρ. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец A varras, palli keskpunkt on seatud kaugusele L sellest otsast. Millise jõuga F kas pall mõjub vardale? Kui suur on platvormi pöörlemise nurkkiirus ω? Millise minimaalse nurkkiiruse ω min juures pall “vajub”, st. kas see on laeva põhjas?

Tähistagem palli mahtu V. Pallile mõjuvad kolm jõudu: gravitatsioon ρ 0 · V· g, normaalne reaktsioonijõud N varda küljelt (pall mõjub vardale samasuuruse ja vastassuunalise jõuga) ja Archimedese jõud F A. Leiame Archimedese jõu.

Vaatleme vedeliku liikumist palli puudumisel. Iga elementaarne veekogus liigub ühtlaselt ümber raadiusega ringi r horisontaaltasandil. Järelikult tasakaalustab survejõudude summa vertikaalkomponent (Archimedese jõud) vaadeldavas mahus vedelikule mõjuvat gravitatsioonijõudu ja horisontaalkomponent annab sellele vedelikule tsentripetaalse kiirenduse. An= ω 2 · r. Kui vedelik asendatakse palliga, siis need komponendid ei muutu ning õhukesest vardast veepallile mõjuv jõud on null. Siis on Archimedese jõu vertikaalkomponent suuruselt võrdne veepalli gravitatsioonijõuga:

F Az = ρ· V· g,

ja Archimedese jõu komponent, mis on suunatud pöörlemistelje poole, annab veepallile tsentripetaalse kiirenduse An= ω 2 · L·cos α ja on suuruselt võrdne

F An = ρ· V·ω 2 · L cos α.

Rakendatavate jõudude toimel liigub pall ühtlaselt ümber raadiusega ringi L·cos α horisontaaltasandil (joonis 6).

Newtoni teise seaduse järgi

Liikudes edasi jõudude ja kiirenduste projektsioonide juurde vertikaalteljele, leiame

ρ· V· g – ρ 0 · V· g – N cos α = 0.

Projitseerides horisontaaltasapinnal olevad jõud ja kiirendused radiaalsuunale, saame

ρ 0 · V·ω 2 · L cos α = ρ V·ω 2 · L cos α – N· sin α.

Kahest viimasest seosest määrame varda normaalse reaktsioonijõu suuruse ja seega ka kuuli survejõu vardale:

ja nurkkiirus:

Nagu näeme, kasvab nurkkiirus ω vahemaa L väheneb. Sel hetkel, kui pall põhja läheneb, samas

Probleem 5. Ühtlane keti pikkus L R nii et selle üks ots on fikseeritud kera ülaosas. Keti ülemine ots vabastatakse. Millise kiirendusega a t kas keti iga element liigub kohe pärast vabastamist? Mass ahela pikkuseühiku kohta ρ. Gravitatsiooni kiirendus g.

Vaatleme ahela pikkusega Δ elementaarlõiku L = R·Δφ (joonis 7). Selle mass on Δ m = ρ·Δ L. Valitud alale mõjuvad jõud on näidatud joonisel. Newtoni teise seaduse järgi

Liikudes edasi jõudude ja kiirenduste projektsioonidele puutuja suunas, saame

Kirjutame saadud seose vormi ümber

Summeerime tõmbejõu tõusu kogu keti pikkuses:

Nüüd võtame arvesse, et keti vabades otstes muutuvad tõmbejõud nulliks, s.t. see kiirendus aτ on kõigi elementaarfragmentide jaoks sama, , ja saame

Probleem 6. Auruveduri veorattad on ühendatud hammaslati ja hammasrattaga, mille üks lüli on lame horisontaalne varras, mis on pöördeliselt kinnitatud külgnevate rataste kodarate külge. R/2 teljest, kus R- ratta raadius. Vedurit kontrollides pani mehaanik sellele latile kasti ja unustas selle hajameelselt sinna. Vedur hakkab liikuma ja võtab kiirust väga aeglaselt. Hinnake veduri kiirust υ 1, mille juures kast hakkab varda suhtes libisema. Kasti libisemishõõrdetegur vardal μ = 0,4, ratta raadius R= 0,8 m, vabalangemise kiirendus g= 10 m/s2.

Liigume veduriga seotud võrdlussüsteemi juurde (joon. 8). Kuna kiirendus toimub väga aeglaselt, võib seda süsteemi pidada inertsiaalseks.

Enne libisemise algust liigub kast raadiusega ringis r =R/2. Newtoni teise seaduse järgi

Kasti kiirendusvektor on suunatud ringi keskpunkti poole ja on suuruselt võrdne a =ω 2 · r,kus ω on veduri rataste pöörlemise nurkkiirus. Tähega β tähistame nurka, mille kiirendusvektor antud ajahetkel horisondiga moodustab. Liikudes edasi jõudude ja kiirenduse projektsioonide juurde horisontaal- ja vertikaalteljel, võttes arvesse asjaolu, et F tr ≤ μ· N, saame

Kõrvaldades siit toetusreaktsiooni jõud, jõuame ebavõrdsuseni

Suurim väljendusväärtus

kus nurk α on selline, et ja saavutatakse β = α ja on võrdne . Koorma liikumine toimub libisemata seni, kuni veduri rataste pöörlemise nurkkiirus rahuldab ebavõrdsust

Siit saame soovitud veduri kiiruse υ 1 jaoks

= 2,4 m/s.

Probleem 7. Sile renn koosneb horisontaalsest osast AB ja ringikaared BD raadius R= 5 m (joonis 9). Seib libiseb piki horisontaalset osa kiirusega υ 0 = 10 m/s. Määrake punktis oleva litri kiirenduse väärtus KOOS ja nurk β, mille seibi kiirendusvektor sellel hetkel keermega teeb. Raadius OS moodustab vertikaaliga nurga α = 60°. Gravitatsiooni kiirendus g=10 m/s 2.

Litri kiirenduse leidmiseks punktis KOOS leiame tangentsiaalse aτ ja normaalne a n kiirenduse komponentide suurust selles punktis.

Kehal, mis liigub vertikaaltasandil mööda kaaret BD,gravitatsioonijõud mõjuvad igas punktis mg ja maapealsed reaktsioonid N. Newtoni teise seaduse järgi

Liigume edasi jõudude ja kiirenduse projektsioonide juurde tangentsiaalsele suunale:

ma τ = – mg sin α, kust a τ = – g·sin α ≈ –8,7 m/s 2 .

Kiirenduse normaalkomponendi määramiseks leiame litri kiiruse väärtuse υ punktis KOOS(sest ). Pöördume energiakaalutluste juurde. Seibi potentsiaalne energia vihmaveerenni horisontaalses osas loetakse võrdseks nulliga. Seejärel, vastavalt mehaanilise koguenergia jäävuse seadusele,

= 10 m/s2.

Litri kiirenduse suurus punktis KOOS leiame Pythagorase teoreemi abil:

≈ 13,2 m/s 2.

Punktis KOOS kiirendusvektor moodustab keermega nurga β sellise, et

≈ 0,87, kust β ≈ 41°.

Probleem 8. Mööda siledat traatspiraali raadiusega R astmeliselt h, mille telg on vertikaalne, libiseb null algkiirusega massitera m. Mis aja jooksul T rant langeb vertikaalselt N? Millisest suurusest F Millist jõudu rant traadile hetkel avaldab? Gravitatsiooni kiirendus g.

Helmele mõjub gravitatsioonijõud ja normaalreaktsioon, kus see on suunatud horisontaalselt (risti joonisel 10 kujutatud tasapinnaga) ja asub samas tasapinnas vektorite ja .

Ülesande küsimustele vastamiseks leiame kiirenduse puutuja ja normaalkomponendid. Newtoni teise seaduse kohaselt

Liikudes edasi jõudude ja kiirenduse projektsioonide juurde puutuja suunale, leiame a τ = g· sin α. Siin α on kiirusvektori kaldenurk horisondi suhtes nii, et

Vastavalt energia jäävuse seadusele,

Kiirenduse tangentsiaalne komponent on konstantne, algkiirus on null, seetõttu suureneb kiirusvektori suurus aja jooksul vastavalt lineaarsele seadusele. Siit saame vajaliku aja jooksul

Kiirenduse normaalse komponendi määramiseks liigume liikuva võrdlusraami juurde, mis liigub järk-järgult labori suhtes vertikaalselt allapoole kiirusega υ · sin α. Selles süsteemis liigub rant kiiresti mööda raadiusega ringi R kiirusega v · cos α, samas kui helme kiirenduse normaalne komponent on suurusjärgus võrdne . Kuna liikuva süsteemi kiirendus on suunatud koos , on helme kiirenduse normaalne komponent üleminekul laborisüsteem viide ei muutu (see tuleneb kiirenduste lisamise reeglist).

Newtoni teisest seadusest leiame jõu komponendid, millega traat helmele mõjub:

Kus .

Newtoni kolmanda seaduse kohaselt avaldab rant traadile jõudu , mille suurus (moodul) on võrdne

Harjutused

1. Raadiusega sfääriline õhupall R= 5 m hoiab vertikaalne köis, selle kese on kõrgusel H= 6 m horisontaalpinnast kõrgemal. Sellelt pinnalt visatakse kivi nii, et see lendab üle palli, puudutades seda peaaegu ülemises punktis. Millise minimaalse kiirusega υ 0 tuleks kivi visata ja millisele kaugusele s Kas sel juhul viskepunkt asub palli keskelt?

Märge: gravitatsioonikiirendus Maa pinnal selles ja järgnevates probleemides on võrdne g = 10 m/s 2 .

2. On teada, et satelliit, mis asub orbiidil, mille kõrgus h = 3,610 4 km, tiirleb ümber Maa ühe päevaga ja võib "rippuda" ekvaatori sama punkti kohal. Oletame, et arutlusel on Peterburi kohal “hõljuva” satelliidi samale kõrgusele saatmise küsimus. Mis on tõmbejõu suurus ja suund? F peab arendama satelliidi mootorit, et hoida seda antud orbiidil? Satelliidi mass m= 10 3 kg, Peterburi asub laiuskraadil φ = 60°, Maa raadius R= 6,4 10 3 km.

3. Kaks massiga keha liiguvad siledal laual m 1 ja m 2 ühendatud kerge pikendamatu keermega L.Mingil hetkel esimene keha peatub ja teise kiirus võrdub υ-ga ja on keermega risti. Leidke jõudu T niidi pinge.

4. Homogeenne massiahel m ja pikkus L asetatakse raadiusega siledale sfäärilisele pinnale R= 4L nii et selle üks ots on fikseeritud kera ülaosas. Keti ülemine ots vabastatakse. Leia suurim väärtus T max keti tõmbejõust kohe pärast selle vabastamist. Märge: ülesandes vaadeldavate nurkade puhul arvesta sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α 2 /2.

5. Leia artikli tekstist ülesandes 6 kiirus υ 2, mille juures kast hakkab põrgatama.

Ärakiri

1 MATERJALI PUNKTI KURVILINE LIIKUMISE DÜNAAMIKA

2 Föderaalne agentuur haridusest Venemaa Föderatsioon Uurali riik Tehnikaülikool UPI sai nime Venemaa esimese presidendi B.N. Jeltsina MATERJALI PUNKTI KURVILINE LIIKUMISE DÜNAAMIKA Avaldatud Jekaterinburgi USTU UPI toimetuse ja kirjastusnõukogu otsusega USTU UPI 009

3 UDK (075.8) Koostanud: G.S. Novikova Teaduslik toimetaja Dotsent, Ph.D. füüsika ja matemaatika Druzhinina T.V. Materiaalse punkti dünaamika. Kurviline liikumine: ülesannete kogum iseseisvaks tööks kursusel " Teoreetiline mehaanika"/ koost. G.S. Novikova. Jekaterinburg: USTU UPI, lk. Kogumik on mõeldud kodutööde väljastamiseks, arvutamiseks ja testid kõikide erialade ja kõikide õppevormide õpilastele. Riis. 30 Koostanud Uurali Riikliku Tehnikaülikooli UPI teoreetilise mehaanika osakond, 009

4 SISSEJUHATUS Kogumik sisaldab 30 ülesannet teemal „Materiaalse punkti dünaamika. Kurviline liikumine." Eeldatavasti hakkavad õpilased seda kasutama “Teoreetilise mehaanika” kursuse standardprogrammis ette nähtud individuaalsete arvutusülesannete täitmisel. Ülesannetes eeldatakse, et antud jõud on punkti koordinaatide, selle absoluutse või suhtelise kiiruse lineaarfunktsioonid. Seetõttu on diferentsiaalvõrrandid lineaarsed ja neil on analüütiline lahendus. Lahendamisel on võimalik kasutada arvutitehnoloogiat nii liikumisvõrrandite arvuliseks integreerimiseks kui ka liikumis- ja trajektoorigraafikute koostamiseks võrrandisüsteemide analüütilises lahendamises. Juhised ülesannete täitmiseks Ülesandega töötades on vaja koostada arvutuslik mehaaniline mudel, asendades antud keha materiaalse punktiga, näidata joonisel suvalise positsiooni M (x, y) jaoks mõjuvad jõud ja kirjutada üles liikumisvõrrand vektorkujul. Toimivaid elastsusjõude ja takistusjõude saab väljendada raadiusvektori r (x, y) ja punkti absoluutkiiruse ν r (x, y) kaudu. Seejärel koostage valitud koordinaattelgedele projektsioonides liikumise diferentsiaalvõrrandid. Võrrandeid analüütiliselt või numbriliselt integreerides saame lahendid x (t), y (t). Enamiku probleemide puhul on lahendus summutatud võnkumiste iseloomuga. Leidke nende võnkumiste periood T ja kahanemine D. Koostage liikumisgraafikud x (t), y (t) punktide kaupa ühe perioodi lõigul (kui lahenduste perioodid on erinevad, siis võtke suurim) sammuga, näiteks T / 4. Numbriliseks integreerimiseks võtke samm h = T / 40. Konstruktsiooni jätkamiseks kogu üleminekurežiimi perioodi jooksul ühtlase liikumise jaoks võite kasutada T ja D. Üleminekurežiimi aega saab ligikaudu hinnata valemiga 3 τ = 3 / n , kus n = μ / m. Kui "meie-

5 vale" ülesannet, on soovitatav lugeda takistusjõude võrdeliseks kiiruse ruuduga 0 R = μν ν, kus ν = ν / ν 0 ühikvektor, ν ja \ν vektor ja kiirusmoodul. Variantides 4, 5, 10, 14, 3, 5, 7 võta takistusjõud kujul 1 x μ y R = μ V i V j. Näide ülesande lahendamisest: Määrake raske materjali punkti liikumine, mille mass on võrdne m-ga ja mis on tõmbunud fikseeritud keskpunkti O jõuga, mis on otseselt võrdeline selle keskpunkti kaugusega. Liikumine toimub tühjuses; tõmbejõud kaugusühiku kohta on μm; hetkel t = 0: M O = x = a x& = 0; y = 0; y& 0, 0 0; = y-teljega vertikaalselt allapoole (vt joonist). Newtoni teise seaduse järgi m a = P + F, kus F = μ m OM. Projektsioonides koordinaattelgedel saame m & x = μm OM sin α ; kus x = OM sin α, y = OM cosα. m & y = mg μ m OM cosα, Siis m& x = μ mx, m& y = mg μ my. Lõpuks on liikumise diferentsiaalvõrrandid kujul 4

6 && x = μ x, && y = g μ y. Otsime lahenduse teist järku esimesele lineaarsele homogeensele diferentsiaalvõrrandile & x& + μ x = 0 olenevalt karakteristikavõrrandi juurte tüübist, mille asendame võrrandis x = e ja saame karakteristiku võrrandi λt λ + μ = 0, kust λ = ± i.. 1, μ Kuna karakteristikavõrrandi juured on kujuteldavad ja erinevad, siis on võrrandi lahend x = c1 coskt + c sin kt. Integreerimiskonstantide c 1 ja c määramiseks määrame kiiruse x & = c1k sin kt + ck coskt. Teise ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi, mille parempoolne pool on konstantne & y μ y = g =, lahendus koosneb üldine lahendus homogeenne võrrand& y& + μ y 0 ja g konkreetsest mittehomogeensest & y + μ y = lahendusest, st y = A & y 0, siis μ A = g, A = g. μ Terviklahend y = y 1 + y: y = c 1 coskt + c g sin kt + μ., = Kiirus y & = c1k sin kt + ck coskt. Vastavalt algtingimustele: y =, y& 0 nendest võrranditest saame c g = 1 = ; c = μ 0,5

7 Siis on y-teljele projektsioonipunkti liikumisseadus g y = (1 coskt). μ Lõpuks on materiaalse punkti liikumise seadus projektsioonides koordinaattelgedele x = acoskt, g y = (1 coskt). μ Jättes nendest võrranditest välja aja t, saame punkti trajektoori: sirglõik g x g y = 1; a x a; 0 a. μ a μ 6

8 Ülesanne 1. Rippraudteekäru massiga m tõstetakse etteantud jõuga Q. Tross on elastne, selle elastsusjõud loetakse võrdeliseks kiiruse AM põikdeformatsiooniga. Söötme takistus on võrdeline. Sirge OO 1 määrab punktid, kus kaabli põikdeformatsioon on null. Käru liikumine algas punktist O, algkiirus on näidatud joonisel. Leidke käru liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud on: µ = 1,4 10³ N c/m; a = 30; Q = 7 103 N; = 1,8 m/s; m = 1,3 10³ kg; c = 1 10³ N/m. Ülesanne. Õhupalli massiga m pukseeritakse konstantsel kiirusel VA. Erinevus Archimedese jõu ja selle massi vahel on suunatud vertikaalselt ülespoole ja on 0,1 mg. Köis on elastne, elastsusjõudu loetakse võrdeliseks vahemaaga AM, AM. Söötme tõmbejõud on võrdeline kiirusega. Algsel ajahetkel on õhupalli kiirus vertikaalne, punkt A oli koordinaatide alguspunktis. Oletame, et AM = 0. Leidke õhupalli liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 0,8 10³ kg; = 0,9 m/s. O VA = 5 m/s; c = 1,1 103 N/m; u = 0,8 103 N c/m; 7

9 Ülesanne 3. Punkti A fikseeritud elastne niit läbib statsionaarset sileda rõnga O; selle vaba otsa on kinnitatud kuul M, mille mass on m. Tõmbamata keerme pikkus l = AO. Keerme jäikuse koefitsient c. Pikendades niiti vertikaalselt kaks korda, andsime kuulile esialgse horisontaalse kiiruse. Liikumisel avaldab pallile mõju keskkonnast tulenev takistusjõud, mis on võrdeline kiirusega. Leidke palli liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 0, kg; s = 0 N/m; u = 0,8 N s/m; = 0 m/s; l = 1 m. Ülesanne 4. Massiga m platvormi õhkpadjal kiirendab konstantne jõud Q. Elastsed jõud realiseeritakse õhkpadjasüsteemi jõududega. Arvestage samaväärset elastsusjõudu, mis on võrdeline vertikaalpaindega AM. Sirgjoon OA vastab tasemele, kus F = 0. Viskoossed takistusjõud horisontaal- ja vertikaalsuunas on võrdelised vastavate kiiruskomponentidega, proportsionaalsuskoefitsiendid on µ 1 ja µ. Platvormi algkiirus on näidatud joonisel. Leidke platvormi liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; c = 1, N/m; Q = 4, N; u1 = 0, N s/m; u = 1, N s/m; = 0,7 m/s. 8

10 Ülesanne 5. Koormust M massiga m veetakse etteantud konstantsel kiirusel V A. Tross on elastne, selle elastsusjõudu loetakse võrdeliseks pikisuunalise deformatsiooniga F1 = c1 AM. Amortisaatorid loovad elastsusjõu, mis on võrdeline vertikaalse läbipaindega BM-i deformeerimata olekust. Keskkonna takistusjõud horisontaal- ja vertikaalsuunas on võrdelised kiiruse vastavate komponentidega. Proportsionaalsuskoefitsiendid on μ 1 ja μ, algkiirus on vertikaalne. Leidke liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; VA = 4, m/s; s1 = 3, N/m; s = 1,105 N/m; u1 = 1, N s/m; u = N c/m; V m (O) = 1,6 m/s; B 0 M 0 = 1,5 m; OB 0 = 0; OA 0 = 0,4 m Ülesanne 6. Horisontaalselt venitatud elastse keerme AM otsa on kinnitatud koormus M, mis on fikseeritud punktis A ja läbib statsionaarset silerõngast O. Algmomendil venitatakse niiti OM 0 võrra ja koormus vabastatakse ilma algkiiruseta. Elastsusjõud on võrdeline pikenemisega. Proportsionaalsuskoefitsient on võrdne c. Deformeerimata keerme pikkus l = AO. Söötme tõmbejõud on võrdeline kiirusega. Leidke koormuse liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 0,6 kg; c = 15 N/m; u = 0,4 N s/m; l = 1 m; OM 0 = 0,8 m 9

11 Ülesanne 7. Elastsele kaablile riputatakse koormus massiga m, mille elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga = c OM. Sellele mõjub konstantne jõud Q, mis on suunatud horisontaaltasapinna suhtes nurga α all. Viskoosse liikumistakistuse jõud on võrdeline kiirusega F. Leidke koormuse liikumisvõrrandid, kui alghetkel on selle kiirus horisontaalne, tross oli vertikaalne, OM 0 on kaabli esialgne deformatsioon. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 1,5 10 kg; c = 1, N/m; u = 0,6 10 N s/m; a = 30; Q = 0,8 10 N; = m/s; OM 0 = 0,8 m Ülesanne 8. Vedelikuvoolus asuvat pontooni massiga m hoiab kinni elastne kaabel. Elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga F1 = c1 AM. Voolukiirus U on näidatud joonisel. Archimedese jõud on võrdeline keelekümbluse suurusega BM, Viskoosne tõmbejõud on võrdeline suhtelise kiirusega rel. Leidke pontooni liikumisvõrrandid, kui selle algkiirus on vertikaalne. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; s1 = N/m; c = 4, N/m; u = 4, N s/m; U = 0,6 m/s; = 0,3 m/s; AM 0 = 1 m; BM 0 = 0,10

12 Ülesanne 9. Õhukäru massiga m lastakse vabalt mööda kaablit alla. Kaabel on elastne, elastsusjõudu peetakse võrdeliseks põikdeformatsiooniga AM. Söötme takistus on võrdeline kiirusega. Sirge OO 1 määrab punktid, kus kaabli põikdeformatsioon on null. Käru liikumine algas punktist O, algkiirus on näidatud joonisel. Leidke käru liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 5 10 kg; c = 6, N/m; u = 4,3 10 N s/m; a = 10; = 1,8 m/s. Ülesanne 10. Õhulaev massiga m on õhuvoolus, mille kiirus on U. Õhulaeva sildumismasti küljes hoidev tross on elastne, elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga OM. Archimedese jõu ja kaalu erinevus on suunatud vertikaalselt ülespoole ja on 0,mg. Viskoossed tõmbejõud vertikaal- ja horisontaalsuunas on võrdelised suhtelise kiiruse vastavate komponentidega. Proportsionaalsuskoefitsiendid on μ 1 ja μ. Alghetkel õhulaeva kiirus. Leidke õhulaeva liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; c = 1, N/m; u1 = 5, N s/m; u = 1, N s/m; U = 5 m/s; = 1,7 m/s; OM 0 = 0,5 m; OM 0 U. 11

13 Ülesanne 11. Paati massiga m kiirendab horisontaalne konstantne jõud. Samal ajal, olles vette sukeldumise algkiirus, võngub see Archimedese jõu mõjul, mis on võrdeline paadi AM sukeldatud osa sügavusega. Paadile mõjub veetakistusjõud, mis on võrdeline selle kiirusega. Leidke paadi liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 1, kg; c = 4, N/m; u = 1, N s/m; Q = 3, N; = 1,3 m/s; punkt A on paadi massikeskme projektsioon veepinnale. Ülesanne 1. Veealust sõidukit massiga m pukseeritakse etteantud kiirusel V. Pukseerimisköis on elastne, elastsusjõud A AM on pikisuunaline deformatsioon. Archimedese jõu ja aparaadi massi erinevus on 0,3 mg ja see on suunatud vertikaalselt allapoole. Keskkonna vastupanujõud. Leidke aparaadi liikumisvõrrandid, kui selle F = c AM, kus algkiirus on vertikaalne. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 5, kg; VA = m/s; c = N/m; u = 5, N s/m; = 0,6 m/s; t = 0 korral on seade 0,5 m sügavusel pukseeritud

14 Ülesanne 13. Külgmiste amortisaatoritega kaablil rippuv koormus massiga m teeb vabad vibratsioonid trossi elastsusjõu F1 = c1 OM (OM pikisuunaline deformatsioon) ja amortisaatorite elastsusjõudude mõjul, mille resultant võib pidada horisontaalseks ja võrdeliseks horisontaalse kõrvalekaldega vedrude deformeerimata olekust: F x = c x. Söötme tõmbejõud on võrdeline kiirusega. Leidke koormuse liikumisvõrrandid, kui selle algkiirus on horisontaalne ja kaabel OM 0 on vertikaalne. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m =, kg; s1 = N/m; c = N/m; BM 0 = 0,0 m; u = 8, N s/m; = 0,9 m/s; OM 0 = 0, m Ülesanne 14. Paati massiga m kiirendab tuul, mille kiirus U on konstantne. Jääpinda, millel jääpaat libiseb, peetakse elastseks. Elastsusjõud on võrdeline põikisuunalise deformatsiooniga AM. Viskoossed hõõrdejõud vertikaal- ja horisontaalsuunas on võrdelised jääpaadi suhtelise kiiruse komponentidega nendes suundades. Sirge joon OO 1 näitab poi asukohta, kus F = 0. Poi algkiirus on suunatud vertikaalselt allapoole. Leidke jääpoi liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 3,5 10 kg; c = 7, N/m; u1 = N c/m; u = 0,1 10 N s/m; = 1,4 m/s; U = 5 m/s. 13

15 Ülesanne 15. Elastsel kaablil rippuv koormus massiga m on konstantsel kiirusel U liikuvas vedelikuvoolus. Kaabli elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga OM. Koorma massi ja Archimedese jõu erinevus on suunatud vertikaalselt allapoole ja on võrdne Q = 0,8 mg. Viskoosse hõõrdejõu jõud on võrdeline koormuse suhtelise kiirusega R μv = rel. Algmomendil oli koormus tasakaaluasendis ja sai algkiiruse, mis oli suunatud horisontaaltasandi suhtes nurga α alla. Leidke koormuse liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; U = 8 m/s; c = 1, N/m; u = 1, N s/m; a = 30; = 1, m/s. Ülesanne 16. Praami massiga m pukseeritakse etteantud horisontaalkiirusega V A vedelikuvoolus kiirusega U. Veest lähtuv ujuvusjõud on võrdeline sukeldumissügavusega, proportsionaalsustegur c on 1. kaabel on võrdeline selle pikisuunalise deformatsiooniga AM. Vee takistusjõud on võrdeline suhtelise kiirusega rel. Algkiirus on näidatud joonisel. Koordinaatide alguspunktiks võtta punkti A algpositsioon, AM 0 = 0. Leia praami liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; VA = 4 m/s; U = 3 m/s; s1 =, N/m; s = 6,10 5 N/m; u = N c/m; a = 30; = 0,7 m/s. A 14

16 Ülesanne 17. Keha massiga m, mis paisatakse algkiirusega horisondi suhtes nurga α all, liigub raskusjõu ja kiirusega võrdelise õhutakistusjõu mõjul. Leidke keha liikumisvõrrandid, suurim tõstekõrgus, horisontaalne kaugus selle kõrguse saavutamisel, lennuulatus. Koostage liikumisgraafikud ja keha trajektoor. Antud: m = 5 kg; = 0 m/s; a = 60; u = 0,3 N s/m. Ülesanne 18. Elastsele kaablile riputatud koorem massiga m tõstetakse kraanaga konstantsel kiirusel V A. Trossi elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga AM. Õhutakistuse jõud on võrdeline koormuse kiirusega. Algkiirus on horisontaalne, kaabel oli vertikaalne, A0M 0 algdeformatsioon. Leidke koormuse liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; VA = m/s; c = 6,10 4 N/m; u = 4, N s/m; = 1,3 m/s; A 0M = 0,5 m 0 15

17 Ülesanne 19. Massiga m ronija laskub mööda elastset köit, mis koormamata olekus langeb kokku sirgega OO 1, moodustades horisondiga nurga α. Trossi elastsusjõudu loetakse võrdeliseks põikdeformatsiooniga AM. Õhutakistuse jõud on võrdeline kiirusega. Algkiirus on näidatud joonisel. Leidke ronija liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 80 kg; a = 15; s = 6,5 10 = 1,5 m/s. N/m; AM 0 = 0; u = 75 N s/m; Ülesanne 0. Elastsele kaablile riputatud koormust massiga m liigutatakse kraana abil konstantsel horisontaalkiirusel, mis on võrdeline selle pikisuunalise deformatsiooniga V. Trossi elastsusjõud on A AM. Liikumine toimub keskkonnas, mis liigub konstantse kiirusega U. Keskkonna takistusjõud on võrdeline koormuse suhtelise kiirusega = rel. Algsel ajahetkel oli koormuse kiirus R μv horisontaalne, kaabel vertikaalne, A 0M 0 =1 m Koordinaatide alguspunktiks võtta punkti A algpositsioon. Leidke koormuse liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; V A = 0,5 m/s; c = 5, N/m; U = 3,3 m/s; u = 6, N s/m; = 1,4 m/s. 16

18 Ülesanne 1. Poid massiga m hoitakse vedelikus elastse kaabli abil. Elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga OM. Poile mõjub konstantse suurusega jõud Q, mis on suunatud horisondi suhtes nurga α alla. Archimedese jõu ja poi massi erinevus on 0,5 mg ja see on suunatud vertikaalselt ülespoole (positiivne ujuvus). Kui poi liigub, mõjub sellele kiirusega võrdeline vedelikutakistusjõud. Leidke poi liikumisvõrrandid, kui selle kiirus on algmomendil vertikaalne ja suunatud ülespoole, kaabel oli vertikaalne ja OM 0 = 0,1 m Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 1,10 kg; c = 6,10 3 N/m; = 0,7 m/s; Q = 4, 10; a = 40; u = 3,8 10 N s/m. Ülesanne. Inimene massiga m hüppab elastse kaabliga kalda külge seotud paati massiga m 1 ja paat saab horisondi suhtes nurga α alla suunatud algkiiruse. Kaabli esialgne deformatsioon on null. Trossi jäikuse koefitsient on c 1. Paadile selle võnkumisel mõjuv Archimedese jõud on võrdeline sukeldumissügavusega. Proportsionaalsustegur c. Viskoosse takistuse jõud sõltub kiirusest vastavalt lineaarsele seadusele. Leidke paadi ja inimese liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m 1 = 60 kg; m = 80 kg; = 5 m/s; a = 15; s1 = 500 N/m; c = N/m; u = 1,8 10 N s/m. 17

19 Ülesanne 3. Anum massiga m triivib vabalt voolus, mille kiirus on konstantne ja võrdne U-ga. Arvestage anumale mõjuvat Archimedese jõudu võrdeliseks sukeldumissügavusega proportsionaalsuskoefitsiendiga c. Viskoosse takistuse jõud liikumisele horisontaal- ja vertikaalsuunas on võrdelised suhtelise kiiruse vastavate komponentidega, proportsionaalsuse koefitsiendid on võrdsed μ 1 ja μ. Algsel hetkel oli laeval kiirus. Leia laeva liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; U = 0,5 m/s; c = 6, N/m; u1 = 0, N s/m; u = 1,105 N s/m; =.3 m/s. Ülesanne 4. Koorm massiga m libiseb mööda elastset konveierilinti. koormamata olekus on lint asendis OO 1, moodustades horisondi suhtes nurga α. Mingil ajahetkel langeb koormus lindile (punktis O) rihmaga risti oleva kiirusega. Pidage lindile mõjuva koormuse hõõrdejõudu võrdeliseks selle kiirusega. Lindi põiki elastsusjõud on võrdeline selle läbipaindega AM. Koorusele mõjub ka konstantne jõud Q, mis on paralleelne OO 1-ga ja pidurdab liikumist. Leidke koormuse liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 60 kg; a = 15; = 1,5 m/s; u = 80 N s/m; c = 7,10 N/m; Q = 45 N. 18

20 Ülesanne 5. Õhulaeva massiga m pukseeritakse etteantud kiirusega Pukseerimisköis on elastne, elastsusjõudu loetakse võrdeliseks pikisuunalise deformatsiooniga V A. AM, Arhimedese jõu ja õhulaeva massi vahe on. 0,15 mg ja on suunatud vertikaalselt ülespoole. Õhutakistusjõude horisontaal- ja vertikaalsuunas loetakse proportsionaalseks õhulaeva kiiruse vastavate komponentidega. Proportsionaalsuskoefitsiendid on μ ja 1 μ. Pukseerimise alguses sai õhulaev algkiiruse ja AM 0. Koordinaatide alguspunktiks võetud punkti A algpositsioon 0 =. Leidke õhulaeva liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; VA = 3 m/s; c = N/m; u1 = 1, N s/m; u = 8,104 N s/m; = 0,9 m/s. Ülesanne 6. Paagi põhjas on elastse nööriga seotud koorem massiga m, mille jäikuse koefitsient on c. Mingil ajahetkel võeti koorem üles ja seda hakati konstantse jõuga Q välja tõmbama horisontaaltasandi suhtes nurga α all. Negatiivne ujuvus (kaalu ja Archimedese jõu vahe) on suunatud allapoole ja võrdub N = 0,5G, kus G on koormuse kaal. Vee viskoosne hõõrdumine on võrdeline koormuse kiirusega ja määratakse valemiga Haardumise hetkel puudutas koorem plokki O, nöör ei deformeerunud ja koormus sai esialgse horisontaalkiiruse. Leidke koormuse liikumisvõrrandid.. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 50 kg; c = 00 N/m; u = 100 N s/m; Q = 100 N; a = 30; = 8 m/s. 19

21 Ülesanne 7. Laeva massiga m pukseeritakse konstantse horisontaalkiirusega V A. Pukseerimisköis on elastne, elastsusjõudu loetakse võrdeliseks pikisuunalise deformatsiooniga F = c1 AM. Algmomendil puudutas laev puksiiri, trossil puudus deformatsioon ja algkiirus oli suunatud vertikaalselt allapoole. Archimedese jõud loetakse võrdeliseks laeva sukeldumissügavusega, proportsionaalsuskoefitsient on võrdne c. Veetakistusjõud horisontaal- ja vertikaalsuunas on võrdelised vastavate kiiruskomponentidega, μ 1 ja μa. Leia laeva liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; VA = 4,5 m/s; c1 = 0, N/m; c = 1, N/m; u1 = 0, N s/m; u = 1, N s/m; =.3 m/s. Ülesanne 8. Paat massiga m liigub väljalülitatud mootoritega vastuvoolu, mille algkiirus on suunatud horisondi suhtes nurga α alla. Voolukiirus U on konstantne. Archimedese jõud on võrdeline sukeldumiskõrgusega, proportsionaalsuskoefitsient on c. Veepoolel kogeb paat takistust, mis on võrdeline suhtelise kiiruse suhtega. Leidke paadi liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 50 kg; a = 10; = 3 m/s; u = 1,7 10 N s/m; c = N/m; U = 5 m/s. 0

22 Ülesanne 9. Elastsele kaablile riputatud koormust massiga m liigub kraana konstantse kiirusega V A, mis on suunatud horisontaaltasapinna suhtes nurga α alla. Kaabli elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga F = c AM. Õhutakistuse jõud on võrdeline kiirusega. Algsel ajahetkel on koormuse kiirus horisontaalne, kaabel oli vertikaalne, A 0M 0 on kaabli esialgne deformatsioon. Võtke koordinaatide alguspunkt punkti A algasendis. Leidke koormuse liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = 500 kg; VA = 3 m/s; a = 30; c = 8, N/m; = 1,8 m/s; u = 9 10 N s/m; A 0 M 0 = 0, m Ülesanne 30. Pontooni massiga U hoiab elastne tross. Elastsusjõud on võrdeline pikisuunalise deformatsiooniga F1 = c1 OM. Archimedese jõud on võrdeline pontooni sügavusega, proportsionaalsuskoefitsient c. Vedeliku poolelt mõjub pontoonile viskoosne tõmbejõud, mis on võrdeline suhtelise kiirusega rel. Algsel ajahetkel puudutas pontoon plokki (OM 0 = 0) ja selle kiirus oli suunatud vertikaalselt. Leia pontooni liikumisvõrrandid. Koostage liikumisgraafikud ja trajektoor. Antud: m = kg; U = m/s; c1 = 8, u = 3, N c/m; =.1 m/s. N/m; c = 9,104 N/m; 1

23 Materiaalse punkti dünaamika. Kurviline liikumine Toimetaja O.S. Smirnova Arvuti paigutus I.I. Ivanov Signeeritud trükkimiseks Formaat 60x84 1/16 Kirjutuspaber Tastrüki konventsioon. ahju l. Akadeemiline toim. l. Tiraaž 100 eksemplari. Telli toimetus- ja kirjastusosakond USTU UPI 6006, Jekaterinburg, st. Mira, 19 Risography Research Institute USTU UPI 6006, Jekaterinburg, st. Mira, 19

Föderaalne agentuur raudteetransport Uural Riiklik Ülikool Raudtee osakond “Mehhatroonika” G.V. V.S. Tarasyan MATERJALI PUNKTI VABA RECTILINEAR VIBRATIONS

Vene Föderatsiooni osariigi haridusministeerium haridusasutus kõrgemale kutseharidus"SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" "MEHAANIKA" DÜNAAMIKA osakond

Föderaalne HARIDUSAMET VOLGOGRAD RIIKLIKU TEHNILISE ÜLIKOOLI VOLGA POLÜTEHNILINE INSTITUUT (FIRAAL) G.B. Potapova, K.V. Khudyakov MATERJALI PUNKTI VABA VIBRATSIOONID

Mordva Riikliku Ülikooli teoreetilise mehaanika II olümpiaadi (2013-2014 õppeaasta) tingimused ja probleemide lahendused 1. Koormus tõmmatakse üles mööda karedat, nurga all kallutatud pinda

FÖDERAALNE ÕHUtranspordi Agentuur Föderaalosariigi eelarveline KUTSEKÕRGHARIDUSASUTUS "MOSCOW RIIGINGI TEHNILINE ÜLIKOOL

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus Altai Riiklik Tehnikaülikool

ÜLESANNE D-I Teema: Punkti dünaamika teine põhiprobleem ja kinetostaatika meetod (Hermann-Euler-D'Alemberti printsiip). ÜLESANDE LAHENDAMISE PLAAN 1. Ülesande 1 jaoks: a) reastage materiaalsele punktile mõjuvad jõud

Teoreetilise mehaanika testid 1: milline või milline järgmistest väidetest ei vasta tõele? I. Võrdlussüsteem sisaldab võrdluskeha ja sellega seotud koordinaatsüsteemi ning valitud meetodit

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Uural föderaalülikool nime saanud Venemaa esimese presidendi B.N. Jeltsina VABA KUKKUMISE KIIRENDUSE MÄÄRAMINE Pööratava pendli abil

Väljavõtteid Gorbaty raamatust IN "Mehaanika" 3 Töö Jõud Kineetiline energia Vaatleme osakest, mis konstantse jõu F r mõjul liigub l r jõuga F r liikumisel

Nähtuste seletus 1. Joonisel on skemaatiline vaade keha kineetilise energia muutumise graafikust ajas. Valige kaks tõest väidet, mis kirjeldavad liikumist vastavalt etteantule

3 Jäävusseadused mehaanikas Põhiseadused ja valemid Newtoni teist seadust ma = F saab esitada järgmiselt: m υ = F t, keha impulsi muutus (p = m υ = mυ mυ) võrdub impulsiga n tulemusest

Füüsika. 9. klass. Koolitus “Inerts. Newtoni seadused. Jõud mehaanikas" 1 Inerts. Newtoni seadused. Jõud mehaanikas Variant 1 1 Metallplokk riputatakse vedru külge ja on täielikult veega anumasse sukeldatud.

Ülesanded A5 füüsikas 1. Keha tõmmatakse mööda kaldtasandit üles. Milline joonisel näidatud jõududest töötab positiivselt? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 2. Joonisel on näidatud sõltuvusgraafik

1. loeng Sergei Jevgenievitš Muravjov Füüsikaliste ja matemaatikateaduste kandidaat, riikliku uurimistöö teoreetilise tuumafüüsika osakonna dotsent Tuumaülikool MEPhI Alustame! 1. Olümpiaadide võitjad ja auhinnasaajad peavad koguma 75 ühtse riigieksami punkti!.

Metoodilised materjalid teemal “Mehaanikanähtused” - 9. klass 1. osa 1. Auto hakkab sirgjooneliselt liikuma puhkeseisundist kiirendusega 0,2 m/s 2. Kui kaua kulub 20 m kiiruse saavutamiseks /s?

Vene Föderatsiooni Haridusministeerium Riiklik erialane kõrgharidusasutus "SAMARA RIIK TEHNIKAÜLIKOOL" "MEHAANIKA" osakond K O

"DÜNAAMIKA ALUSED" Newtoni seadused: Esiteks: on olemas võrdlussüsteemid, mida nimetatakse inertsiaalseteks ja mille suhtes translatsiooniliselt liikuv keha säilitab puhkeoleku või sirgjoonelise ühtlase.

11. tund, 2. finaal. Mehaanika. Ülesanne 1 Joonisel on graafik jalgratturi tee S versus aeg t. Määrake ajavahemik pärast liikumise algust, mil jalgrattur liikus

Punkti liikumise diferentsiaalvõrrand Ülesanne D2.1. 1 Auto pidurdusteekond horisontaalsel teel kiirusel v 0 on S. Kui suur on selle auto pidurdusteekond samal kiirusel?

00-0 kool aasta., klass. Füüsika. Mehaanika põhiseadused.. Dünaamika Dünaamikas uuritakse mehaanilist liikumist seoses põhjustega, mis põhjustavad selle üht või teist iseloomu. Inertsiaalsetes referentssüsteemides need

Näited ülesannete andmebaasist Rosatomi olümpiaadi kaugkvalifikatsioonivooru ülesannete andmebaasist, klass 11 Rosatomi olümpiaadi kaugkvalifikatsioonivooru ülesannete andmebaas (mis toimub ainult koolilastele

Vastavuse loomine, osa 2 1. konarlikul horisontaalsel pinnal asuv pulk hakkab horisontaalpinnaga seotud võrdlusraamis jõu mõjul ühtlaselt kiirendatult liikuma,

B-tüüpi ülesande KINEEMIKA Lehekülg. 1 5-st 1. Keha hakkas liikuma piki OX-telge punktist x = 0 algkiirusega v0x = 10 m/s ja konstantse kiirendusega a x = 1 m/s 2. Kuidas muutuvad füüsikalised suurused?

OLÜMPIAAD TULEVIKUTEADLASED TEADUSE TULEVIK 2018-2019 Füüsika, I voor, 1. variant 7. klass 1. (30 punkti) Korraga lahkus kaks autot: üks punktist A punkti B, teine punktist B punkti A. üks

Uurali föderaalülikool sai nime Venemaa esimese presidendi BN Jeltsini järgi Spetsialiseerunud haridus- ja teaduskeskus SUVEKOOL '07 FÜÜSIKAÜLESANNE Vedur (3 punkti) Määrake kasutades

Kaugtreening bituru FÜÜSIKA Artikkel 8 Mehaanilised võnkesüsteemid Teoreetiline materjal Käesolevas artiklis käsitleme meetodeid kehade võnkeliikumise probleemide lahendamiseks Võnkuv liikumine

Dünaamika 1. Massiplokk liigub translatsiooniliselt piki horisontaaltasapinda horisontaalse suhtes nurga all oleva konstantse jõu toimel. Selle jõu moodul Hõõrdetegur ploki ja tasandi vahel

TEEMA Loeng 3 Töö, jõud, energia. Mehaanilise energia jäävuse ja muutumise seadus. Matronchik Aleksei Jurjevitš füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat, riikliku teadusuuringute tuumaülikooli MEPhI üldfüüsika osakonna dotsent, ekspert

OLÜMPIAAD TULEVIKUTEADLASED TEADUSE TULEVIK 017-018 Füüsika, I voor, variant 1 LAHENDUSED Tähelepanu: hindamiskvant on 5 (saate anda ainult 5, 10, 15 jne punkti)! Üldine soovitus: kontrollimisel

Tund 3. Dünaamika põhiprintsiibid. Jõud: gravitatsioon, reaktsioon, elastsus Variant 3... 0 kg kaaluvale kehale mõjub mitu jõudu, mille resultant on konstantne ja võrdne 5 N. Inertsi suhtes

C1.1. Kaks ühesugust varda, mis on ühendatud kerge vedruga, toetuvad siledale horisontaalsele lauapinnale. Hetkel t = 0 hakkab parempoolne plokk liikuma nii, et aja jooksul x saavutab ta lõppkiiruse

Kaugõpe Abituru FÜÜSIKA Artikkel Newtoni seadused Teoreetiline materjal Käesolevas artiklis vaatleme Newtoni seaduste rakendamise ülesandeid Newtoni esimene seadus (inertsiseadus) ütleb, et

Test 1 teemal: „Kinemaatika. Dünaamika. Jäävuse seadused" 10. klass Testi 1 küsimused 1. Mida nimetatakse mehaaniliseks liikumiseks? 2. Kuidas nimetatakse võrdluskeha? 3..Mil viisil saab positsiooni määrata

Füüsika ülesannete pank 1. klass MEHAANIKA Ühtlane ja ühtlaselt kiirendatud sirgjooneline liikumine 1 Joonisel on kujutatud graafik keha koordinaadi sõltuvusest ajast tema sirgjoonelisel liikumisel piki x-telge.

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus Ukhta Riiklik Tehnikaülikool Füüsika MEHAANILISED VIBRATSIOONID JA LAINED

SISSEJUHATUS Arvutus- ja graafilise töö iga ülesande tingimusele on lisatud kümme joonist ja kaks antud suuruste arvväärtuste tabelit. Valikute valik toimub vastavalt õpilaskoodile.

Test 1 teemadel „Kinemaatika. Dünaamika". Küsimused testimiseks: 1. Mida uurib kinemaatika? 2. Kinemaatika põhimõisted: mehaaniline liikumine, materjali punkt, tugisüsteem, trajektoor, läbitud vahemaa

Õppeülesanded teemal “DÜNAAMIKA” 1 (A) Buss liigub sirgjooneliselt ühtlase kiirusega. Valige õige väide. 1) Siinile mõjub ainult gravitatsioon.) Kõigi rakendatud resultant

Probleemide raamat koolilastele izprtalru 6 Dynamics sirgjooneline liikumine Inertsiaalsetes võrdlussüsteemides püsiva massiga keha jaoks on materiaalse punkti dünaamika põhivõrrand (Newtoni teine seadus) kujul

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Venemaa esimese presidendi B. N. Jeltsini nime saanud Uurali föderaalülikool ÕPPIB MOMENTUMPULSSI JÄLJUMISE SEADUST Juhised Kõrval

Ülesannete lahendamise näited Näide 1 Läbi horisontaaltelje pöörleva ploki visatakse kaalutu, venimatu niit (joonis 1a), mille otstesse kinnitatakse raskused 1 ja Leia ploki survejõud X N F

Kehade liikumise ülesannete lahendamine plokkide abil Ülesanne Läbi ploki visatakse venimatu niit, mille külge on kinnitatud kaks keha massidega ja (ja) määrake nende liikumise kiirendused

OLÜMPIAAD TULEVIKUTEADLASED TEADUSE TULEVIK 017-018 Füüsika, I voor, LAHENDUS Variant Tähelepanu: hindamiskvant on 5 (saate anda ainult 5, 10, 15 jne punkti)! Üldine soovitus: Kontrollimisel isegi

1.2.1. Inertsiaalsed referentssüsteemid. Newtoni esimene seadus. Galilei relatiivsusprintsiip 28(C1).1. Bussipeatuses seisnud bussireisija sidus kinni täidetud õhupalli

TÖÖ, VÕIMSUS, ENERGIA, RÕHK 008 1. Terasetükk (ρс = 7800 kg/m) mahuga 4 dm asub m kõrgusel Selle potentsiaalne energia on A) 9600 J B) 960 J C) 96000 J D) 96 J E) 9 .6 J. Määrake

OLÜMPIAAD TULEVIKUuurijad TEADUSE TULEVIK 017-018 Füüsika, I voor, 1. valik LAHENDUSED 7. klass 1. (40 punkti) Kaks autot sõidavad korraga erinevatest punktidest vastu ja liiguvad kiirusega

ITT- 10.3.2 Variant 2 SÄILITUSSEADUSED 1. Kuidas seda nimetatakse füüsiline kogus, võrdne keha massi ja selle hetkekiiruse vektori korrutisega? 2. Kuidas nimetatakse füüsikalist suurust, mis võrdub poolega korrutisest

Kodutöö valikud HARMOONILISED VIBRATSIOONID JA LAINED Variant 1. 1. Joonisel a on kujutatud võnkuva liikumise graafik. Võnkuvõrrand x = Asin(ωt + α o). Määrake algfaas. x O t

Kogus, selle definitsioon Nimetus Mõõtühik “MEHAANIKA” Valem Valemi kogused LIIKUMISLIIGID I. Ühtlane lineaarne liikumine on liikumine, mille käigus keha mis tahes võrdsete ajavahemike järel

I poolaasta füüsika miinimum 10. klassi õpilastele. Füüsikaõpetaja - Maria Vasilievna Turova e-post: [e-postiga kaitstud] Kasutatud kirjandus: 1. Füüsika õpik 10. klass. Autorid: G.Ya.Myakishev, B.B.

4. loeng Teema: Materiaalse punkti dünaamika. Newtoni seadused. Materiaalse punkti dünaamika. Newtoni seadused. Inertsiaalsed referentssüsteemid. Galilei relatiivsusprintsiip. Jõud mehaanikas. Elastsusjõud (seadus

Küsimused ainepunktide saamiseks kursuse “Teoreetiline mehaanika” rubriigis “Dünaamika” 1. Klassikalise mehaanika põhiaksioomid.. Diferentsiaalvõrrandid materiaalse punkti liikumine. 3. Punktisüsteemi inertsmomendid

Temaatiline diagnostiline töö FÜÜSIKA ühtseks riigieksamiks ettevalmistamisel teemal “Mehaanika” 18. detsember 2014, hinne 10 Variant FI00103 (90 minutit) Ringkond. Linn (asula). Kooli klassi perekonnanimi. Nimi.

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium Õppeasutus "Mogilevi Riiklik Toiduülikool" Füüsika osakond inertsimomendi MÄÄRAMINE JA STEINERI TEOREEMI KONTROLL ABIGA

Demonstratsiooniversioon_10 klass (profiil) Ülesanne 1 1. Veoauto möödub peatusest mööda sirget tänavat kiirusega 10 m/s. 5 s pärast peatust sõidab mootorrattur

Nurusheva Marina Borisovna vanemõppejõud, füüsika osakonna 3 NRNU MEPhI mehaanilised vibratsioonid Mehaanilised vibratsioonid nimetada täpselt (või ligikaudu) korduvate kehade liigutusi läbi sama

I. V. Jakovlev Füüsika materjalid MathUs.ru Newtoni seadused Ülesanne 1. Rakett saab alguse Maa pinnalt ja liigub vertikaalselt ülespoole, kiirendades 5g kiirendusega. Leidke astronaudi kaal massiga m

TULEVIKU OLÜMPIAAD TEADUSTE TULEVIK 2018-2019 Füüsika, I voor, valik 2 7. klass 1 (40 punkti) Kaks autot lahkusid korraga: üks punktist A punkti B, teine punktist B punkti A Kiirus ühe auto

006-007 kool aasta., 9. klass. Füüsika. Dünaamika. 5. Jõud Newtoni teise seaduse fikseerimist valemi () kujul ei saa tõlgendada kahe jõu F ja ma võrdsusena. See kirje on ainult resultaadi avaldis

Jäävuse seadused Keha impulss (materiaalne punkt) on füüsikaline vektorsuurus, mis võrdub keha massi ja kiiruse korrutisega. p = m υ [p] = kg m/s p υ Jõuimpulss on vektorfüüsikaline suurus,

Vaatleme keha liikumist mööda suvalist kõverjoonelist trajektoori. Oleme juba eespool märkinud, et kui keha liigub mööda kõverjoonelist trajektoori, on selle kiirusvektor mis tahes punktis suunatud trajektoorile tangentsiaalselt. Joonis näitab, miks see nii on. Keskmine kiirus on. See tähendab, et keskmise kiiruse vektori suund langeb alati kokku liikumissuunaga Δr. Kui aga viia lõpp-punkt alguspunktile lähemale, muutes ajaintervalli Δt järjest väiksemaks, siis nagu jooniselt näha, siis vektori suund Δr läheneb trajektoori puutuja suunale algpunktis ja limiidis ühineb sellega. Kuid selles piiris muutub keskmine kiirus hetkekiiruseks.

Erinevalt kiirusest ei suunata kiirendus, kui keha liigub mööda kõverat rada, peaaegu kunagi tangentsiaalselt. Kuna , siis kiirendusvektori suund langeb alati kokku kiiruse muutuse vektori suunaga. Nagu jooniselt näha, on kiiruse ja seega ka kiirenduse muutumise vektor suunatud trajektoori kõverusse. Üldiselt võib kiiruse ja kiirendusvektori vaheline nurk varieeruda vahemikus 0 kuni 180°.

Väga sageli jaguneb keha kiirendus mööda kõverat rada liikudes kaheks üksteisega risti asetsevaks komponendiks: trajektoori puutuja suund ja puutujaga risti. Kogukiirenduse vektori komponenti trajektoori puutuja suunas nimetatakse tangentsiaalseks või tangentsiaalseks kiirenduseks ( ja τ). Kogukiirenduse vektori komponenti puutujaga risti olevas suunas nimetatakse tsentripetaalseks ehk normaalkiirenduseks ( a c).

Kui α on nurk kiirenduse ja kiiruse suundade vahel, siis võime kirjutada:

Pealegi:

Kiirenduse jagunemine kaheks komponendiks on tingitud asjaolust, et kogukiirenduse iga komponent iseloomustab kiiruse muutust ühe kahe parameetri järgi. Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab kiiruse muutumist suurusjärgus. Tangentsiaalne kiirendus kattub suunas kiirusvektoriga, kui kiirus suureneb suurusjärgus, ja on suunatud vastupidisele kiirusele, kui see väheneb. Püsikiirusel liikudes on tangentsiaalne kiirendus null. Tangentsiaalse kiirenduse moodul on võrdne:

Tsentripetaalne kiirendus iseloomustab kiiruse muutumist suunas. Sirget teed mööda liikudes on tsentripetaalne kiirendus null.

Mööda kõverat rada liikumise oluline erijuhtum on liikumine ringis. Fakt on see, et iga sujuva kõverjoone saab asendada erineva raadiusega konjugeeritud ringikujuliste kaartega. Olgu mingi kõverjoon. Igas kõvera punktis saab joonistada palju ringe, mis seda selles punktis puudutavad. Kuid kõigi nende ringide hulgas on üks, mis kirjeldab teistest paremini kõvera kõverust antud punktis. Selle ringi raadiust nimetatakse joone kõverusraadiuseks selles punktis. Seega võib keha liikumist mööda suvalist kõverjoonelist trajektoori kujutada järjestikuse liikumisena mööda erineva raadiusega ringe.

Laske kehal liikuda mööda kõverat rada. Vaatleme kahte väga lähedast punkti trajektooril A ja B. Kuna punktid on üksteisele väga lähedal, võime eeldada, et need asuvad ringkaarel, mille raadius on võrdne trajektoori kõverusraadiusega selles trajektoori osas. trajektoor - R. Oletame, et keha kiirus on suurusjärgus konstantne . Sellisel juhul on tangentsiaalne kiirendus null ja keha kogukiirendus võrdub tsentripetaalkiirendusega. Vektoritele ehitatud kolmnurk vA, v B Ja Δv võrdhaarne ja sarnane kolmnurgaga AOB. Nii et võite kirjutada:

Olgu Δt aeg, mille jooksul keha liikus punktist A punkti B. Kuna punktid A ja B asuvad üksteisele väga lähedal (joonisel, selguse huvides, asuvad nad üksteisest kaugel), on kõõl AB praktiliselt langeb kokku kaarega AB. Seetõttu võite kirjutada: . Seega saame:

Kuna tangentsiaalne kiirendus on null, tähistab see tsentripetaalset kiirendust. Seega saame tsentripetaalse kiirenduse valemi, kui keha liigub mööda kõverat rada:

Siin v on keha hetkekiirus ja R trajektoori kõverusraadius antud punktis.